溫　韜，唐輝明，劉佑榮，王　康，易賢龍，譚欽文

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 工程學(xué)院,武漢　430074)

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考慮裂紋閉合效應(yīng)的巖石損傷力學(xué)模型及耗散能量分析

溫韜，唐輝明，劉佑榮，王康，易賢龍，譚欽文

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 工程學(xué)院,武漢430074)

摘要：針對(duì)現(xiàn)有巖石損傷力學(xué)模型的局限性，考慮裂紋閉合效應(yīng)，并引入統(tǒng)計(jì)損傷理論，同時(shí)提出分布參數(shù)確定的方法，建立新型巖石損傷力學(xué)模型。該模型更加符合巖石的變形破壞規(guī)律，還可以反映巖石的殘余強(qiáng)度和延性特征，應(yīng)用范圍更廣；與試驗(yàn)結(jié)果及前人成果對(duì)比，表明模型更為合理可行。不同圍壓下巖樣的損傷變量演化曲線都遵循S型曲線，并可以依據(jù)S型曲線對(duì)巖石的變形破壞階段進(jìn)行劃分。裂紋閉合系數(shù)(h)對(duì)損傷耗能率有較大影響，隨著h的減小，損傷耗能率增大，當(dāng)h達(dá)到一定值，巖石破壞階段對(duì)應(yīng)的損傷耗能率陡增。因此，巖石的變形破壞不僅與其應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，還與巖石的損傷演化積累以及裂紋閉合效應(yīng)有關(guān)。

關(guān)鍵詞：巖石力學(xué)；損傷；裂紋閉合系數(shù)；損傷耗能率；微元強(qiáng)度

1研究背景

巖石是一種復(fù)雜的地質(zhì)體，巖石的變形破壞伴隨著各種缺陷的形成、擴(kuò)展以及貫通的過程。損傷力學(xué)研究材料內(nèi)部微觀缺陷的產(chǎn)生、發(fā)展所引起的宏觀力學(xué)效應(yīng)以及最終導(dǎo)致材料破壞的過程和規(guī)律。Kachanov等[1-2]在研究金屬蠕變的過程中，首次引入損傷的概念。在該研究的基礎(chǔ)上發(fā)展到今天，形成了細(xì)觀損傷力學(xué)、宏觀損傷力學(xué)和準(zhǔn)宏觀損傷力學(xué)3大塊。

對(duì)于損傷力學(xué)，人們已經(jīng)開展了廣泛而深入的研究，取得了很多研究成果。Krajcinovic等[3-6]基于Weibull分布函數(shù)確定巖石的微元強(qiáng)度，建立了巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)方程。曹文貴等[7-10]在此基礎(chǔ)上，從巖石微元強(qiáng)度分布的隨機(jī)性出發(fā)，建立了巖石損傷本構(gòu)方程，可反映巖石破裂的全過程，尤其是軟化特性。溫韜等[11]提出影響因子，建立了考慮損傷閾值影響的巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。楊明輝等[12]探討了巖石損傷軟化統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型參數(shù)與巖石軟化變形破裂過程的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€的特征參量的理論關(guān)系，建立了本構(gòu)模型參數(shù)新的確定方法。徐衛(wèi)亞等[13]基于概率論和損傷力學(xué)建立了彈塑性損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型，可以反映巖石的剩余強(qiáng)度。楊圣奇等[14]采用損傷力學(xué)理論，建立了單軸壓縮下能夠反映殘余強(qiáng)度的巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。李兆霞[15]通過損傷力學(xué)理論探討了各向同性、各向異性損傷問題及其在工程中的應(yīng)用。尹光志等[16]從煤巖損傷力學(xué)角度出發(fā)研究了煤巖內(nèi)部能量轉(zhuǎn)化機(jī)制導(dǎo)出了脆性煤巖損傷能量釋放率。筆者[17]分析了砂巖在三軸壓縮試驗(yàn)和峰前卸圍壓試驗(yàn)下的能量變化規(guī)律。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，建立了考慮裂紋閉合影響的巖石損傷本構(gòu)方程，并找到了模型參數(shù)確定的有效方法，所建立的模型能反映不同圍壓下的應(yīng)力變化情況；此外，考慮裂紋閉合效應(yīng)，對(duì)損傷耗能率的變化規(guī)律進(jìn)行了詳細(xì)的分析。

