楊鎰濤 郝楠楠

【摘要】作為在高中階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課程，相比其他兩門語(yǔ)言類學(xué)科，數(shù)學(xué)要求學(xué)生在充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法的基礎(chǔ)上解決相關(guān)習(xí)題.筆者根據(jù)自身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的切身體會(huì)，整理了一套有關(guān)利用數(shù)學(xué)思想解決高中數(shù)學(xué)中不同類型習(xí)題的思維方法，希望對(duì)大家的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 ；習(xí)題解答 ；高中；應(yīng)用

為了提高自己的數(shù)學(xué)成績(jī)，筆者在對(duì)數(shù)學(xué)解題思路的探究過程中，整理出了一套數(shù)學(xué)思想解題方法，并實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)固提升.本文將有關(guān)數(shù)學(xué)解題中需要運(yùn)用的思維方法給大家進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的整理，希望能給諸位在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供一些有用的解題思路.

一、不等式在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

不等式是這幾年高考的重點(diǎn)，對(duì)不等式解題思路的學(xué)習(xí)不僅可以解決集合、線性規(guī)劃、函數(shù)題目、取值范圍、最值等數(shù)學(xué)問題，還能夠?yàn)檫M(jìn)一步為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

1.利用不等式解決函數(shù)最值問題

在高考考查范圍內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值一直作為重點(diǎn)難點(diǎn)考查的.對(duì)函數(shù)的最值的求解方式也很多，在相當(dāng)?shù)囊徊糠诸}目求解時(shí)采用不等式的方法，能夠開闊學(xué)生的解題思路：例如已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值.針對(duì)這種題目，大多數(shù)情況下會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性原理進(jìn)行解題，但如果我們應(yīng)用均值不等式會(huì)發(fā)現(xiàn)解答起來(lái)既簡(jiǎn)單又快速.

2.利用不等式解決參數(shù)取值問題

通常情況下在解題過程中我們很容易簡(jiǎn)單的進(jìn)行參數(shù)等價(jià)化簡(jiǎn)，使得它獨(dú)自處在不等式的一邊，則在另一邊通常會(huì)化成含有變量 x 的關(guān)系式方程：（1）當(dāng)a≥f（x）的恒成立問題，可等價(jià)于求f（x）的最大值，證明a≥f（x）max即可.（2）當(dāng)a≤f（x）的恒成立問題，可等價(jià)于求f（x）的最小值，證明a≤f（x）max即可.

3.不等式在線性規(guī)劃中的解答思路

在線性規(guī)劃問題的解決中時(shí)最首先需要注意的就是可行域了，在對(duì)其的求解中可行域的畫出是其中的關(guān)鍵.

具體習(xí)題解析：已知f（x）=|x-2|-|x-5|，若關(guān)于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值.

解法一：有f（x）=|x-2|-|x-5|得，-3≤f（x）≤3.

∵f（x）max≥k，∴k≤3.

解法二：由幾何意義得：-3≤|x-2|-|x-5|≤3，∴k≤3.

二、分類討論思想高中數(shù)學(xué)中的解題的應(yīng)用

分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)的解題過程中應(yīng)用非常廣泛，含參數(shù)的問題大致分為兩種類型：一類是根據(jù)參數(shù)的取值范圍，尋求命題有可能出現(xiàn)的結(jié)果，最終得出命題的結(jié)論；另一類是根據(jù)給定命題的相關(guān)結(jié)論，尋找參數(shù)的應(yīng)滿足的具體條件或者相應(yīng)的取值范圍.

1.分類原理

數(shù)學(xué)思想的具體分類原理，就是把一個(gè)集合A分成若干個(gè)非空真子集Ai（i=1，2，3，…，n）（n ≥ 2，n ∈ N+），具體的分類必須需要具備兩個(gè)要點(diǎn)：首先要確保對(duì)子集分類沒有遺漏，二是保證分類之間沒有重復(fù)，做到“不重不漏”.

2.分類標(biāo)準(zhǔn)

解題中在確立分類討論的對(duì)象后，以何種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類是采取這種方法解決數(shù)學(xué)問題的前提.在通常情況下，分類的標(biāo)準(zhǔn)主要有三個(gè)：概念、定理、解題需要.

例1 求函數(shù)y=│x+1│+│x-2│-2 的值域.

解 得出函數(shù)y=│x+1│+│x-2│-2的零點(diǎn)是 x=-1和x=2.

∴以 -1和 2 作為分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，將定義域分為三類進(jìn)行討論.

得出y=-2x-1 （x≤-1）

1（-1≤x≤2）2x-3

（x>2）

∴根據(jù)函數(shù)的圖像得出函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）.

三、對(duì)稱思想在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

對(duì)稱問題占據(jù)著高中數(shù)學(xué)的重要一環(huán)，在新課標(biāo)的公式推導(dǎo)、教材習(xí)題中占據(jù)著重要的位置.數(shù)學(xué)中的對(duì)稱形式主要有三種：中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、平面對(duì)稱.在平面集合的解析中，題目中很容易出現(xiàn)完整的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，在對(duì)這類問題進(jìn)行解決的過程中，利用對(duì)稱往往能產(chǎn)生意想不到的效果.

例2 求與圓C：（X+2）2+（X-6）2=1，關(guān)于直線3x-4y+5=0的對(duì)稱圓的方程：

解 設(shè)圓C的圓心（-2，6）關(guān)于直線3x-4y+5=0的對(duì)稱點(diǎn)為C′（a，b），

依題意 解得：a=4，b=-2. b-6a+2·34=-1，3·a-22-4b+62+5=0.

∴所求圓的圓心C′（4，-2），半徑為1，

∴圓C′的方程為（x-4）2+（y+2）2=1.

結(jié)束語(yǔ)

在解題過程中數(shù)學(xué)思路的掌握往往會(huì)使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變成一件富有趣味的事.筆者作為一名高中學(xué)生，得出的數(shù)學(xué)解題思路較為簡(jiǎn)單，但還是希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

【參考文獻(xiàn)】

[1]周劍.分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].傳道授業(yè).2015，（03）.

[2]羅金東.對(duì)稱思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào).2013，（12）.

[3]全玉剛.探究不等式在高中數(shù)學(xué)中的解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)教育.2015，（07）.