李勝平，王連堂，王俊杰，

一類DGH方程的多辛Preissmann格式

李勝平1，王連堂2，王俊杰1，2

(1．普洱學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南普洱665000; 2．西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安710127)

DGH方程作為一類重要的非線性方程有著許多廣泛的應(yīng)用前景．基于哈密頓系統(tǒng)的多辛理論研究一類DGH方程的數(shù)值解法，利用多辛Preissmann方法對此哈密頓系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值離散，構(gòu)造一種半隱式的多辛格式．?dāng)?shù)值算例結(jié)果表明該多辛離散格式具有較好的長時(shí)間數(shù)值穩(wěn)定性．

哈密頓系統(tǒng);Preissmann方法;多辛算法;DGH方程

1 預(yù)備知識

2001年，R．Dullin，G．Gottwald和D．Holm［1］從Euler方程出發(fā)，得到了一類帶線性和非線性色散項(xiàng)的新型淺水波方程，即DGH方程

其中，u(x，t)表示x方向的流體速度，m=u－α2uxx表示動量，γ/c0是區(qū)間長度的平方，(其中c0=2w)表示線性波速．利用m=u－α2uxx，可以將DGH方程寫成

DGH方程包含了2類可積孤立波方程．當(dāng)α→0時(shí)，DGH方程變?yōu)镵dV方程［2－3］

當(dāng)γ=0時(shí)，DGH方程轉(zhuǎn)化為另一類重要的可積方程，即C－H(Camassa－Holm)方程

方程(1)～(3)引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［4－15］．文獻(xiàn)［4］在重力作用下，研究淺水層自由表面水波運(yùn)動規(guī)律時(shí)，用哈密頓的方法得到C－H方程．迄今為止，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)C－H方程的許多性質(zhì)，例如，對任意的ω，C－H方程具有一個Lax對和雙哈密頓結(jié)構(gòu)，以及無窮個守恒量．對ω=0，C－H方程有尖峰孤立波解和多重尖峰孤波解．文獻(xiàn)［6］研究了C－H方程守恒量和初值問題，文獻(xiàn)［7］研究了C－H方程的對稱性和可積性，文獻(xiàn)［8］研究了C－H方程的可積擾動問題．文獻(xiàn)［5］研究了一類具有完全非線性對流項(xiàng)和色散項(xiàng)的廣義C－H方程，得到該方程具有緊孤立子－compacton解和孤立波解．文獻(xiàn)［9］研究了耗散C－H方程，得到該方程存在全局解和全局吸引子，文獻(xiàn)［10］繼續(xù)研究該方程，得到該方程具有行波孤子解及其雙孤子解，并首次引入了凹凸孤立子的概念．文獻(xiàn)［11］研究了一類廣義C－H方程及廣義弱耗散C－H方程，并得到了該方程具有一類新的尖峰孤立子解．文獻(xiàn)［12］研究了DGH方程解的極限行為、散射理論、整體適定性理論、Gauchy問題的局部適定性理論、孤立波的軌道穩(wěn)定性、新型尖峰孤立波解，同時(shí)也給出了DGH方程的散射數(shù)據(jù)．文獻(xiàn)［13］研究了DGH方程的尖峰孤立波解，文獻(xiàn)［14］研究了DGH方程的局部解和整體解問題，同時(shí)討論了方程解的Blow－up，文獻(xiàn)［15］研究DGH方程的散射逼近和反散射問題．

然而，由于問題(1)～(3)的非線性，在實(shí)際應(yīng)用中要求得方程(1)～(3)的初值問題的精確解幾乎不可能，大部分情況下只能用數(shù)值方法來模擬方程(1)～(3)．鑒于此，國內(nèi)外許多學(xué)者試圖用數(shù)值方法來模擬方程(1)～(3)．而使用傳統(tǒng)的數(shù)值方法，例如有限差分法、有限元方法、譜方法，這些算法都不是保結(jié)構(gòu)算法，長時(shí)間數(shù)值模擬時(shí)都會嚴(yán)重失真．1984年，我國計(jì)算數(shù)學(xué)大師馮康首次系統(tǒng)提出了哈密頓系統(tǒng)的辛算法，大量實(shí)例證實(shí)辛算法比傳統(tǒng)的數(shù)值方法具有明顯的優(yōu)勢．然而辛算法在應(yīng)用求解無窮維哈密頓系統(tǒng)時(shí)具有局限性，具體表現(xiàn)在整體守恒的不足．為了克服此缺限性，J．Marsden和T．Bridge從不同的角度對辛算法進(jìn)行了推廣．T．Liu等［16］得到了哈密頓多辛結(jié)構(gòu)和多辛算法．本文只考慮Bridge意義下的多辛算法．經(jīng)過十幾年的發(fā)展，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)建立了KdV方程、薛定諤方程、KP方程、C－H方程的多辛算法，這些多辛算法都證實(shí)多辛算法在長時(shí)間數(shù)值模擬方面的優(yōu)勢．迄今為止，還沒有學(xué)者利用多辛算法對DGH方程(2)進(jìn)行數(shù)值模擬．本文利用多辛算法對DGH方程(2)進(jìn)行數(shù)值模擬．方程(2)經(jīng)過變形以后可以表示為哈密頓系統(tǒng)．本文通過引入正則動量，驗(yàn)證DGH方程(2)具有多辛結(jié)構(gòu)，并證實(shí)此格式具有多辛守恒律、局部能量守恒律和動量守恒律．給出了DGH方程(2)的離散多辛Preissmann格式，并證實(shí)此格式在離散格式下仍保持多辛守恒律．還給出了DGH方程(2)的離散多辛Preissmann格式的誤差分析，此格式具有誤差o(△t2+△x2)．最后給出了2個數(shù)值模擬，并驗(yàn)證了本文的算法不僅簡單，而且有長時(shí)間的穩(wěn)定性．

