張鵬飛，蘇華昌，吳家駒

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基于奇異值分解的慣性測(cè)量組合減振系統(tǒng)非線性剛度識(shí)別

張鵬飛，蘇華昌，吳家駒

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京，100076）

介紹了基于奇異值分解的復(fù)解析小波脊線提取方法，并用仿真算例進(jìn)行了驗(yàn)證。設(shè)計(jì)了基于沖擊響應(yīng)的非線性剛度識(shí)別程序。采用半正弦沖擊對(duì)慣組減振系統(tǒng)的非線性特性進(jìn)行試驗(yàn)研究，驗(yàn)證了方法的可行性，分析了非線性系統(tǒng)剛度和阻尼的變化規(guī)律。對(duì)于非線性特征比較明顯的結(jié)構(gòu)，使用該方法的參數(shù)識(shí)別結(jié)果具有較高精度。

非線性剛度；小波變換；奇異值分解；小波脊線

0 引 言

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析與試驗(yàn)相關(guān)性研究的目的是通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果修改數(shù)學(xué)模型，然后用修正后的數(shù)學(xué)模型計(jì)算復(fù)雜振動(dòng)載荷下的響應(yīng)，這對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)困難不大。然而，火箭和航天器實(shí)際上呈現(xiàn)出某種程度的非線性品質(zhì)[1]。非線性可能是由結(jié)構(gòu)（端頭快速連接）、幾何（飛船的支撐機(jī)構(gòu)）和材料性質(zhì)（阻尼減振器）等因素造成的。雖然業(yè)內(nèi)已有許多非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析軟件，但是大多數(shù)都需要知道特征化的非線性特征。因此，通過(guò)試驗(yàn)識(shí)別結(jié)構(gòu)非線性特征是一個(gè)亟待解決的問題。

慣性測(cè)量組合（慣組）是測(cè)量導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的裝置。為了提高慣組在振動(dòng)環(huán)境中的適應(yīng)性，經(jīng)常將慣性敏感器件通過(guò)橡膠減振器連接到載體上[2]。慣組小系統(tǒng)頻響特性測(cè)量結(jié)果表明，這個(gè)彈性環(huán)節(jié)呈現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性。圖1為實(shí)測(cè)的慣組角振動(dòng)傳遞率隨頻率的變化曲線，其傳遞率特征隨激勵(lì)量級(jí)的變化很大，系統(tǒng)的增益和諧振頻率隨激勵(lì)量級(jí)下降，這表明系統(tǒng)呈現(xiàn)出含有漸軟剛度的非線性特征。

圖1 慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)傳遞率

目前，對(duì)于減振器非線性剛度的識(shí)別，多是基于靜剛度或正弦定頻試驗(yàn)的剛度曲線，使用最小二乘原理進(jìn)行擬合[3,4]。然而減振器使用環(huán)境多數(shù)存在沖擊載荷，在更接近真實(shí)使用環(huán)境下對(duì)非線性參數(shù)的識(shí)別結(jié)果更加適用。本文基于非線性減振系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，給出了基于復(fù)解析小波和奇異值分解的非線性剛度識(shí)別方法，識(shí)別出剛度-載荷曲線，并用含橡膠減振器的慣組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)論對(duì)于慣組減振器系統(tǒng)非線性參數(shù)識(shí)別和建模具有一定的參考價(jià)值。

1 基于奇異值分解的復(fù)解析小波脊線提取法

非線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)具有非平穩(wěn)信號(hào)特征。小波脊線能較好地揭示信號(hào)瞬時(shí)頻率的變化情況。復(fù)解析小波變換將小波變換和Hilbert變換緊密結(jié)合在一起，具有一定的自適應(yīng)分析能力。通過(guò)復(fù)函數(shù)連續(xù)小波變換得到小波尺度譜后，使用奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）方法降噪，然后通過(guò)求小波系數(shù)的模極大值點(diǎn)來(lái)提取小波脊線[5~7]。該方法更加適用于試驗(yàn)獲得的低信噪比信號(hào)的小波脊線提取。

復(fù)解析小波函數(shù)具有如下的表達(dá)形式：

（3）

式中

（5）

（7）

由小波變換的定義可知，小波變換相當(dāng)于一系列帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行多帶通濾波，帶通濾波器的中心頻率和帶寬與尺度成反比，且?guī)掚S中心頻率的變化自動(dòng)調(diào)節(jié)，體現(xiàn)了對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)分析能力。復(fù)解析小波變換實(shí)現(xiàn)了信號(hào)帶通濾波和Hilbert變換的統(tǒng)一，自適應(yīng)地提取信號(hào)的包絡(luò)等特征。

小波尺度譜可定義為

在某一時(shí)刻小波系數(shù)的最大值滿足

（9）

當(dāng)取不同的值，所有的最大值點(diǎn)的集合形成了小波脊線。理論上可以通過(guò)直接求出時(shí)頻面上每一時(shí)刻小波系數(shù)的模極大值來(lái)獲得信號(hào)中各分量對(duì)應(yīng)的小波脊線，這是最簡(jiǎn)單的一種脊線提取方法，但極易受到噪聲干擾，因此不適合工程應(yīng)用。