2巖石損傷本構(gòu)模型的建立

2.1三軸壓縮下?lián)p傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)方程的推導(dǎo)

統(tǒng)計(jì)損傷理論建立巖石變形的全過程模擬主要有2個(gè)方法：其一，基于J.Lemaitre應(yīng)變等價(jià)理論建立巖石損傷模型；其二，基于破損理論和巖土材料力學(xué)性質(zhì)的改變程度建立巖土損傷模型。

基于J.Lemaitre應(yīng)變等價(jià)理論，可以建立如下巖石損傷本構(gòu)關(guān)系：

(1)

式中： [σ*]為有效應(yīng)力矩陣；[σ]為名義應(yīng)力矩陣；[c]為巖石彈性矩陣；[ε]為應(yīng)變矩陣；D為巖石損傷變量；h為裂紋閉合系數(shù)，0≤h≤1。

若破壞前巖石微元的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系符合虎克定律，則可得巖石彈性損傷本構(gòu)方程為

(2)

假設(shè)巖石的破壞準(zhǔn)則通式為

(3)

式中:k0為與材料黏聚力和內(nèi)摩擦角有關(guān)的常數(shù)； σ*為有效應(yīng)力。F=f(σ*)反映了巖石微元破壞的危險(xiǎn)程度，可以用它作為巖石微元的強(qiáng)度。

由于巖石內(nèi)部缺陷分布的隨機(jī)性，巖石的強(qiáng)度也必然是隨機(jī)的。假設(shè)巖石強(qiáng)度服從Weibull分布，其概率密度函數(shù)為

(4)

式中:F為微元破壞Weibull分布的強(qiáng)度變量；m與F0均為Weibull分布參數(shù)。以巖石微元破壞概率作為損傷變量D，由此可得巖石的損傷變量即統(tǒng)計(jì)損傷演化方程為

(5)

可以看出，只要確定了巖石微元強(qiáng)度就確定了損傷變量D。

目前巖石力學(xué)中已認(rèn)可的破壞準(zhǔn)則的表現(xiàn)形式有很多，由于德魯克-普拉格破壞準(zhǔn)則具有參數(shù)形式簡(jiǎn)單、適用于巖土介質(zhì)等優(yōu)點(diǎn)，本文選用德魯克-普拉格破壞準(zhǔn)則確定巖石的微元強(qiáng)度F,其表達(dá)式為

(6)

考慮假三軸條件可得：

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(10)代入式(7)、式(8)可得I1和J2：

(11)

(12)

由式(2)、式(5)可得三軸壓縮情況下的損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型為

(13)

2.2分布參數(shù)的確定方法

根據(jù)上述2個(gè)條件，由式(13)可以求出參數(shù)m與F0：

(14)

(15)

將式(6)、式(14)和式(15)代入式(13)得到本文的巖石損傷本構(gòu)模型，其中裂紋閉合系數(shù)h可以通過假設(shè)巖樣受載前后體積不可壓縮求得，但它存在不少缺陷，本文采用新方法進(jìn)行計(jì)算。

當(dāng)巖石破壞處于殘余強(qiáng)度時(shí)，假設(shè)此時(shí)的損傷變量D=1，故本文引入的裂紋閉合系數(shù)h可以通過式(13) 求得。設(shè)殘余強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變分別為σr,εr，則可得出裂紋閉合系數(shù)h為

(16)

2.3模型的改進(jìn)

該模型僅僅適用于特定圍壓下應(yīng)力-應(yīng)變的情況，若能將其用于不同圍壓下，則該模型更具普遍意義。從文獻(xiàn)[9]可知σc和εc的值與圍壓有關(guān)，因此可以根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立它們與圍壓的關(guān)系式。

由Mohr-Coulomb準(zhǔn)則可得

又因?yàn)棣與和σ3呈線性關(guān)系，即

(18)

式中a和b為常數(shù)，結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)并根據(jù)式(17)、式(18)可得到σc和εc與圍壓的關(guān)系式。然后代入式(14)、式(15)，最后代入式(13)得到本文改進(jìn)的巖石損傷力學(xué)本構(gòu)模型。

此外，在計(jì)算彈性模量和泊松比時(shí)，考慮到圍壓σ3對(duì)巖石的變形破壞有影響，文中的彈性模量E和泊松比μ按式(19)計(jì)算。

(19)

