尚　宇，武小燕（西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，西安710021）

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傅里葉級數(shù)在心電信號模擬中的應(yīng)用*

尚宇，武小燕
（西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，西安710021）

摘 要：為了解決心電醫(yī)療設(shè)備中波形校正，設(shè)備檢修的問題．文中分析了心電信號模擬的方法，提出了運(yùn)用傅里葉級數(shù)（Eourier Series）對心電信號Q、R、S、P、T波形，QRS、P-R、S-T間期進(jìn)行模擬仿真．仿真結(jié)果表明：心電信號隨時間呈現(xiàn)周期性變化，R波幅值最大，T、P、S、Q波幅值逐漸減小，模擬的心電信號可以調(diào)節(jié)幅度、間期、心率，產(chǎn)生各種病癥的心電信號，有利于心電圖機(jī)，便攜式心電監(jiān)護(hù)儀設(shè)備的檢測與校準(zhǔn)．

關(guān)鍵詞：心電信號；傅里葉級數(shù)；模擬；R波形；QRS間期

基金資助：陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃（2014JM2-6093）

由于心電醫(yī)療設(shè)備出現(xiàn)故障后，一般都要檢查一下各導(dǎo)聯(lián)工作是否正常，并且進(jìn)行維修，為了保證監(jiān)護(hù)儀、心電圖機(jī)參數(shù)的準(zhǔn)確性．這時通常會用模擬的心電信號來代替人體進(jìn)行初步檢查，以進(jìn)行調(diào)試．這樣做既安全又保險，避免了用人體來做檢查產(chǎn)生的不安全隱患［1］．

隨之?dāng)?shù)學(xué)建模的深入發(fā)展和研究，McSharry等人針對心電信號的模擬建立出一個合適的數(shù)學(xué)模型并加以實施．該方法的原理就是在XY平面上投影出一個單位圓，Z軸方向上不斷變化進(jìn)行心電信號波形的模擬［2］．但是這種數(shù)學(xué)模型的建立僅僅只有Z軸方向上的變化，模擬所得到的心電信號種類較為單一，數(shù)量有限．李剛等人在后來的研究中發(fā)現(xiàn)該方法的局限性與模型的復(fù)雜性，因此，他開發(fā)了一套心電信號模擬軟件系統(tǒng)，該系統(tǒng)是通過畫圖的方式產(chǎn)生的，實驗者可以根據(jù)心電信號的特點(diǎn)，畫出適合模擬信號所需的波形圖，所有畫出的波形圖構(gòu)成了心電信號模擬的模板庫，實驗者根據(jù)模擬所需，采用不同的心電信號模板再加以周期重現(xiàn)就得到一個長時的心電信號波形圖［3］．這種方法后來被廣泛使用，但是該方法一是調(diào)用模板庫比較費(fèi)時，二是模板庫數(shù)據(jù)受畫圖人的主觀因素較大，結(jié)果很難保證［4］．近幾年，心電醫(yī)療教育培訓(xùn)和心電設(shè)備的檢測對模擬所得的心電信號要求較高，心電信號應(yīng)當(dāng)滿足不同狀態(tài)下心電信號的診斷標(biāo)準(zhǔn)，這使得我們在心電信號模擬上應(yīng)當(dāng)利用一種新的數(shù)學(xué)模型，讓心電信號模擬取得更好的效果．

文中McSharry和李剛的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，將傅里葉級數(shù)與心電信號模擬相結(jié)合［5］，提出了一種適用于心電信號模擬的方法-傅里葉級數(shù)心電信號模擬法，分析了Q、R、P、T波形，QRS、P-R間期模擬的需求，給出了該算法的仿真結(jié)果并對其進(jìn)行分析．

1　傅里葉級數(shù)理論和心電信號基礎(chǔ)

心電信號是在心臟活動過程中，心臟的肌肉和神經(jīng)電活動的綜合表現(xiàn)，信號源自于心臟［6］．心電信號屬于一種常見的微弱生物醫(yī)學(xué)信號，如果測試中離開人體體表微小的距離，就基本上檢測不到心電信號的存在．正常的心電信號的幅值范圍大概在0．05～5 m V之間，頻率范圍約在0．05～100 Hz之間，然而大部分的能量主要在0．25～40 Hz．正常人的QRS復(fù)合波波寬在一般多在0．08 s左右．正常成人的P-R間期一般在0．12～0．20 s之間．正常P波寬度不超過0．01 s，最高幅度不超過0．25 m V．正常范圍的T波出現(xiàn)時長為0．05～0．25s，電壓幅度不會高于同導(dǎo)聯(lián)中R波的十分之一，一般正常范圍內(nèi)，Q-T間期在0．32～0．44 s，其間期長短與心率有較大的關(guān)系，心率越快，Q-T間期就會越短［7］．一個完整的心電信號波形是由P波，Q波，R波，S波，T波，U波以及P-R間期，ST段，Q-T間期等組成．一個完整的心電信號的基本構(gòu)成如圖1所示．

