農(nóng)鳳娟

摘 要：函數(shù)概念是初中階段數(shù)學(xué)的基本概念之一，為重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容。而一次函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念最先接觸的知識(shí)，與實(shí)際生活有著緊密聯(lián)系，為其他函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生今后深入學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)有著重要的影響。因而，對(duì)一次函數(shù)有效教學(xué)策略的分析，具有較大的現(xiàn)實(shí)意義。基于此，結(jié)合初中一次函數(shù)教學(xué)研究的重要意義，分析了一次函數(shù)的形成過程、特點(diǎn)及性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的有效教學(xué)策略，以期為教師的一次函數(shù)教學(xué)提供有效參考。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；函數(shù)概念；教學(xué)策略

一、初中“一次函數(shù)”教學(xué)研究的重要意義

1.函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念

通過了解數(shù)學(xué)發(fā)展史可看出，在數(shù)學(xué)中有很多概念是由函數(shù)統(tǒng)帥、派生的，函數(shù)是反映運(yùn)動(dòng)與變化的基本概念，要學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，就必須熟練掌握與運(yùn)用函數(shù)概念。從實(shí)質(zhì)上講，數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入到變量數(shù)學(xué)，主要?dú)w結(jié)于函數(shù)的研究。在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)考核中，函數(shù)是極其重要的一部分，并且，數(shù)學(xué)卷面考試的壓軸題基本以函數(shù)應(yīng)用為主，要求初中生必須掌握函數(shù)概念及相關(guān)知識(shí)，并善于綜合應(yīng)用知識(shí)。同時(shí)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求學(xué)生不僅要熟練掌握函數(shù)基本知識(shí)，還要學(xué)會(huì)與不等式、方程其他知識(shí)的整合，從數(shù)形結(jié)合的角度進(jìn)行思考，積極探索變量之間的關(guān)系。

2.函數(shù)概念是初中生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)概念定義為：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，即可稱x為自變量，y是x的函數(shù)。在實(shí)際教學(xué)中，初中生在初次接觸“函數(shù)”這一概念時(shí)，還無法充分理解 “變量”“對(duì)應(yīng)”“函數(shù)”等詞匯，因而學(xué)習(xí)較困難。學(xué)生在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，所接觸的數(shù)學(xué)知識(shí)皆為常量，在初次接觸變量時(shí)，難以在較短時(shí)間內(nèi)領(lǐng)悟變量與常量、函數(shù)與自變量的相互聯(lián)系，同時(shí)，圖象法、解析法、列表法等函數(shù)概念中的多種表示方法，往往都是相互聯(lián)系的，學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中卻難以將它們結(jié)合起來。

3.有效的教學(xué)設(shè)計(jì)是提升學(xué)生認(rèn)知水平的關(guān)鍵

作為初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心概念，函數(shù)概念在初中教學(xué)中主要以“一次函數(shù)”概念及應(yīng)用著手，因而一次函數(shù)教學(xué)極其重要，直接影響學(xué)生今后對(duì)函數(shù)的深入學(xué)習(xí)。教師只有結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，構(gòu)建科學(xué)的一次函數(shù)概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上開展教學(xué)活動(dòng)，才能確保函數(shù)概念教學(xué)符合學(xué)生認(rèn)知要求，從而達(dá)到預(yù)期教學(xué)效果。但在實(shí)際中，部分初中數(shù)學(xué)教師雖然擁有極其豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，但缺少必要的理論指導(dǎo)，習(xí)慣以經(jīng)驗(yàn)教學(xué)為主，致使函數(shù)教學(xué)質(zhì)量不高，學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)效果普遍不理想。如何科學(xué)指導(dǎo)一次函數(shù)的教學(xué)，成為當(dāng)前“一次函數(shù)”教學(xué)研究的重點(diǎn)問題。

