李 靜，張乃敏（溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

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一種求解奇異鞍點問題新的改進SSOR方法

李 靜，張乃敏
（溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

摘 要：研究了一種求解奇異鞍點問題的新的改進SSOR方法，得到其半收斂性條件及極小化擬譜半徑的局部最優(yōu)參數(shù)，數(shù)值例子表明選取適當?shù)膮?shù)值可以提高算法的收斂效率．

關(guān)鍵詞：奇異線性系統(tǒng)；鞍點問題；NMSSOR方法；半收斂

本文考慮了具有如下形式的鞍點問題：

1　新的改進SSOR迭代方法

對于（1）中的奇異線性系統(tǒng)，做如下分裂［2］：

迭代格式（3）可以簡記為：

其中

則

是系數(shù)矩陣的一個分裂，NMSSOR方法也可由矩陣分裂得到．因而得出．

2　半收斂性分析

對于定常迭代，若系數(shù)矩陣是非奇異的，那么定常迭代收斂當且僅當?shù)仃囎V半徑小于1；若系數(shù)矩陣是奇異的，迭代矩陣有特征值1，所以它的譜半徑不會比1?。畬τ谶@種情況的迭代矩陣，引出它的擬譜半徑，，其中為迭代矩陣的特征值的集合．

引理1［4］二次方程的根的模均小于1，當且僅當，其中是p的共軛復數(shù)．

引理2［5］A是正實的，B是秩虧的，Q是對稱正定的，則對所有的非零特征值，均有，其中和分別為的實部和虛部，．

證明：經(jīng)過簡單計算，式（6）可以重新表示成：

通過計算，式（11）的第二個式子等價于：

引理3［6］，當且僅當對任意的，有，其中R()×與N()×代表對應矩陣的值域和零空間．

3　最優(yōu)迭代參數(shù)

考慮下面兩種情況：

結(jié)合式（6）可知：

由上述分析知，我們在下述討論最優(yōu)參數(shù)時，不失一般性均假設，回顧定理2的證明，當時有．因此，NMSSOR方法的擬譜半徑可以表示成：

下面討論能使得半收斂速度達最快的最優(yōu)參數(shù)．由于三參數(shù)全局最優(yōu)過于復雜，此處考慮一種局部情形，即不妨假設滿足關(guān)系．結(jié)合式（15）和式（16），易知存在兩個變量滿足下列方程：

于是有：

所以：

4　數(shù)值舉例

通過數(shù)值試驗來比較GMSSOR方法和NMSSOR方法．所有實驗將利用Matlab解決，在Inter（R） Core（TM） i3 CPU 1.86 GHz，內(nèi)存2.0 GB的電腦上運行．取零向量為初始向量，選擇右端向量使得線性系統(tǒng)（1）精確解為，停機準則是．其中IT表示迭代步數(shù)，CPU表示運行時間，RES表示殘差，是最終近似解．

算例1 考慮Oseen方程：

表1列出了2種迭代法在預條件下重啟的GMRES算法的數(shù)值結(jié)果，表2和表3列出了不同方法的最優(yōu)參數(shù)和對應的最優(yōu)收斂因子．可以看出NMSSOR迭代法在迭代步數(shù)和CPU時間上都優(yōu)越于GMSSOR方法，且隨著m， n增加，最優(yōu)參數(shù)減少，對應的最優(yōu)收斂因子呈現(xiàn)逐漸增加趨勢．從表1 - 表3可以看出，選取合適參數(shù)時，NMSSOR方法優(yōu)于GMSSOR方法．

表1　GMSSOR和NMSSOR迭代法在預條件下重啟的GMRES算法的數(shù)值結(jié)果

表2　GMSSOR方法的最優(yōu)參數(shù)和對應的最優(yōu)收斂因子

表3　NMSSOR方法的最優(yōu)參數(shù)和對應的最優(yōu)收斂因子

5　結(jié) 論

提出了一種求解奇異鞍點問題的新的改進的SSOR方法，并分析了該方法的半收斂性質(zhì)以及此方法的優(yōu)越性．然而我們只是得到了NMSSOR方法的局部最優(yōu)參數(shù)，對于全局最優(yōu)參數(shù)，還有待于進一步研究．

參考文獻

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（編輯：封毅）

The Study of a New Modified SSOR Method For Solving Singular Saddle Point Problems

LI Jing， ZHANG Naimin
（College of Mathematics and Information Science， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

Abstract：In this paper， a new modified SSOR （NMSSOR） method for solving singular saddle point problems is studied. It is proved that the semi-convergence of the NMSSOR method under suitable restrictions on the iteration parameters is obtained. The local optimum parameters which minimize the semi-convergence and the pseudo-spectral radii of the associated iteration matrices are received. The numerical example indicates that the convergence efficiency of the NMSSOR method for solving singular saddle point problems will be improved if the appropriate parameter values are selected.

Key words：Singular Linear System； Saddle Point Problem； NMSSOR Method； Semi-convergence

作者簡介：李靜（1990- ），女，河南商丘人，碩士研究生，研究方向：計算數(shù)學

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61572018）；浙江省自然科學基金資助項目（LY15A010016）

收稿日期：2015-09-29

DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2016.02.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

中圖分類號：O241.6

文獻標志碼：A

文章編號：1674-3563（2016）02-0001-10