奚亞男

(安徽工程勘察院，安徽 合肥 230011)

半空間的豎向沖擊振動模擬與分析

奚亞男

(安徽工程勘察院，安徽 合肥 230011)

考慮在半無限空間邊界上受到圓域分布脈沖作用的情況，可以用于探索人工地震及天然地震中地震波的特性及傳播規(guī)律。為了簡化討論的難度，采用了半無限空間彈性體的假設模型，通過MATLAB編程實現(xiàn)，這也就是彈性動力學中的Lamb(蘭姆)問題。

半空間模型；豎向沖擊；地震波

0 引 言

在工程實踐中經常使用強夯法加固地基、錘擊法成樁施工、工程爆破等,他們的沖擊作用對周圍環(huán)境產生影響[1-2]。此外由公路和鐵路運輸,人類的其他活動引起的振動影響,這些問題都會造成靈敏儀器失靈,引起人的不適,并對附近建筑物造成危害。因此蘭姆問題在工程中的運用及進一步的深入研究具有重要的意義[3-6]。在本文中采用半解析方法對半空間彈性體模型進行計算,其中運用到快速傅立葉變換等,對半解析解法的應用,大大簡化了計算量和復雜性,并且適于向更復雜的工程實際進行推廣,而這對于純解析解法是無法想象的[7-11]。

為了易于接受,考慮按照定解問題的思路來解決該問題,即按照泛定方程、定解條件相結合的模式。所以本文從采用位移表述的納維方程出發(fā),運用勢函數(shù)對其進行化簡,得出簡化形式的泛定方程,采用Laplace變換、傅里葉-貝塞爾積分等數(shù)學手段處理邊界條件和初始條件,給出位移的解析形式解,最后采用數(shù)值積分的方法求出邊界上各點不同時刻的位移值。

1 彈性動力學的位移表述

考慮半無限空間彈性體,結合平衡條件、變形相容條件和固體本構關系三方面,可以導出彈性動力學的位移表述,即納維方程

(1)

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2 泛定方程

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本文所考慮的問題泛定方程可以導出

(4)

φ和χ叫做亥姆霍茲勢。其中，c1,c2為速度常數(shù)。

圖1 半空間彈性介質模型

3 邊值條件和初始條件的處理

在無限半空間的邊界面z=0上,作用著以原點為圓心、以ε為半徑的均勻脈沖力,脈沖力可用下式表示[2]，即

(5)

處理后的邊界條件可以表述為

(6)

(7)

考慮到撞擊還未開始時,整個半無限空間都處于自然狀態(tài),相應的有下列初始條件:

(8)

4 采用數(shù)值解法求取邊界面上的位移

為了避免繁雜的數(shù)學積分運算,考慮到工程實踐的可行性,下面將采用MATLAB軟件,運用數(shù)值解法來求取邊界點處的位移值。可以選取幾個特定的具有代表性的點,給出其在各時刻的位移值,這在工程實踐和理論研究中都具有重要的價值。

為了顯示震動的傳播過程,特選取地基表面三個不同的位置,炮檢距分別為D=5 m,D=10 m,D=15 m。

在各向同性彈性土半空間中,由某一擾動所產生的波場可由壓縮波、剪切波及瑞利波描述,其中壓縮波和剪切波在介質內部傳播,故稱其為體波,瑞利波主要在彈性半空間表面?zhèn)鞑?故稱其為面波。各向同性彈性介質中壓縮波和剪切波速度與介質Lame常數(shù)有如下關系:

(9)

(10)

其中,G、λ為Lame常數(shù),ρ為密度,cs,cp為橫波波速和縱波波速。

圖2～4所示為不同炮檢距時的位移隨時間變化圖。對比圖2～4可以看到隨著觀測點距離的增大,直達波到達的時間推遲,符合實際。當面波到達時位移值達到最大,說明面波對質點位移造成很大的影響。

圖2 炮檢距D=5 m時位移

圖3 炮檢距D=10 m時位移

圖4 炮檢距D=15 m時位移

當改變激振半徑ε=0.5 m時,D=15 m,得到的位移值如圖5所示。

圖5 激振半徑ε=0.5 m時的徑向位移

可以發(fā)現(xiàn)當半徑增大時,位移值變小,位移峰值寬度變大,這主要因為,在激振力確定時,半徑變大導致激振應力減小,從而位移會相應減小。

改變激振力的持時為原來的10倍即t0=5×10-3s,D=15 m處位移如圖6所示。

圖6 激振力持續(xù)時間t0=5×10-3s時的徑向位移

可以看出改變激振力持續(xù)時間時,由于激振沖量固定,激振力時間越長,激振力的幅值越小,導致位移的幅值變小,峰值寬度變大。

根據本文所提出的半解析方法,探討了不同激振力因素對表面各點位移的影響。對于半無限空間模型求得了地基表面各點的振動位移圖像。

對于半無限空間情形,各點位移變化的總體圖像是:地基表面各點的徑向位移及豎向位移都依時間順序先后出現(xiàn)三個極值,其幅度也有所不同。

(1) 據已有的地震波傳遞的資料,可以清晰地判定出第一個極值對應著縱波,也可稱為壓縮波、體波,代表著地基各微元體的體積變化,縱波的波速快,但是相對的震動幅度小很多,所以第一個極值的數(shù)值相對較小。

第二個極值對應著橫波,也可稱為剪切波,代表著地基各微元體的形狀變化,而橫波的波速相比縱波有一定的差距,所以圖像上可以看到第二個極值的出現(xiàn)較第一個極值的出現(xiàn)要推遲相當一段時間,其時間差正是波速的相差所導致的。

第三個極值對應著面波,也就是通常所說的瑞利波,這是在地震波傳遞過程中發(fā)生相互作用但是只存在于地基表面的地震波形式,對于其產生的詳細分析可以從任何一本介紹地震波的著作中找到,本文在此就不做過多的敘述。在本文的論述中清楚地展現(xiàn)了在地震中地表產生了三種不同性質的波動形式,以及其傳播的速度、震動幅度都有所不同。

(2) 對比各極值點的幅值可以發(fā)現(xiàn),第三個極值的振動幅度最大,這說明當發(fā)生地震時,橫波和面波的破壞作用最大,而縱波雖然傳播的速度最快,但是由于其震動幅度相對較小,一般難以覺察,然而這對地震的監(jiān)測有著很重要的意義,可以在監(jiān)測到縱波時及時采取措施將破壞程度降到最低。

(3) 考慮地表振動幅度隨炮檢距的影響。可以看出,隨著距震源距離的逐漸增大,三個極值出現(xiàn)的時間推遲,各極值之間的時間間隔增大,更容易清晰地看到三個波極值的出現(xiàn)。

(4) 改變激振半徑時,激振半徑越大位移幅值越小,得到的位移曲線變化越緩,極值的持續(xù)時間越長。

(5) 改變激振力持續(xù)時間時,由于激振沖量固定,激振力時間越長,激振力的幅值越小。這就導致位移的幅值變小,且峰值寬度變大。

5 結束語

對于本文所提出的半解析方法,在理論和工程實踐上都有重要的意義,但是也存在著一些無法避免的問題,即為了討論的方便和減小問題的難度,對于半無限空間考慮的對象是均勻土層,而任何工程實踐的地基土都是極端復雜的,充滿著各種由非均勻介質因素導致的非線性問題,具體的更細化的研究有待于進一步深入的討論。

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2016-06-08；修改日期：2016-06-16

奚亞男(1984-)，女，江蘇啟東人，碩士，安徽工程勘察院工程師．

P315.31;TU973.31

A

1673-5781(2016)04-0439-04