二、初中“一次函數(shù)”有效教學(xué)策略及實(shí)施探究

1.聯(lián)系實(shí)際生活，引入概念

數(shù)學(xué)來源于生活，并在生活中有著廣泛應(yīng)用。作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，積極更新教學(xué)觀念，及時(shí)了解社會(huì)焦點(diǎn)問題，并善于從社會(huì)生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，搜集數(shù)學(xué)素材，拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，引導(dǎo)學(xué)生不斷嘗試將函數(shù)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中。通過實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值。在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)教師需要設(shè)計(jì)具有較強(qiáng)生活性、趣味性的問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的熱情。例如，學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時(shí)，教師可設(shè)計(jì)問題：

（1）一輛車在加油前，油箱內(nèi)沒有油，每分鐘往油箱加油25 L，試寫出加油時(shí)間與油箱內(nèi)油量的函數(shù)關(guān)系式。

（2）一輛車在加油時(shí)，油箱內(nèi)已有6 L油，每分鐘往油箱加油25L，試寫出加油時(shí)間與油箱內(nèi)油量的函數(shù)關(guān)系式。

通過設(shè)計(jì)上述問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，適時(shí)呈現(xiàn)出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的基本知識(shí)。通過列出函數(shù)表達(dá)式：以x（min）來代表加油時(shí)間，y（L）來代表油箱中的油量，在油箱內(nèi)空置的狀況下，即可用y與x之間的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=25x，來表示兩者之間的函數(shù)關(guān)系。而在油箱內(nèi)已有6L油的情況下，可用y=25x+6，來表現(xiàn)加油時(shí)間與油量的函數(shù)關(guān)系。

通過設(shè)計(jì)與生活聯(lián)系較為緊密的函數(shù)問題，有針對(duì)性地在教學(xué)中引入一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從生活中常見的案例抽象出一次函數(shù)模型，這種教學(xué)方式既能讓學(xué)生更輕松地理解函數(shù)概念，又能有效培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的能力，幫助學(xué)生將一次函數(shù)模型更好地應(yīng)用于實(shí)際中。

2.巧妙設(shè)置懸念，探求概念

長期以來，初中數(shù)學(xué)教學(xué)主要以機(jī)械訓(xùn)練為提升學(xué)生函數(shù)知識(shí)應(yīng)用能力的主要方式，學(xué)生在其學(xué)習(xí)過程中，因繁重的學(xué)習(xí)任務(wù)，極易產(chǎn)生厭倦感，進(jìn)而喪失對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此，教師在一次函數(shù)教學(xué)中，應(yīng)了解學(xué)生的心理特征，對(duì)于教學(xué)涉及的難點(diǎn)及重點(diǎn)內(nèi)容，可通過設(shè)置懸念來增強(qiáng)教學(xué)的趣味性，以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，許多初中生在一次函數(shù)概念學(xué)習(xí)中，對(duì)“k≠0”這一條件及其形成原因難以在較短時(shí)間內(nèi)理解透徹。對(duì)此，教師可從函數(shù)定義出發(fā)，設(shè)計(jì)以下探索活動(dòng)：

在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生回顧上一階段所學(xué)知識(shí)，并在講臺(tái)上列出：①y=25x；②y=25x+6；③Q=40-10s；④y=100t；⑤g=h-105，讓學(xué)生觀察這些函數(shù)表達(dá)式，并提出相應(yīng)問題。

提問：

（1）以上五個(gè)函數(shù)表達(dá)式中，何為自變量？

（2）以上五個(gè)函數(shù)表達(dá)式分別是關(guān)于自變量的幾次式？

（3）按照一定規(guī)律對(duì)以上函數(shù)式作出分類。

（4）比較函數(shù)表達(dá)式①④與②③⑤的異同點(diǎn)？

通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，幫助他們對(duì)所列舉的函數(shù)作出分類，并最終總結(jié)出一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，形成理解性記憶。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行教學(xué)小結(jié)，給學(xué)生呈現(xiàn)出一次函數(shù)通常形式為y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0），而x是自變量，y為x的函數(shù)。其中，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)當(dāng)b=0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，k≠0），y也可稱為x的正比例函數(shù)。