圖1　心電信號波形圖Fig．1 ECG waveform

設(shè)f（x）是一個周期為T的函數(shù)表達(dá)式，由f（x）所確定的傅里葉級數(shù)表達(dá)式［8］為

式中：T＝2l，n＝1，2，3，…．

心電信號作為一種微弱的生理信號，具有一定的周期性，由心電信號的基礎(chǔ)知識所知，其滿足狄利克雷條件，在一個周期內(nèi)無間斷點(diǎn)，并且有有限個極大值和極小值［9］．因此，心電信號的模擬可以采用傅里葉級數(shù)來展開．

2　傅里葉級數(shù)模擬心電信號

心電信號是一種周期性信號，其一個周期是形似三角波形和正弦波相互疊加的一個波形．心電信號的每個顯著波群和間期均可通過疊加得到的波形移動和縮放得到［10］．心電信號QRS波群中，通過分析三個波形的實測情況，與三角波有一定相似度，因此，Q、R和S的部分可以通過三角波模擬．P、T和U部分幅值較小，近似于一個的圓拱形，因此，用正弦波模擬P、T和U波形．模擬產(chǎn)生的Q、R、S、P、T和U波經(jīng)過疊加，構(gòu)成完整的心電信號．

2．1 QRS波形模擬

三角波形應(yīng)用于QRS波模擬的理論分析由式（1）推導(dǎo)如下：

三角波可表示為以下函數(shù)式

根據(jù)傅里葉級數(shù)算法的分析，我們可知

因此，三角波形的傅里葉展開式

利用以上推導(dǎo)公式可以實現(xiàn)Q波模擬，R、S波的模擬原理和Q波相同．

2．2 PTU波形模擬

正弦波應(yīng)用于PTU波模擬的理論分析由式（1）推導(dǎo)為

設(shè)正弦波

因此，正弦波的傅里葉展開式

利用以上推導(dǎo)公式可以實現(xiàn)P波的模擬，T、U波的模擬原理和P波相同．

3　心電信號模擬仿真實驗

3．1 正常心電信號的模擬

模擬得到的正常心電信號，其心率值為72次／min，P波幅度為0．25 m V，R波幅度為1．60 m V，Q波幅度為0．025 m V，T波幅度為0．35 m V，P-R間期為0．16 s，S-T間期為0．18 s，QRS間期為0．11 s．圖2為模擬的心電信號，圖3為麻省理工心電數(shù)據(jù)庫（MIT-BIH Database）中100號數(shù)據(jù)，此數(shù)據(jù)為實際采集到的心電信號．

由圖可知，運(yùn)用傅里葉級數(shù)模擬的心電信號與真實的原始信號相比，模擬心電信號的Q、R、P、T波形和間期特性均有呈現(xiàn)．

3．2 心律異常心電信號的模擬

竇性心動過速（tachycardia）是指成年人竇房結(jié)發(fā)出的激動超過了100次／min以上，竇性心動過速是常見的心律失常，輕度患者可無自覺癥狀或僅有心悸、胸悶、乏力、頭暈、出汗；重度患者發(fā)紺、氣促、暈厥、低血壓、休克、急性心衰、心絞痛，甚至衍變?yōu)樾氖翌潉佣溃鶕?jù)以上特征，運(yùn)用傅里葉級數(shù)模擬的心動過速心率值高達(dá)140次／min，從圖中可以看出心率明顯加快．

圖2　模擬心電信號Eig．2 ECG simulation

圖3　實際心電信號Fig．3 Actual measurement of ECG

竇性心動過緩（bradycardia）是成年人竇房結(jié)自律性降低所致的竇性心律失常，其頻率在60次／min以下，平時心率每分鐘70～80次，如果降到40次／min以下時，病人會有自覺心悸、氣短、頭暈和乏力，嚴(yán)重時伴有呼吸不暢、腦悶、頭疼，不定時心前區(qū)有猛烈的沖擊感，更重時可因心排出量不足而突然昏倒．根據(jù)以上述說，運(yùn)用傅里葉級數(shù)模擬的心動過緩心率值低至40次／min，心率明顯降低．

T波，QRS波群之后凸起的波，代表著心室的舒張活動．T波的觀察要從方向、形態(tài)和深度等方面來進(jìn)行．方向方面，T波是一個直立向上的圓滑波形，偶爾也會發(fā)生T波倒置的現(xiàn)象．形態(tài)方面，T波的波形是一個圓滑的頂端，具有不對稱性，前半部分波形緩慢的上升，后半部分波形陡然下降．深度方面，雖然各個導(dǎo)聯(lián)情況不盡相同，但是T波一般不超過0．5 m V．如若T波異常高尖其幅度值大于0．5 m V，通常是心肌梗死的早期或高鉀血癥的病兆，應(yīng)當(dāng)給予重視．