式中：σ1，σ3分別為軸向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力；ε1，ε3分別為軸向應(yīng)變和環(huán)向應(yīng)變;B為環(huán)向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的比值。

3實(shí)例與驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)的損傷本構(gòu)方程的合理性，選取巖樣進(jìn)行試驗(yàn)研究。巖樣來自錦屏某高邊坡區(qū)厚70 m、青灰色的厚層—塊狀變質(zhì)石英細(xì)砂巖(T2-3z3(1-1))。對(duì)巖樣進(jìn)行三軸壓縮試驗(yàn)，通過相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理可得其巖石內(nèi)摩擦角φ=39.3°，凝聚力c=25.9 MPa，單軸抗壓強(qiáng)度σc=109.1 MPa，其他力學(xué)參數(shù)見表1。

表1　巖樣力學(xué)參數(shù)

經(jīng)選擇不同的h值代入本文提出的巖石損傷力學(xué)模型，得出不同裂紋閉合系數(shù)下的本構(gòu)方程，對(duì)h選取了1,0.98,0.96,0.94,0.92,0.9,0.8七個(gè)值進(jìn)行分析，當(dāng)h=1時(shí)所得本構(gòu)方程即為文獻(xiàn)[10]所提出的巖石損傷本構(gòu)方程。不同圍壓、不同h值時(shí)Weibull分布參數(shù)m,F0見表2。

從表2可知，m和F0的大小不僅與圍壓有關(guān)，還與h值有關(guān)。其中圍壓越大，m值越小，F(xiàn)0值越大；裂紋閉合系數(shù)h越小，m值越大，F(xiàn)0值越?。徊⑶业蛧鷫?10，20，30 MPa)時(shí)，隨著h的的減小，m和F0的變化值也較小，當(dāng)h值變化0.02時(shí)，圍壓10，20，30 MPa情況下，F(xiàn)0的變化值分別約為0.6,1.6,3.2；高圍壓(40 MPa)下，m和F0的變化值較大， 當(dāng)h值變化0.02時(shí)，F(xiàn)0的變化值達(dá)25以上。說明高圍壓下，裂紋閉合系數(shù)h對(duì)m,F0的影響更加顯著。

表2　不同圍壓、不同h值時(shí)Weibull分布參數(shù)m和F0

圖1　試驗(yàn)曲線與理論曲線的比較Fig.1　Comparison of curves between theoreticaland measured values

圖1為理論曲線與試驗(yàn)曲線的比較。從圖1可知，峰值前，h值對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線影響不大；峰值后，h值對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線影響更加顯著。隨著h的減小，巖石的殘余強(qiáng)度有所增大，并且峰后延性特征更加明顯，說明裂紋閉合系數(shù)h可以反映巖石的殘余強(qiáng)度特征。當(dāng)h=0.9和0.92時(shí)，所得理論曲線與試驗(yàn)曲線吻合程度較好，因此，選擇不同的h值，本文的損傷力學(xué)模型就可以模擬反映巖石殘余強(qiáng)度以及延性特征在內(nèi)的損傷力學(xué)本構(gòu)方程。

通過將本文理論曲線與試驗(yàn)曲線和文獻(xiàn)[10]曲線(即h=1理論曲線)進(jìn)行比較，可以看出本文模型存在以下特點(diǎn)：

(1) 分布參數(shù)的確定方法更具有目的性，本文求解的分布參數(shù)更符合實(shí)際。

(2) 本文引用了裂紋閉合系數(shù)h，將其代入本構(gòu)方程，能夠反映裂紋對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，更加符合巖石的變形破壞規(guī)律，還可以反映巖石的殘余強(qiáng)度和延性特征，使之更符合工程實(shí)際，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

(3) 與文獻(xiàn)[10]理論曲線相比，本文理論曲線與試驗(yàn)曲線能夠較好地匹配，充分反映巖體的應(yīng)變軟化特性，并能夠很好地反映巖石變形破壞全過程。