SVD是一種常用的時(shí)頻濾波方法，可用于消除信號(hào)中的隨機(jī)噪聲成份，提取信號(hào)中的周期成份[9]，本文選取該方法對(duì)小波尺度譜進(jìn)行降噪。設(shè)矩陣表示信號(hào)的小波尺度譜，在奇異值理論中，秩為的×階矩陣的奇異值分解可表示為

式中和分別是×階和×階正交矩陣，=diag（σ1，σ2，…，σ，0，0，…，0）是×階對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為的奇異值，并按降序排列。根據(jù)Frobeious范數(shù)意義下矩陣最佳逼近定理，信號(hào)在小波域中有用的信號(hào)主要由前個(gè)較大的奇異值反映，噪聲信號(hào)由后面較小的奇異值反映，去掉代表噪聲信號(hào)的較小奇異值，則源信號(hào)中的噪聲被去除。為了確定有用的奇異值，首先定義奇異值σ所占能量比重為

（11）

然后，給定一個(gè)閾值，將滿足r<(=1，…，)的奇異值置零，再進(jìn)行奇異值分解的逆運(yùn)算，最終得到矩陣，那么矩陣就是矩陣的秩為的最佳逼近矩陣，就是降噪后的小波尺度譜。

對(duì)小波尺度譜進(jìn)行SVD濾波后，就可以通過(guò)選取各個(gè)時(shí)刻小波系數(shù)模極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的尺度來(lái)提取小波脊線。

2 仿真算例

為了驗(yàn)證復(fù)解析小波及其脊線提取方法在非平穩(wěn)信號(hào)處理中的先進(jìn)性，取仿真信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)。仿真信號(hào)由下式給出：

式中()是方差為1的白噪聲，[0，1]。

圖2 信號(hào)f(t)的時(shí)域波形

a）直接模極大值法

b）基于SVD的復(fù)解析小波模極大值法

圖3 不同方法所得()小波脊線的對(duì)比

3 非線性剛度識(shí)別

3.1 非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖1中所表現(xiàn)出來(lái)的慣組減振器系統(tǒng)的非線性特征，本文對(duì)減振器采用立方剛度模型表征。這種情況下，力-位移關(guān)系具有以下形式[10]：

（14）

式中為質(zhì)量；為阻尼系數(shù)。

3.2 非線性剛度識(shí)別程序設(shè)計(jì)

對(duì)于式（14），采用諧波平衡法求解，可以得到頻率和振動(dòng)幅值間存在如下的關(guān)系：

根據(jù)式（15），當(dāng)已知質(zhì)量時(shí)，根據(jù)自由衰減信號(hào)的小波脊線提取的頻率和幅值信息，采用最小二乘原理可以識(shí)別出和。對(duì)于粘性阻尼，自由衰減信號(hào)存在指數(shù)形式的包絡(luò)曲線：

（16）

非線性剛度的識(shí)別程序可以匯總為：

a）用敲擊法或基礎(chǔ)激勵(lì)法測(cè)得系統(tǒng)的加速度自由衰減時(shí)間歷程；

b）用數(shù)字積分獲得位移自由衰減時(shí)間歷程；

c）連續(xù)復(fù)解析小波變換；

d）SVD濾波降噪；

e）取小波系數(shù)模極大值得到脊線；

f）從脊線計(jì)算瞬時(shí)頻率的包絡(luò)；

g）由衰減包絡(luò)擬合得到的曲線識(shí)別出非線性參數(shù)值。

4 實(shí)際信號(hào)分析

用包含橡膠減振器的慣組來(lái)檢驗(yàn)上述方法。慣組通過(guò)橡膠減振器連接在振動(dòng)平面上，電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)對(duì)振動(dòng)平臺(tái)施加半正弦沖擊激勵(lì)。振動(dòng)控制點(diǎn)在振動(dòng)平面上，慣組上安裝加速度傳感器測(cè)量減振后信號(hào)，試驗(yàn)原理如圖4所示。圖5為實(shí)測(cè)的慣組減振后加速度自由衰減時(shí)間歷程。

在Matlab軟件中使用數(shù)字積分法對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行積分，獲得位移的自由衰減時(shí)間歷程。初始速度和初始位移的影響可通過(guò)離散小波變換消除積分結(jié)果中的直流分量和趨勢(shì)項(xiàng)來(lái)消除。對(duì)位移信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換得到小波尺度譜，并選取每個(gè)時(shí)刻下小波系數(shù)模的最大值，得到如圖6所示的小波尺度譜的等高線和脊線。

圖4 慣組基礎(chǔ)激勵(lì)試驗(yàn)原理

圖5 自由衰減時(shí)間歷程

圖6 小波尺度譜的等高線和脊線

由于信號(hào)噪聲較大，提取到的脊線不光滑。通過(guò)SVD法對(duì)時(shí)頻譜進(jìn)行降噪，閾值取0.02，降噪后的小波尺度譜等高線和脊線如圖7所示。SVD降噪后脊線光滑，準(zhǔn)確反映了瞬時(shí)頻率隨時(shí)間的變化。

