楊連青

（陽泉農(nóng)廣校，山西 陽泉045000）

新教材改革要求 “教師主導(dǎo)，學(xué)生主體”。如何做才能把這個(gè)精神貫徹到整個(gè)教學(xué)工作的始終？首先是問題情境的創(chuàng)設(shè)，也就是說用什么方法、例子，把要講的中心課題逐漸引出來 （新授課和復(fù)習(xí)課還不一樣，復(fù)習(xí)課要換個(gè)角度思考，對原來學(xué)過的題目做變式，最好不要重復(fù)，以達(dá)到常學(xué)常新）。其次要在課堂上對所講授中心課題分步設(shè)置間距，這要因班 （人）而異：基礎(chǔ)好、反應(yīng)快的學(xué)生希望間距大一些；基礎(chǔ)差、反應(yīng)慢的學(xué)生希望間距小一些。這對教師的主導(dǎo)作用要求較高，備課不但要備教材、備知識，還要備學(xué)生。另外就是在課堂上教師要盡量引導(dǎo)學(xué)生 （激勵(lì)學(xué)生思維），讓學(xué)生自己悟出結(jié)論，千萬不能包辦代替。

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、應(yīng)用的廣泛性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)。高度的抽象性是導(dǎo)致數(shù)學(xué)難學(xué)、難教、難懂的主要原因所在。培養(yǎng)學(xué)生抽象性思維的水平，要循序漸進(jìn)，了解每個(gè)學(xué)生當(dāng)下具有的思維水平，設(shè)置適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)問題，不斷調(diào)整，這是我們廣大教師極其艱巨的教學(xué)任務(wù)之一。對學(xué)生思維水平的了解是通過批改作業(yè)、課堂反應(yīng)、課下答疑來逐漸實(shí)現(xiàn)的。在講柯西不等式前，先給學(xué)生布置了一道作業(yè)題：

例1 已知 x、y、z∈R＋，x＋y＋z＝1，求證：＋

有一位學(xué)生給出了如下證明：

這個(gè)證法比較好！疑問是為什么要加9x，9y，9z呢？課堂上，先把這個(gè)證法告知大家，又把例1做了改動：

例2 已知、y、z∈R＋，且 x＋y＋z＝3，求證：

許多同學(xué)都認(rèn)為再加9x，9y，9z肯定證不出來，那應(yīng)該加幾？有的同學(xué)這樣想：

三式相加整理有：

例3 已知 x、y、z、a、b、c∈R+，且 x+y+z=k，求證：

按例2的待定系數(shù)法，大多數(shù)學(xué)生找到了λ=

再下來列出柯西 （Cauchy）不等式：

例4 已知 a，b∈R （i＝1，2，…n），求證：

我們把結(jié)論改一下：a12＋a22＋…＋an2≥（此時(shí)要求bi不全為0）。

這樣我們就可以用例1、例2、例3的思路來證本題。

證：由不等式 a2＋b2≥2ab （a，b∈R ） 有：

再將上面n個(gè)式子相加有：

（當(dāng) ai=λbi，i=1,2，…，n 時(shí)取等號）。

當(dāng)bi全為0時(shí)，原不等式左=右成立。

證畢。

下面，我們換個(gè)角度來證明柯西不等式，先看課本的練習(xí)題。

例5 a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，求證：（a12＋a22）（b12＋b22）≥（a1b1＋a2b2）2

大多數(shù)學(xué)生采用：左邊-右邊≥0方法。

然后接著講，若證 （a12＋a22＋a32）（b12＋b22+b32）≥（a1b1＋a2b2+a3b3）2（ai，bi∈R，i=1，2，3）。

當(dāng)然用 “左邊-右邊≥0”的方法也可以，只是較例5麻煩一些！再深入證

（a12＋a22＋a32＋a42）（b12＋b22+b32+b42） ≥（a1b1＋a2b2+a3b3+a4b4）2，

甚至證 （a12＋a22＋…＋an2）（b12＋b22+…+bn2） ≥（a1b1＋a2b2+…+anbn）2。

要用 “左邊-右邊≥0”的方法就太繁了，甚至不可能！還有沒有別的構(gòu)造法了？隨后教師提示用一元二次函數(shù) f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0） 的理論來構(gòu)造證明柯西不等式。對柯西 （Cauchy）不等式來講，a＝？，b＝？，c＝？ ……（停頓），也就是說要用來代替a，b，c每位學(xué)生都做了嘗試，有的學(xué)生列出了 f （x）＝（a12＋a22＋…＋an2）x2＋（a1b1＋a2b2+…+anbn）x＋（b12＋b22+…+bn2）。 隨后再提示：在x系數(shù)前乘以2是否更好？