2 多辛哈密頓偏微分方程的多辛算法

大量偏微分方程都可以寫成下列多辛哈密頓偏微分方程［17－38］的形式

其中，M，K∈Rn×n(n≥3)是反對稱矩陣．S:Rn→R是光滑函數(shù)，稱為哈密頓函數(shù)，zS(z)為函數(shù)S(z)的梯度．系統(tǒng)(5)滿足3個局部守恒律，即多辛守恒律、局部能量守恒律和局部動量守恒律．

定理2．1［17］根據(jù)Bridges多辛理論，偏微分方程(5)滿足多辛守恒律

其中，w，k分別表示t和x方向上的辛結(jié)構(gòu)，具體表達(dá)式為

定理2．2［17］根據(jù)Bridges多辛理論，偏微分方程(5)滿足局部能量守恒律

局部動量守恒律

其中

E為能量密度，F(xiàn)為能量流，I為動量密度，G為動量流．

如果z(x，t)關(guān)于x是周期函數(shù)或者滿足齊次邊界條件，(5)式滿足整體能量和整體動量守恒律

對于系統(tǒng)(2)，引入正則動量

系統(tǒng)(2)可以表示為下面等價(jià)形式

定義狀態(tài)變量

可以把方程(10)寫成多辛哈密頓偏微分方程的形式(5)，其中

哈密頓函數(shù)為

方程(10)滿足多辛守恒律(6)，其中

方程(10)具有能量守恒律(7)，其中

方程(10)具有動量守恒律(8)，其中

3DGH方程的多辛Preissmann格式及離散守恒律

多辛是哈密頓偏微分方程的一個幾何性質(zhì)，在構(gòu)造數(shù)值方法模擬多辛偏微分方程時(shí)，自然希望能反映這個性質(zhì)．基于這個想法，T．Bridges和S．Reich提出了能保持多辛守恒律的離散數(shù)值方法為多辛算法．

定義3．1 若哈密頓系統(tǒng)(5)的離散格式

滿足如下離散多辛守恒律

其中

為了研究問題方便，首先引入下面符號，向前差分算子

平均算子

上面的算子滿足

及推廣的Leibniz法則

利用上面的算子，對x方向進(jìn)行離散，得到哈密頓系統(tǒng)(5)的半離散格式

用隱式中點(diǎn)辛格式對半離散格式(15)時(shí)間方向進(jìn)行離散，得到哈密頓系統(tǒng)(5)的全離散格式

首先分析半離散格式(15)和全離散格式(16)的離散多辛守恒律．半離散格式(15)是多辛的并且滿足離散的多辛守恒律

其中

全離散格式(16)是多辛的并且滿足離散的多辛守恒律

其中

下面分析半離散格式(15)和全離散格式(16)的離散局部能量守恒律和動量守恒律．半離散格式(15)滿足局部能量守恒律

局部動量守恒律

其中

A．Islas等［22］證明了如果非線性哈密頓系統(tǒng)(5)的哈密頓函數(shù)S(z)不是二次函數(shù)，則多辛算法(16)不能精確滿足局部能量守恒律和動量守恒律，為此引入如下定義．

定義3．2 記

稱RE和RM分別是局部能量動量守恒律在Axznj和

處的誤差，記稱εn和ηn分別是整體能量動量守恒律在和

處的誤差，其中

下面應(yīng)用多辛算法(16)對系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬，并且分析系統(tǒng)(2)的離散多辛守恒律、局部能量和動量守恒律誤差．對系統(tǒng)(2)的等價(jià)方程(10)應(yīng)用多辛算法(16)可得