圖2為根據(jù)式(5)得出的不同圍壓下巖樣的累積損傷變化曲線，表明不同圍壓下巖樣的損傷演化曲線單調(diào)遞增，當(dāng)達(dá)到屈服強(qiáng)度時(shí)，損傷變量的增長(zhǎng)速率加快。初始加載時(shí)巖樣的應(yīng)變量小，其損傷變量也較小，劣化不明顯或無劣化。隨著加載的進(jìn)行，應(yīng)變量增大，巖樣內(nèi)部微裂紋相互摩擦、擴(kuò)展，損傷累積增大，它是一個(gè)匯聚損傷累積的過程。很明顯，不同圍壓下巖樣的損傷變量演化曲線都遵循S型曲線，該曲線的特征是初始階段，曲線近乎水平；中間階段，曲線迅速上升；終了階段，曲線斜率逐步減小。該類型曲線能夠很好地反映巖石壓縮過程中的不同變形階段：

(1) 彈性變形至微破裂穩(wěn)定發(fā)展階段，對(duì)應(yīng)圖中損傷變量的緩慢增長(zhǎng)階段，幾何上為向上凹，微觀上表現(xiàn)為可恢復(fù)的彈性變形，伴隨局部少量微裂紋的出現(xiàn)。

(2) 非穩(wěn)定破裂發(fā)展階段(或累進(jìn)性破裂發(fā)展階段)，對(duì)應(yīng)圖中的損傷累積速率迅速增加階段，該階段微裂紋的發(fā)展發(fā)生了質(zhì)的變化，軸向應(yīng)變和體積應(yīng)變速率迅速增大，裂紋不斷發(fā)展。

(3) 破壞后階段，對(duì)應(yīng)圖中的損傷累積速率減小階段，幾何上為向上凸，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)完全破壞，裂紋也已貫通。因此，可以構(gòu)建適用于該變形破壞過程的損傷演化過程曲線。

圖2　不同圍壓下巖樣的損傷變量曲線Fig.2　Curves of damage variable of rock specimenunder different confining pressures

4耗散能量分析

本文中的損傷耗能率是基于自由能的塑性部分和彈性損傷部分無關(guān)的假設(shè)，從可觀察變量的自由能位勢(shì)導(dǎo)出的，損傷耗能率還可被定義為恒應(yīng)力和恒溫條件下與損傷變化對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)變能變化量的一半[19]。

假設(shè)塑性應(yīng)變與彈性應(yīng)變之間不存在耦合，即彈性模量對(duì)塑性應(yīng)變的影響很小，可忽略不計(jì)；微塑性與彈性之間僅有部分耦合；損傷與塑性之間也沒有直接的耦合[15]。所以本文微塑性忽略不計(jì)，僅考慮裂紋閉合系數(shù)h的影響。

在一維問題中，有效應(yīng)力可以修正為

(20)

本文僅考慮壓縮情況，根據(jù)熱力學(xué)第一、第二定律，用損傷變量D定義損傷耗能率[15]為

(21)

則有

(22)

又因?yàn)?/p>

可以啊。坐在后排的辛娜仰躺著擺出一個(gè)奇怪的姿勢(shì)，左腿像一條倒空了的麻袋，更像殘荷枯敗的頹枝。你看，我不是幸好少了一條腿嗎？

(23)

(24)

將式(23)、式(24)代入式(22)，得

(25)

(26)

圖3　不同圍壓下巖石損傷耗能率的關(guān)系曲線Fig.3　Curves of damage energy dissipation rate of rock under different confining pressures

再將式(5)代入式(26)得出損傷耗能率的計(jì)算式。此時(shí)裂紋閉合系數(shù)h的取值是分析損傷耗率的關(guān)鍵。

圖3為不同圍壓下巖石損傷耗能率的關(guān)系曲線。由圖3可知，從加載開始，損傷耗能率較??；峰值強(qiáng)度之后，損傷耗能率增長(zhǎng)速率加快，且隨著圍壓的增大，巖石達(dá)到殘余強(qiáng)度時(shí)對(duì)應(yīng)的損傷耗能率越大。裂紋閉合系數(shù)h對(duì)損傷耗能率有較大影響，隨著h的減小，對(duì)應(yīng)的損傷耗能率增大，當(dāng)h達(dá)到0.8時(shí)，巖石破壞階段對(duì)應(yīng)的損傷耗能率陡增。說明峰值前巖石變形以彈性為主，塑性變形量較小，故前期損傷耗能率較低；峰值后，巖石內(nèi)部的微裂紋迅速擴(kuò)展、貫通，形成宏觀裂紋，微裂紋的擴(kuò)展體現(xiàn)了突變性，故損傷耗能率快速增加。裂紋閉合系數(shù)越小，接近峰值點(diǎn)或超過峰值點(diǎn)以后，巖石內(nèi)部損傷加劇越快，宏觀表現(xiàn)為應(yīng)變軟化階段，儲(chǔ)存的彈性應(yīng)變能逐漸轉(zhuǎn)化為因損傷而消耗的能量，故損傷耗能率越大。因此，巖石的變形破壞不僅與其應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，還與巖石的損傷演化積累以及裂紋閉合效應(yīng)有關(guān)。