S-T段，指的是QRS波群終止到T波開始之間的一段時間．觀測S-T段主要是看它深度還有形態(tài)．從形態(tài)上來說，正常的S-T段是與T波相連的一條高于等位線之上微微上揚(yáng)的線．從深度上來說，S-T段一般比等位線高，但是高的幅度不盡相同，在肢體導(dǎo)聯(lián)中，S-T段一般比等位線高0．1 m V；在胸前導(dǎo)聯(lián)中，S-T段比等位線高0．1 m V～0．3 m V不等，S-T段高于或低于上述幅度范圍，應(yīng)該給予重視．因此，正常情況下，S-T段波形一般是上斜型的形態(tài)特征，如若S-T段波形出現(xiàn)水平或微微下傾的線，則是心電信號異常的表現(xiàn)，應(yīng)當(dāng)及時進(jìn)行就醫(yī)．上述幾種異常心電信號模擬仿真結(jié)果如圖4所示．

圖4　異常心電信號Fig．4 Abnormal ECG

4　模擬心電信號實驗分析

從實驗仿真結(jié)果來看，在圖4（a）中，2 s的時間內(nèi)有四個完整的波形出現(xiàn)，代表著2 s心臟大約跳動了4．5次，一分鐘大約有145次的心跳，實驗數(shù)據(jù)顯示，其自動調(diào)節(jié)心率值為140次／min，而一般成年人的心率為60～100次／min，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了正常取值，是心動過速的一種表現(xiàn)．在圖4（b）中，2 s大約有1．5個波形出現(xiàn)，一分鐘大約跳動45次，實驗數(shù)據(jù)顯示自動調(diào)節(jié)心率值為40次／min，該數(shù)值低于正常標(biāo)準(zhǔn)，是心動過緩的而一種表現(xiàn)．圖4（c）中2 s大約有2．5個波形出現(xiàn)，一分鐘大約跳動75次，實驗數(shù)據(jù)顯示自動調(diào)節(jié)心率值為72次／min，符合正常標(biāo)準(zhǔn)，但是該心電信號T波幅度高達(dá)1．25 m V，超過正常狀態(tài)的3倍，異常高尖，這是T波幅度異常的一種表現(xiàn)，這可能是因為運(yùn)動引起的冠狀動脈機(jī)能不全，致使心肌心內(nèi)膜下及心外膜下產(chǎn)生急性心肌缺血，從而導(dǎo)致了T波形態(tài)的改變的一種現(xiàn)象．圖4（d）和圖4（c）心率相同，但S波和T波幅度較小，造成S-T段平緩，這可能是心肌出現(xiàn)缺血或壞死的表現(xiàn)．

由于心電信號的多樣性，不同類型的心電信號需要設(shè)置不同的參數(shù)．本文以正常心電信號、心率過速，心率過緩，T波異常高尖，S-T段水平為例，展示了利用傅里葉級數(shù)原理進(jìn)行不同的心率，幅度，時間間期等參數(shù)的選擇，對不同類型心電信號進(jìn)行模擬的效果圖．

此外，異常心電信號的典型信號，如房性早搏，P波消失，R-R間期不齊，心房顫動等都可以用傅里葉級數(shù)原理進(jìn)行模擬，得到對應(yīng)的效果圖．

5　結(jié)論

文中通過對心電信號各個波形和間期模擬的實現(xiàn)，運(yùn)用三角波和正弦波，采用傅里葉級數(shù)（Eourier Series）的原理進(jìn)行模擬仿真實驗．傅里葉級數(shù)模擬得到的心電信號可以自由調(diào)節(jié)R-R間期長短，進(jìn)而改變心率值大小，用于心率失常的演示與判別．模擬P、Q、R、S、T波形可自由更改幅度大小，有利于醫(yī)學(xué)上波形高尖或者水平病癥的研究．QRS、P-R、S-T間期對與心室心房活動機(jī)制研究提供了模板．利用上述模擬方法，根據(jù)相關(guān)醫(yī)學(xué)知識，模擬出具有指定特點(diǎn)的心電信號，在使用中不斷地擴(kuò)充心電模板庫和模擬心電數(shù)據(jù)庫，強(qiáng)化心電數(shù)據(jù)庫的功能，為心電信號研究提供參考．

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（責(zé)任編輯、校對 張立新）

Application of Fourier Series in ECG Simulation

SH ANG Yu，WU Xiaoyan
（School of Electronic Information Engineering，Xi’an Technological University，Xi’an 710021，China）

Abstract：Eor the electrocardiograph correction and equipment maintenance，this paper presents the electrocardiograph simulation method for simulating Q，R，P，T waveform and QRS，P-R interphase by using Eourier series．The simulation results are as follows．ECG signal displays cyclical variation with time；R wave amplitude is the maximum；T，P，S，Q wave amplitude decreases gradnaly；ECG simulation can adjust the amplitude，interphase and heart rate，producing a variety of signals of disorders．Which makes it easy for the portable ECG monitor and ECG machine to test and calibrate．

Key words：ECG；fourier series；simulation；R waveform；QRS interphase

作者簡介：尚 宇（1973－），女，西安工業(yè)大學(xué)教授，主要研究方向信號與信息處理．E-mail：179648622＠qq．com．

*收稿日期：2015-05-16

DOI：10．16185／j．jxatu．edu．cn．2016．01．005

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：中圖號： TP312 A

文章編號：1673-9965（2016）01-0021-05