申江慢，何文明（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

?

具有局部周期結(jié)構(gòu)的橢圓問(wèn)題的有限元方法

申江慢，何文明
（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

摘 要：對(duì)于具有局部周期結(jié)構(gòu)的二階橢圓問(wèn)題，利用多尺度漸進(jìn)展開(kāi)方法給出了對(duì)應(yīng)的有限元算法.通過(guò)對(duì)經(jīng)典邊界校正因子的估計(jì)，得出了精度較高的近似解.

關(guān)鍵詞：有限元方法；局部周期結(jié)構(gòu)；經(jīng)典邊界校正因子

很多自然科學(xué)和工程的問(wèn)題都具有多尺度的特征．例如，高雷諾湍流的渦有大小不同的尺度，材料的微損傷有大小不同的尺度，多孔介質(zhì)的孔徑大小存在著不同的尺度等．對(duì)于多尺度問(wèn)題，傳統(tǒng)的數(shù)值方法在細(xì)尺度上求解，需要對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行非常精細(xì)的剖分，但由此產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)數(shù)量過(guò)多，往往要耗費(fèi)巨大的計(jì)算量和很長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間才能算得比較滿意的結(jié)果．因此人們一直致力于尋求既可以節(jié)省計(jì)算資源，又能保持計(jì)算精度的數(shù)值方法來(lái)處理多尺度問(wèn)題．

大多數(shù)橢圓問(wèn)題采用如下模型［1-7］：

文［1-7］給出了求解該模型的多尺度均勻化方法，得到的近似解可表示為：

注意到

結(jié)合上面兩個(gè)估計(jì)，得到引理1．（6）式與（7）式的證明見(jiàn)文獻(xiàn)［2］．

設(shè)TH為上的尺寸為h的擬一致三角剖分．進(jìn)一步假設(shè)TH滿足，其中Se是單元的面積．和是定義在TH上的兩個(gè)線性有限元空間．通過(guò)解下列方程即可得出（8）式的有限元解：

利用引理1，得到如下估計(jì)．

類似于引理2，得到如下結(jié)論：

2　經(jīng)典邊界校正因子的計(jì)算

Alyn Wallace曾經(jīng)研修天文學(xué)、工程學(xué)與物理學(xué)，現(xiàn)在是一位全職天文攝影師，他在家附近的威爾士及其他地區(qū)開(kāi)辦攝影講習(xí)班。

另外從引理3及（14）式中可得：

結(jié)合（15）式和（16）式，可知（13）式成立．

至此，該證明結(jié)束．

利用引理4，得到如下結(jié)論：

定理6 在引理4的假設(shè)下，存在常數(shù)C使得

證明：采用類似引理1的方法，得到：

結(jié)合引理4，引理5與（18）式，得到（17）式．

4　結(jié) 論

使用多尺度漸進(jìn)展開(kāi)方法，在不同網(wǎng)格剖分下很好地求解了具有局部周期結(jié)構(gòu)的二階橢圓問(wèn)題．該方法不僅有很好的精度，而且隨著剖分的不同，對(duì)邊界校正因子的近似也較理想．

參考文獻(xiàn)

［1］ Paulin J S J， Cioranescu D. Homogenization of reticulated structures ［J］. Applied Mechanics Reviews， 2001， 54（4）﹕64-65.

［2］ Shamaev A S， Yosifian G A， Oleinik O A. Mathematical problems in elasticity and homogenization ［M］. Amsterdam﹕North-Holland， 1992﹕ 56-58.

［3］ Bachvalov N S， Panasenko G P. Homogenization﹕ average of processes in periodic media ［M］. Moscow﹕ Nauka， 1984﹕23-38.

［4］ Palencia S E. Nonhomogeneous media and vibration theory ［J］. Journal of the Acoustical Society of America， 1981，69（3）﹕ 884-884.

［5］ Jikov V V， Kozlov S M， Oleinik O A. Homogenization of differential operators and integral Functionals ［M］. Berlin﹕Springer-verlag， 1994﹕ 258-366.

［6］ Bensussan A， Lions J， Papanicolou G. Asymptotic analysis for periodic structures ［M］. Amsterdam﹕ North-Holland，1978﹕ 36-40.

［7］ He W M ， Cui J Z. Error estimate of the homogenization solution for elliptic problems with periodic coefficient on L￥（W）［J］. Science China Math， 2010， 53（5）﹕ 1231-1252.

［8］ Adams R A. 索伯列夫空間［M］. 葉其孝， 王耀東， 應(yīng)隆安， 等， 譯. 北京﹕ 人民教育出版社， 1983﹕ 51-51.

（編輯：封毅）

A Finite Element Method for Elliptic Problems with Local Periodic Structure

SHEN Jiangman， HE Wenming
（College of Mathematics and Information Science， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

Abstract：In this paper， the corresponding finite element method by means of multi-scale asymptotic expansion approach is analyzed to solve the second-order elliptic problems with local periodic structure. By estimating the classical boundary correction factor， the higher order approximate solutions were obtained.

Key words：Finite Element Method； Local Periodic Structure； Classical Boundary Correction Factor

作者簡(jiǎn)介：申江慢（1989- ），女，河南安陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向：微分方程與生物數(shù)學(xué)

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11171257）；浙江省自然科學(xué)基金（LY15A010015）

收稿日期：2015-10-18

DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2016.02.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

中圖分類號(hào)：O241.82

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-3563（2016）02-0011-06