圖4和表3為不同σ3和h下，裂紋閉合效應(yīng)所對(duì)應(yīng)的巖樣破壞后的損傷耗能率。

圖4　不同h值對(duì)應(yīng)破壞后的損傷耗能率曲線Fig.4　Curves of damage energy dissipation ratein the presence of different h values

h不同圍壓下的損傷耗能率/MPaσ3=10MPaσ3=20MPaσ3=30MPaσ3=40MPa1.000.88651.43321.57508.72200.980.98681.53051.74779.15710.961.12891.68961.95939.69950.941.12801.80742.227910.38380.921.45421.97882.583811.26180.901.63172.34273.078712.40680.803.10537.656610.795729.5697

5結(jié)論

本文結(jié)合巖石應(yīng)變強(qiáng)度理論以及巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布的假設(shè)，引入裂紋閉合系數(shù)，從而提出更加完善的巖石損傷力學(xué)模型，該模型具有更廣的適用性，能更好地表征巖石的本構(gòu)關(guān)系。并且通過引入損傷耗能率，研究了考慮裂紋閉合效應(yīng)的耗散能量的變化規(guī)律，得出如下主要結(jié)論：

(1) 低圍壓下，裂紋閉合系數(shù)對(duì)m，F(xiàn)0的影響較??；高圍壓下，該影響更加顯著。

(2) 針對(duì)現(xiàn)有巖石損傷力學(xué)模型的局限性，本文提出裂紋閉合系數(shù)建立新的損傷本構(gòu)方程，使其應(yīng)用范圍更廣，更加符合巖石的變形破壞規(guī)律，還可以反映巖石的殘余強(qiáng)度和延性特征；與試驗(yàn)結(jié)果和前人成果比較分析，表明本文模型更為合理可行。

(3) 裂紋閉合系數(shù)h對(duì)損傷耗能率具有較大影響，隨著h的減小，損傷耗能率增大，當(dāng)h達(dá)到一定值，巖石破壞階段對(duì)應(yīng)的損傷耗能率陡增。

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(編輯：趙衛(wèi)兵)

A Rock Damage Mechanics Model and Analysis on Damage EnergyDissipation in Consideration of Crack Closure Effect

WEN Tao, TANG Hui-ming, LIU You-rong, WANG Kang, YI Xian-long, TAN Qin-wen

(Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan430074, China)

Abstract:In view of the insufficiency of the present rock damage mechanics models, we propose a statistical constitutive model of rock damage considering the crack closure effect by introducing the statistical damage theory. The model is more consistent with the deformation and failure regularity of rock, and reflects the residual strength and ductility, hence having a wide range of application. The model is proved to be rational and feasible through comparison with the existing research results and measured data. The curves of damage variable under different confining pressures conform with the “S” shape, which can be divided into different phases according to the deformation failure stages. Crack closure coefficient (h) has great influence on the damage energy dissipation rate. With the decrease of h , damage energy dissipation rate increases; when the value of h reaches a certain value, the damage energy dissipation rate rises sharply. Therefore, the deformation failure of rock is not only related with stress state, but also involves the accumulation of damage evolution and crack closure effect.

Key words:rock mechanics; damage; crack closure effect; damage energy dissipation rate；micro element strength

中圖分類號(hào)：TU45

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-5485(2016)05-0069-07

doi:10.11988/ckyyb.201501382016,33(05):69-75

作者簡(jiǎn)介：溫韜(1990-)，男，江西宜春人，博士研究生，從事工程地質(zhì)與巖土工程方面的研究，(電話)13476117745(電子信箱) wentao200840@sina.com。

收稿日期：2015-02-16；修回日期：2015-03-27