鄒 浪，藍(lán)師義

(廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西 南寧 530006)

Brownian運(yùn)動(dòng)首次離開(kāi)指定邊界的概率表達(dá)式*

鄒 浪，藍(lán)師義

(廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西 南寧 530006)

Brownian運(yùn)動(dòng)在隨機(jī)過(guò)程與Schramm-Loewner演變(SLE)中扮演著非常重要的角色。首先，利用Brownian運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)導(dǎo)出了Brownian運(yùn)動(dòng)首次離開(kāi)指定區(qū)域邊界的概率表達(dá)式，并且通過(guò)數(shù)值模擬進(jìn)一步驗(yàn)證了所得到結(jié)果的正確性。其次，討論單連通域內(nèi)調(diào)和測(cè)度與Brownian運(yùn)動(dòng)首離指定邊界概率之間的關(guān)系，通過(guò)后者的結(jié)果給出了前者的具體表達(dá)式,同時(shí)得到一些相關(guān)的結(jié)果。

Brownian運(yùn)動(dòng)；首離概率；Schramm-Loewner演變；調(diào)和測(cè)度

Brownian運(yùn)動(dòng)是一種重要的隨機(jī)過(guò)程。 國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了大量研究，并得到了許多很好的結(jié)果。文[1]研究了在空間任一點(diǎn)出發(fā)的Brownian運(yùn)動(dòng)在球內(nèi)停留時(shí)間的分布與球面首中時(shí)分布；文[2-3]分別研究了Brownian運(yùn)動(dòng)首中與末離的聯(lián)合分布及Brownian關(guān)于線性邊界的首出時(shí)問(wèn)題，求出了Brownian運(yùn)動(dòng)停留在雙側(cè)(單側(cè))逐段線性邊界內(nèi)的概率的分析表達(dá)式；文[4-5]研究了Brownian運(yùn)動(dòng)首中與末離的聯(lián)合分布及末遇分布與極大游程等相關(guān)內(nèi)容；文[6-8]分別證明了Brownian運(yùn)動(dòng)B[0,1]割點(diǎn)、先驅(qū)點(diǎn)、邊界的Hausdorff維數(shù)分別為3/4，7/4，4/3。同時(shí)，Brownian運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)與首出時(shí)的分布在很多方面有著重要的應(yīng)用，例如，在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)、序列分析和財(cái)政金融等方面(見(jiàn)文[5,9-10])。另一方面，Schramm[11]于2000年將時(shí)間改變的Brownian運(yùn)動(dòng)作為驅(qū)動(dòng)函數(shù)引入到Loewner微分方程，這導(dǎo)致了一個(gè)新的研究領(lǐng)域，即隨機(jī)Loewner演變(或Schramm-Loewner演變)，簡(jiǎn)稱(chēng)SLE。有關(guān)SLE的背景知識(shí)和詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)文[12-13]等。已經(jīng)知道SLE有很多重要的應(yīng)用，其中最重要的應(yīng)用之一是它被成功地用來(lái)解決了Brownian運(yùn)動(dòng)的相交指數(shù)問(wèn)題(見(jiàn)文[14-16]等)。 此外，也已經(jīng)證明SLE是許多離散統(tǒng)計(jì)物理模型的尺度極限，例如，臨界點(diǎn)滲流探索路徑收斂于SLE6[17]；回路刪除隨機(jī)走動(dòng)收斂于SLE2與一致生成樹(shù)Peano路徑收斂于SLE8[18]；調(diào)和探索過(guò)程路徑與離散Gaussian自由場(chǎng)的回路線收斂于SLE4及FKIsing模型的接口收斂于SLE16/3等[19-21]。

1 Brownian運(yùn)動(dòng)及相關(guān)結(jié)果

首先，簡(jiǎn)要地介紹一維和二維Brownian運(yùn)動(dòng)的定義和一些性質(zhì)，并導(dǎo)出本文后面將用到的一些相關(guān)結(jié)果。有關(guān)更詳細(xì)的背景知識(shí)可見(jiàn)文[22-23]等。

定義1 一個(gè)隨機(jī)過(guò)程Bt稱(chēng)為一個(gè)一維的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)， 如果它滿足下面條件：

(i)B0=0,a.s.；

(ii) 對(duì)所有的s≤t,Bt-Bs是一個(gè)均值為0方差為t-s的Gaussian隨機(jī)變量；

(iii)對(duì)所有的s≤t,Bt-Bs獨(dú)立于σ(Br,r≤s)； (iv) 映射t→Bt(ω)幾乎肯定是連續(xù)的。

這里σ(Br,r≤s)是關(guān)于每一個(gè)Br,r≤s都可測(cè)的最小σ域。 一個(gè)均值為0方差為σ2的Gaussian隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)是由下面公式給出

其中A為任意一個(gè)Borel集。

(1)

也就是，式(1)理解為一個(gè)d維的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)從x點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)時(shí)間t到達(dá)y的概率密度為p(t,x,y)。

引理1 設(shè)X(t)是一個(gè)從點(diǎn)x:a

證明 該引理的證明見(jiàn)文[22]中的命題 4.9。

(2)