在對(duì)上述教學(xué)活動(dòng)做出總結(jié)后，再進(jìn)一步設(shè)計(jì)問題：

（1）為何“k≠0”呢？按照函數(shù)定義“k=0”是否可行？

（2）一次函數(shù)與正比例函數(shù)兩者之間有何關(guān)聯(lián)？

（3）在所學(xué)知識(shí)中，是否有與一次函數(shù)概念相似的關(guān)系？

教師通過設(shè)計(jì)一系列函數(shù)教學(xué)問題，由淺入深地讓學(xué)生掌握一次函數(shù)概念，并充分理解k存在條件限制的真正意義，明白知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)，讓所學(xué)知識(shí)有效銜接起來，便于學(xué)生更好地記憶與實(shí)踐應(yīng)用。同時(shí)，通過這種方法，能加深學(xué)生對(duì)一次函數(shù)、正比例函數(shù)以及兩者之間關(guān)系的全面理解，以避免學(xué)習(xí)中出現(xiàn)多種函數(shù)概念混淆的狀況。

3.數(shù)形結(jié)合，理解一次函數(shù)圖象性質(zhì)

一次函數(shù)性質(zhì)教學(xué)主要是讓學(xué)生掌握一次函數(shù)性質(zhì)，并將其運(yùn)用到解決簡單實(shí)際問題中。因此，在一次函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)需求，合理組織學(xué)生在實(shí)際問題中主動(dòng)建立函數(shù)模型，并在實(shí)際應(yīng)用中強(qiáng)化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)知。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的學(xué)習(xí)中，表現(xiàn)較為困難，許多學(xué)生難以從圖象中準(zhǔn)確找出所需信息與規(guī)律，甚至個(gè)別學(xué)生只能依靠機(jī)械記憶，艱難地記住畫一次函數(shù)圖象的步驟，不能有效掌握?qǐng)D象之間平移變換的規(guī)律與訣竅。為此，教師需要加強(qiáng)這一方面的教學(xué)，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖象轉(zhuǎn)換的掌握程度，并及時(shí)采取相應(yīng)的教學(xué)策略，具體如下：

在函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖象轉(zhuǎn)換上，首先通過問題導(dǎo)入：

問題1：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，函數(shù)的表達(dá)方式共幾種，這些表達(dá)方式分別有什么特點(diǎn)？

學(xué)生通過對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行回顧，快速給出回答，教師在確定回答無誤的前提下，肯定學(xué)生的回答，以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，并適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析比較所學(xué)函數(shù)表達(dá)方式各自的特點(diǎn)及聯(lián)系，巧妙引入畫函數(shù)圖象的步驟與技巧。

問題2：哪位同學(xué)能通過函數(shù)的表達(dá)式畫出函數(shù)的圖象？不同的函數(shù)表達(dá)式畫法是否相同？請(qǐng)同學(xué)們嘗試畫出函數(shù)y=6x的圖象。

提問：

（1）怎樣進(jìn)行“列表”，其“x”的值如何選取，而“y”的值又怎樣進(jìn)行確定？

（2）如何進(jìn)行描點(diǎn)，其中需要描多少個(gè)點(diǎn)，怎樣確定點(diǎn)的坐標(biāo)？

（3）怎樣進(jìn)行連線，連線的用意是什么？

通過一系列的問題設(shè)置，讓學(xué)生自身體驗(yàn)畫函數(shù)圖象過程，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生理解畫函數(shù)圖象主要由列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟組成。在畫圖象過程中，需要盡量多地取整數(shù)點(diǎn)，以提升整體函數(shù)圖象的準(zhǔn)確性。在確保學(xué)生領(lǐng)悟畫函數(shù)圖象方法的基礎(chǔ)上，通過習(xí)題訓(xùn)練進(jìn)行知識(shí)的鞏固，如讓學(xué)生繪制出y=x2的圖象。

