吳英柱

(廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系,茂名 525000)

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高階變系數(shù)函數(shù)方程解的振動準(zhǔn)則

吳英柱*

(廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系,茂名 525000)

摘要：利用反復(fù)迭代的思想方法，討論了一類高階變系數(shù)函數(shù)方程

解的振動性，給出了這類函數(shù)方程一切解振動的幾個(gè)充分條件：如果存在整數(shù)n≥0，使得

則上述方程的一切解振動；如果存在一個(gè)整數(shù)n≥0，使得

則上述方程的一切解也振動. 并且給出了該方程在差分方程中的若干應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：高階; 函數(shù)方程; 非線性; 振動

高階函數(shù)方程的振動性研究受到研究者的關(guān)注[1-16]．周勇等[7-8]、戴麗娜等[15]研究了方程

和

x(g(t))=p(t)x(t)+

得到了一系列結(jié)果．

在此基礎(chǔ)上，本文沿用文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[15]的方法，研究了高階非線性變系數(shù)函數(shù)方程

x(g(t))=p(t)x(t)+

(1)

的振動性，其中函數(shù)p,Qi(i=1,2,…,m)：I→+=(0,∞)，I?(0,∞)，I是+上的一個(gè)無界子集；g：I→I且g(t)不恒等于∞.定義gi為g的i次迭代，即g0(t)=t,gi+1(t)=g(gi(t))，t≥t0,i=0,1,2,…,tI.kj≥1為正整數(shù)，aj為非負(fù)實(shí)數(shù)，j=1,2,…,s且.

1振動準(zhǔn)則

如果函數(shù)x:I→使得sup{|x(s)|:sIt0=[t0,∞)∩I}>0對任何t0(0,∞)成立，且對tI滿足方程(1)，則稱其為方程(1)的一個(gè)解．這樣的解稱作是振動的，如果存在一列點(diǎn)I，使得且x(tn)·x(tn+1)≤0，對n=1, 2, …成立，否則稱為非振動的．

定理1如果存在整數(shù)n≥0，使得

(2)

則方程(1)一切解振動．

x(g(t))≥p(t)x(t),

(3)

(4)

把式(4)代入方程(1)得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

(6)

由式(6)可得

x(g(t))≥p1(t)x(t)，

(7)

(8)

同樣對x(g(t))≥p1(t)x(t)進(jìn)行迭代，可得

代入方程(1)，可得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

反復(fù)迭代，可得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

推論1假設(shè)

(9)

其中β是方程

(10)

的最大正實(shí)根，則方程(1)的一切解振動．

證明設(shè)x(t)>0是方程(1)的非振動解，由定理1，有p1(t)≥p(t)/(1-A)，則

因此，

(11)

當(dāng)K=1時(shí)，方程(10)為β2-β+A=0,可得：

推論2當(dāng)A<1/4，且

時(shí)，方程(1)的一切解振動．

所得結(jié)論實(shí)質(zhì)改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]187的定理3.1．

(12)

則方程(1)的一切解振動．

(13)

同理，由方程(1)可得：

x(g2(t))=p(g(t))x(g(t))+

(14)

類似前面的證明，對x(g2(t))≥p(g(t))x(g(t))進(jìn)行kj+i次迭代，有

(15)

把式(13)和式(15)代入式(14)可得

x(g2(t))≥

這與條件(12)相矛盾，故不存在非振動解，則方程(1)的一切解振動．

注1不難看出定理2實(shí)質(zhì)上改進(jìn)了文獻(xiàn)[8]416中定理2的結(jié)果；由定理2可知，若

2應(yīng)用

由于方程(1)以離散變量的差分方程和具連續(xù)變量的差分方程作為其特殊情形.對于g(t)=t-，+,I=+的情形，方程(1)化為具連續(xù)變量的差分方程：

x(t-)=p(t)x(t)+).

(16)

由定理1和定理2，可得

定理3假設(shè)p(t)>0，Qi(t)≥0，且下列條件之一成立

其中n≥0為整數(shù)．

同理，考慮無窮時(shí)滯的差分方程

(17)

易得:

定理4假設(shè)p(t)>0，Qi(t)≥0，且下列條件之一成立

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【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

Oscillation Criteria of Solutions to Higher Order Variable Coefficient Functional Equations

WU Yingzhu*

(Department of Mathematics, Guangdong University of Petrochemical Technology,Maoming 525000, China)

Abstract：By utilizing iterative method, oscillation of solutions to high-order variable coefficient functional differential equations of the formajsgn x(gkj+i(t)) is discussed. When n≥0, n is an integer, andaj>1(tI), all the solutions of the above equations are oscillation. When n≥0, n is an integer, and

all the solutions of the above equations are oscillation. Some sufficient conditions for these equations are established. Some applications in difference equations are given.

Key words：higher-order; functional equations; nonlinear; oscillation

中圖分類號：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-5463(2016)02-0107-04

*通訊作者:吳英柱，講師，Email：wuyingzhu1978@163.com.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1127380);茂名市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2014050);廣東石油化工學(xué)院自然科學(xué)研究基金項(xiàng)目(513021)

收稿日期：2015-07-01《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n