證明 該引理的證明見(jiàn)文[22]中的定理 3.8。

推論1 設(shè)Bt是一個(gè)一維的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)。對(duì)于給定大于0的實(shí)數(shù)a，設(shè)Ta=inf{t≥0:Bt=a}，那么

其中

(3)

當(dāng)d=1時(shí)，容易計(jì)算得到

當(dāng)d≥2時(shí)，引入如下d維球坐標(biāo)變換：

x1=rcosφ1，…，

xd-1=rsinφ1sinφ2…sinφd-2cosφd-1，

xd=rsinφ1sinφ2…sinφd-2sinφd-1

則它的雅可比行列式及積分區(qū)域分別為：

J=rd-1sind-2φ1sind-3φ2…sinφd-2和0≤r<∞,0≤φ1,φ2,…,φd-2≤π,0≤φd-1≤2π

于是式(3)就變成

(4)

這里

為一個(gè)只依賴(lài)于d的常數(shù)。

在式(4)中令r2/(2t)=x，則得到

(5)

(6)

(7)

(8)

因此，由式(6)與式(8)得到

也就是，式(5)成立，這就完成了該定理證明。

2 Brownian運(yùn)動(dòng)首次離開(kāi)指定區(qū)域邊界的概率公式

基于第1節(jié)的結(jié)果，將討論d維Brownian運(yùn)動(dòng)第1次離開(kāi)幾種類(lèi)型單連通區(qū)域指定邊界的概率估計(jì)，導(dǎo)出了它們具體表達(dá)式。并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得到結(jié)果的正確性。

(9)

圖1 一個(gè)二維Brownian運(yùn)動(dòng)從單連通域Ω的一個(gè)指定邊界?AB首次離開(kāi)的情形Fig.1 A 2D-Brownian motion exits first a simply connected domain Ω at a prescribed boundary ?AB

(10)

這里，φ是一個(gè)從Ω到帶形區(qū)域Sπ={z∈C:0

下面討論區(qū)域Ω的4種特殊情形：

(i) 當(dāng)Ω是平面C內(nèi)的一個(gè)半徑為r的圓盤(pán)域D時(shí)，見(jiàn)圖2(a)。

(11)

(ii) 當(dāng)Ω是平面C內(nèi)的一個(gè)弓形域Bθ時(shí)，見(jiàn)圖2(b)。

(12)

(iii) 當(dāng)Ω是第一象限域C1={z∈C:Imz>0,Rez>0}時(shí)，見(jiàn)圖2(c)。

(13)

圖2 Brownian運(yùn)動(dòng)分別從4個(gè)不同區(qū)域的指定邊界首次離開(kāi)的情形Fig.2 The Brownian motions exit first four distinct regions at the prescribed boundary parts, respectively

表1 二維Brownian運(yùn)動(dòng)第一次碰到Bπ的邊界?π的模擬概率與理論概率

從表1中可以看出，隨機(jī)模擬概率與理論概率非常接近，這驗(yàn)證了我們結(jié)論的正確性。

3 調(diào)和測(cè)度與首離概率的關(guān)系

定理6 設(shè)Ω?C是由一條簡(jiǎn)單閉曲線圍成的單連通區(qū)域且其邊界分為相連的兩部分?1，?2。設(shè)ω(z)為Ω中z處?1的調(diào)和測(cè)度，若φ是一個(gè)從Ω到帶形區(qū)域Sπ的共形映射且滿足φ(?1)=Rπ，那么ω(z)可表示為

(14)

(15)

這里的φi為Ω到Sπ的共形映射且滿足φi(γi) =Rπ，i=1,2,…,n。

(16)

圖3 上半平面H中一個(gè)二維Brownian運(yùn)動(dòng)樣本共形映射到一個(gè)矩形區(qū)域的情形Fig.3 A sample of 2D Brownian motion in upper half plane H was conformally mapped onto a rectangular domain

(17)

這里ρ=h(r)。也就是，式(16)成立，定理7證明完成。

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The probability expressions of first exit for Brownian motions at prescribed boundary parts of regions

ZOULang,LANShiyi

(College of Science, Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006, China)

Brownian motion plays a very important role in both stochastic process and Schramm Loewner Evolution (SLE). Firstly, by using the properties of Brownian motions, it is derived that the probability expressions of Brownian motion exiting first at prescribed boundary parts of regions. The correctness of the obtained results is verified by numerical simulations. Secondly, the relationship between harmonic measure and probability of Brownian motion exiting first a simply connected domain at the specified boundary is discussed. The probability formulas of the former are derived by using the results of the latter. In addition, some other related results are obtained.

Brownian motion; probability of first exit; Schramm-Loewner Evolution; harmonic measure

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.06.006

2015-12-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161004,11661011)；廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013GXNSFAA019015,2016GXNSFAA380099)；廣西民族大學(xué)研究生創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(gxun-chxs2015093)

鄒浪 (1989年生)，男；研究方向：隨機(jī)Loewner演變；通訊作者：藍(lán)師義;E-mail:shiyilan05@sina.com

O211

A

0529-6579(2016)06-0044-09