方程(25)滿足相應(yīng)的多辛算法(16)的多辛守恒律(18)，其中

因?yàn)橄到y(tǒng)(10)的哈密頓函數(shù)是非線性哈密頓函數(shù)，利用定義3．2，方程(25)具有局部能量守恒律誤差(21)，其中

具有局部動量守恒律誤差(22)，其中

4 誤差分析

假設(shè)z是充分光滑函數(shù)，將函數(shù) z在離散點(diǎn)(ti，xj)處分別關(guān)于t和x進(jìn)行泰勒展開的

其中

方程組(26)經(jīng)過變形得到

代上面的方程到哈密頓系統(tǒng)(5)得

利用M和K，則方程(10)離散格式可以寫成

由(28)式的第一個方程得

對(29)式求導(dǎo)可得

把(30)和(31)式代入(28)式的第二個方程

由(28)式的第三、四、五個方程得到

對上面的方程求導(dǎo)得到

代方程(33)～(35)到方程(32)得到

可以看出本文的算法具有精度o(△t2+△x2)．

5 數(shù)值例子

為了說明多辛Preissmann算法的諸多優(yōu)點(diǎn)，下面利用多辛Preissmann算法離散DGH方程(2)對應(yīng)的多辛哈密頓方程(10)消去輔助變量 、w、Φ和ψ，得到DGH方程(2)的多辛Preissmann三層格式

在利用上面三層格式進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，可用下面二層格式計(jì)算上面三層格式第二層上的初值

下面給出2個數(shù)值模擬．

5．1孤立波解 取參數(shù)α=1，ω=1，γ=1，考慮下面DGH方程(2)的孤立波的初值問題

由文獻(xiàn)［39］，可以得到問題(37)有孤立波解

對計(jì)算區(qū)域進(jìn)行均勻剖分△x=0．01，取時(shí)間步長△t=0．01，計(jì)算到T=50，計(jì)算結(jié)果見表1、圖1和圖2．表1給出了有限差分法、多辛Preissmann方法和精確解計(jì)算問題(37)的比較．圖1給出了DGH方程的初值問題(37)隨時(shí)間的演化圖．圖2給出了DGH方程的初值問題(37)的局部能量和動量守恒律誤差．

5．2尖峰孤立波解 取參數(shù)α=1，ω=1，γ=1，考慮下面DGH方程(2)的尖峰孤立波的初值問題解計(jì)算問題(38)的比較．圖3給出了DGH方程的初值

對計(jì)算區(qū)域進(jìn)行均勻剖分△x=0．01，取時(shí)間步長△t=0．01，計(jì)算到T=50，計(jì)算結(jié)果見表2、圖3和圖4．表2給出了有限差分法、多辛Preissmann方法和精確

由文獻(xiàn)［39］可以得到問題(38)有尖峰孤立波解問題(38)隨時(shí)間的演化圖．圖4給出了DGH方程的初值問題(38)的局部能量和動量守恒律誤差．

表1 問題(37)有限差分法、多辛Preissmann方法和精確解的比較Table 1 The comparison of finite difference method，multi-sympletic preissmann method and exact solution for question(37)

表2 問題(38)有限差分法、多辛Preissmann方法和精確解的比較Table 2 The comparison of finite difference method，multi-sympletic preissmann method and exact solution for question(38)

本文利用多辛Preissmann方法對一類DGH方程的初值問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，圖1和圖3說明本文的算法能夠很好的保持孤子解的基本幾何性質(zhì)，并具有良好的長時(shí)間數(shù)值行為．從圖2和圖4說明本文的算法的局部能量守恒律和動量守恒律誤差可以控制在10－6．

致謝 普洱學(xué)院創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)基金(CXTD003)對本文給予資助，謹(jǐn)致謝意．

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Multi-symplectic Preissmann Methods for DGH Equation

LI Shengping1，WANG Liantang2，WANG Junjie1，2

(1．Department of Mathematics，Puer College，Puer 665000，Yunnan; 2．Department of Mathematics，Northwest University，Xi’an 710127，Shannxi)

DGH equation which is a typical nonlinear wave equation，has broad application prospect．In this paper，the equation is studied based on the multi-symplectic theory in Hamilton space．The symplectic Preissmann method is used to discretize the formulations，and a semi-implicit scheme with certain discrete conservation laws is constructed to solve the DGH equation．The numerical experiments are given，and the results verify the efficiency of the multi-symplectic scheme．

Hamilton system;Preissmann method;multi-symplectic theory;DGH equation

O29

A

1001－8395(2016)05－0696－09

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．015

(編輯 李德華)

2014－12－14

云南省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)基金(2015Y490)

李勝平(1957—)，男，教授，主要從事微分方程的研究，E－mail:pexylsp@163．com

2010 MSC:35F21;37K05