每位學(xué)生都列出了：

讓同學(xué)們進(jìn)行演算，大多數(shù)學(xué)生得出了

用向量的數(shù)量積證明柯西不等式。

在開始講授柯西不等式之前，有的學(xué)生提前預(yù)習(xí)了該內(nèi)容，于是提出我們應(yīng)該從哪里下手？我們能做什么？老師讓我們這樣做有什么好處？這正像波利亞在他的 《怎樣解題》一書中提出的問題，進(jìn)行“反思、總結(jié)”是每個(gè)學(xué)習(xí)者必須經(jīng)歷的一個(gè)過程。

柯西 (cauchy)不等式的應(yīng)用。

作業(yè)題 1.若 a，b，c∈R＋，且 a，b，c＝1，

第二堂課對上述兩道作業(yè)題做了解疑，由學(xué)生提問，教師答疑。

作業(yè)1.關(guān)鍵是把條件a+b+c＝1用上。有的學(xué)生說，滿足a+b+c＝1,且a=b=c時(shí)取最小值即a=b=時(shí)原式取最小值該填空題正好碰對了，若是解答題，就不知道了。

有的學(xué)生這樣解答的：

老師問：等式成立的條件是什么？

這個(gè)等式成立的條件是a=b=c=1，與原條件a+b+c=1不符！

有的同學(xué)提出這樣的解：

作業(yè)2.屬競賽范疇第二堂課沒有學(xué)生完全解出來！大多數(shù)學(xué)生只提出了一些思路。本題關(guān)鍵是△ABC內(nèi)心。

解：設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，則

由已知條件有：

49[（b+c-a）2+4（c+a-b）2+9（a+b-c）2]

=36（a+b+c）2……(1)

設(shè) d＝b+c-a，e＝c+a-b，f＝a+b-c（49＝62＋32＋22）

由柯西不等式：

（62＋32＋22）[d2+（2e）2+（3f）2]

≥（6d+3×2e+2×3f）2=36（a+b+c）2

等式成立的條件是：

b+c-a＝9（a+b-c）＝4（c+a-b）

＝＞5a＋4b＝5c，5a＋3c＝5b＝＞a＝13k，b＝40k，c＝45k.

取k＝1就得到滿足條件的最小正整數(shù)。即a＝13，b＝40，c＝45

注：（1）式可變?yōu)?13d2+160e2+405f2-72（de+ef+fd）=0

這種解法計(jì)算量較大。

為了強(qiáng)化訓(xùn)練柯西不等式的應(yīng)用，老師又出了幾道作業(yè)題，來提高學(xué)生對該不等式的認(rèn)識。

作業(yè) 3. 對于一切實(shí)數(shù) x，y，z 滿足（x2＋y2＋z2）2≤n（x4＋y4＋z4）的最小整數(shù) n 是 （）

(A)2 (B)3 (C)4 (D)6

解：（x2＋y2＋z2）2≤（12＋12＋12）（x4＋y4＋z4）

＝3（x4＋y4＋z4）

當(dāng)x2=y2=z2時(shí)，上式等號成立。所以n的最小值為3。

作業(yè) 4. 已知 a，b，c≥0 且 a＋b＋c＝1，

作業(yè) 5.已知 a，b，c∈R+，求證

上式兩邊同除以（a+b+c）有：

作業(yè) 7. 已知 x＞0，y＞0 且 x＋y＝1，求證：

證：設(shè) x＝cos2θ，y＝sin2θ

作業(yè) 8. 已知 sin2A＋sin2B＋sin2C＝1，