圖7 SVD降噪后的小波尺度譜等高線和脊線

對(duì)位移自由衰減信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換后獲得其幅值包絡(luò)曲線，結(jié)合小波脊線得到瞬時(shí)頻率隨振動(dòng)幅值變化的曲線，如圖8所示。取固定時(shí)間間隔為0.1 s，隨著的平移，計(jì)算出結(jié)構(gòu)粘性阻尼隨時(shí)間的變化函數(shù)，進(jìn)而得到阻尼比關(guān)于振動(dòng)幅值的函數(shù)，如圖9所示。

圖8 瞬時(shí)頻率隨振動(dòng)幅值的變化

圖9 阻尼系數(shù)隨振動(dòng)幅值的變化

根據(jù)式（15），進(jìn)一步得到如下關(guān)系：

式中為采樣點(diǎn)數(shù)。

將圖8中的頻率和幅值代入式（17），得到最小二乘意義下的剛度和。從該組試驗(yàn)數(shù)據(jù)識(shí)別出慣組減振系統(tǒng)的線性剛度=5.66×106N/m，立方剛度=-1.68×1013N/m3。

試驗(yàn)的識(shí)別結(jié)果表明橡膠減振器符合漸軟系統(tǒng)的非線性特征：隨加載量級(jí)加大剛度變小，阻尼增大。根據(jù)沖擊響應(yīng)識(shí)別出的非線性剛度特征與文獻(xiàn)[3]中使用定頻激勵(lì)法的結(jié)果規(guī)律一致。根據(jù)識(shí)別出的頻率和阻尼特性，可以擬合出結(jié)構(gòu)的非線性頻響函數(shù)隨不同加載量級(jí)的分布，如圖10所示。從圖10可以看出，隨著加載量級(jí)的增加，結(jié)構(gòu)的共振頻率降低，共振幅值降低，這與圖1中的試驗(yàn)結(jié)果規(guī)律一致。為了驗(yàn)證參數(shù)識(shí)別的精度，將上述識(shí)別出的非線性剛度參數(shù)代入式（14）中，使用4階Runge-Kutta法得到相同激勵(lì)下的響應(yīng)曲線，并與實(shí)測(cè)曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖11所示。從圖11中可見，實(shí)測(cè)曲線與計(jì)算曲線符合很好，說(shuō)明識(shí)別出的和具有較高精度。

圖10 擬合后的非線性頻響函數(shù)

圖11 實(shí)測(cè)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比

5 結(jié) 論

本文在電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)上模擬沖擊使用環(huán)境，對(duì)慣組減振系統(tǒng)的非線性特性進(jìn)行研究，主要得到以下結(jié)論：

a）利用基于SVD的復(fù)解析小波脊線提取方法，準(zhǔn)確地得到減振后自由衰減信號(hào)的時(shí)頻分布。試驗(yàn)表明SVD法能有效降低噪聲的影響，有利于準(zhǔn)確提取小波脊線，進(jìn)而得到慣組減振系統(tǒng)的頻率-幅值曲線。

b）根據(jù)慣組減振系統(tǒng)的傳遞特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)所表現(xiàn)的特點(diǎn)，建立了軟特性三次剛度動(dòng)力學(xué)模型。考慮到減振器的使用環(huán)境多數(shù)存在沖擊載荷，設(shè)計(jì)了基于沖擊響應(yīng)的非線性剛度識(shí)別程序。

c）使用慣組減振系統(tǒng)半正弦沖擊試驗(yàn)的自由衰減數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性參數(shù)識(shí)別，驗(yàn)證了模型和識(shí)別方法的有效性。分別在頻域和時(shí)域?qū)?shù)識(shí)別結(jié)果與試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，表明非線性剛度識(shí)別具有較高的精度。研究結(jié)果對(duì)于慣組減振器系統(tǒng)非線性參數(shù)識(shí)別和建模具有一定的參考價(jià)值。

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Identification of Nonlinear Stiffness of Inertial Measurement Unit with Vibration Absorber System Based on Singular Value Decomposition

Zhang Peng-fei, Su Hua-chang, Wu Jia-ju

(Beijing Institute of Structure and Environmen Engineering, Beijing, 100076)

Wavelet ridge extracting method based on singular value decomposition(SVD) was introduced. A numerical example was actualized to validate the method. Programs of identifying nonlinear stiffness based on impulse response were designed. The experiment of inertial measurement unit with rubber vibration absorber under the load of half sine pulse was conducted to validate the feasibility of the method. The changing regularities of nonlinear stiffness and damp were analysed. Using this method, the parameter identified results are high precise to nonlinear system.

Nonlinear stiffness; Wavelet transformation; Singular value decomposition; Wavelet ridge curve

1004-7182(2016)03-0068-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20160316

V214

A

2015-06-10；

2015-08-03

張鵬飛（1986-），男，工程師，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)