在與學(xué)生一起探討了畫函數(shù)圖象方法與技巧后，可利用幾何畫板等相關(guān)教學(xué)工具，給學(xué)生更直觀地展示表達(dá)式y(tǒng)=6x與y=x2兩者各自的函數(shù)圖象，以深化學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象的理解與認(rèn)知。通過上述教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生不僅掌握了畫函數(shù)圖象的基本方法：列表、描點(diǎn)、連線，還對(duì)畫函數(shù)圖象的理論指導(dǎo)與操作技巧有了深刻認(rèn)知，為后期反比例函數(shù)、二次函數(shù)及相關(guān)函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

4.借助問題情境，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

生活中許多方面都應(yīng)用到數(shù)學(xué)知識(shí)，并且一些生活中的問題也可通過函數(shù)模型來解決，為一次函數(shù)的實(shí)踐應(yīng)用提供了有利條件。在一次函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極將所學(xué)函數(shù)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題的解決中，增強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用意識(shí)，善于將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，并采取有效的解決措施。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于“往容積為600立方米的蓄水池內(nèi)注水，并且池內(nèi)原有水60立方米，注水量為10m3/min，在持續(xù)注水x分鐘后，蓄水池水量為y，求y與x的關(guān)系。”這一類型的一次函數(shù)模型，還無法將其有效應(yīng)用到實(shí)際生活中。對(duì)此，教師可結(jié)合教學(xué)內(nèi)容需求，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)方案，有步驟地引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)換，合理地建立一次函數(shù)的模型，并解決實(shí)際問題。

例如，設(shè)置主題為“到北京看奧運(yùn)”教學(xué)情境，2008年暑假，A 市的某中學(xué)教師帶領(lǐng)班上三位同學(xué)到北京看奧運(yùn)，他們乘坐的是A市直達(dá)北京的動(dòng)車組列車。其中，A市與北京的路程相距2000 km，動(dòng)車以200 km/h的速度勻速進(jìn)行。并在此情境下設(shè)計(jì)相關(guān)一次函數(shù)問題：假設(shè)動(dòng)車行駛時(shí)間為th，動(dòng)車抵達(dá)北京前，動(dòng)車與北京的距離為s km，試找出s與t的關(guān)系。

在這道題中，學(xué)生可制作相關(guān)表格，反映出s與t兩者之間的關(guān)系，也可通過函數(shù)圖象，更為直觀地表現(xiàn)二者關(guān)系（見表1、圖1）

同時(shí)，學(xué)生也可通過s=2000-200t來準(zhǔn)確反映s與t兩者間的關(guān)系。通過與北京奧運(yùn)有關(guān)的情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生初步體會(huì)可以用表格、圖象和關(guān)系式來表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)角度觀察生活中存在的各種現(xiàn)象，并嘗試以數(shù)學(xué)知識(shí)解決其現(xiàn)象形成的原因。同時(shí)，通過情境設(shè)置，進(jìn)行實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化教學(xué)，讓學(xué)生更好地領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)模型的實(shí)用價(jià)值，并掌握建立數(shù)學(xué)模型的相關(guān)技巧，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析與解決實(shí)際生活中存在的問題，以此來達(dá)到有效提升學(xué)生一次函數(shù)知識(shí)應(yīng)用能力的教學(xué)效果。

綜上所述，“一次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)極其重要的一部分。在一次函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)秉持“以生為本”的教學(xué)理念，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)及發(fā)展需求，積極創(chuàng)新教學(xué)手段，突破教學(xué)重點(diǎn)，化解教學(xué)難點(diǎn)，提高教學(xué)質(zhì)量，以確保學(xué)生真正掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。

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編輯 孫玲娟