白 頡

（太原學(xué)院，山西 太原030001）

高等師范院校是培養(yǎng)教師的主要陣地，而高等代數(shù)是高師院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。它以其抽象深?yuàn)W的知識(shí)為載體，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法；它重在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和解決問題的能力，同時(shí)也是對(duì)初等數(shù)學(xué)部分內(nèi)容的理論化和系統(tǒng)化。因此，關(guān)于高等代數(shù)的教學(xué)研究至關(guān)重要。近年來，在教育改革浪潮的沖擊和其自身矛盾的觸發(fā)下，許多教育工作者對(duì)高等代數(shù)教學(xué)從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、考核方式等不同層面提出了諸多可取的措施[1-5]。但對(duì)于高師專科高等代數(shù)的教學(xué)研究較少，下文主要分析高師專科高等代數(shù)的教、學(xué)現(xiàn)狀，并針對(duì)其主要矛盾給予化解教學(xué)矛盾的策略與方法。

1 高師?？聘叩却鷶?shù)教和學(xué)現(xiàn)狀分析

1.1 學(xué)生現(xiàn)狀

在高校素質(zhì)教育普及的大背景下，高師?？圃盒５纳促|(zhì)量受到了較大的影響，使學(xué)校教育面臨新的挑戰(zhàn)，使課堂教學(xué)難上加難。據(jù)2012年—2015年對(duì)某省四所師專數(shù)學(xué)系學(xué)生關(guān)于高等代數(shù)教學(xué)方面的問卷調(diào)查，綜合分析得如下情況：

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(高考成績(jī))優(yōu)（120以上）及格不及格學(xué)習(xí)高等代數(shù)的興趣學(xué)習(xí)態(tài)度自學(xué)能力學(xué)習(xí)高等代數(shù)價(jià)值的認(rèn)識(shí)0%25.8%74.2%感興趣一般無興趣7.8%37.9%54.3%探索型主動(dòng)型接受型0%11%89%較好一般教差2.5%15.5%82%有一定認(rèn)識(shí)不了解認(rèn)為沒有意義13%32%55%

可見，師專院校數(shù)學(xué)系的大部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、自學(xué)能力較差，在知識(shí)、方法的積累和探索上呈被動(dòng)型，對(duì)學(xué)習(xí)高等代數(shù)的意義認(rèn)識(shí)不深，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣。

1.2 教學(xué)現(xiàn)狀

高等代數(shù)作為一門基礎(chǔ)課程，具有內(nèi)容抽象、應(yīng)用性體現(xiàn)較弱的特點(diǎn)。隨著教改的不斷推進(jìn)，又出現(xiàn)了一系列的不協(xié)調(diào)，如教學(xué)內(nèi)容多、課時(shí)少；教學(xué)中，學(xué)生的主體地位沒有得到充分體現(xiàn)；多媒體教學(xué)與教學(xué)內(nèi)容貌合神離等。

綜上分析，當(dāng)前高師?？聘叩却鷶?shù)課程教學(xué)中，存在的主要矛盾是高度抽象的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生薄弱的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)間的矛盾；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣間的矛盾；刻板的講授方式和學(xué)生消極的學(xué)習(xí)態(tài)度間的矛盾等。對(duì)此，下面提出了三條相應(yīng)地改進(jìn)教學(xué)不協(xié)調(diào)的策略。

2 高師?？聘叩却鷶?shù)教學(xué)策略

2.1 注重聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，滲透理論知識(shí)的應(yīng)用背景

基于學(xué)生現(xiàn)狀，改善學(xué)習(xí)主體的學(xué)習(xí)狀態(tài)、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是教學(xué)的重點(diǎn)之一。當(dāng)代建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)一方面是對(duì)新信息的意義建構(gòu)，同時(shí)又包含對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)的改造和重組，即學(xué)習(xí)者以自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)新信息重新認(rèn)識(shí)和編碼，主動(dòng)構(gòu)建自己的理解。高等代數(shù)每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容通常是概念、性質(zhì)及問題求解的體系，在理性的知識(shí)層面下較少談及與已學(xué)知識(shí)間的關(guān)系或其在生活實(shí)際中的應(yīng)用。若直接照本宣科的話，枯燥的知識(shí)不容易吸引學(xué)生，不利于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)。為此，教師需要加工處理教學(xué)內(nèi)容，通過課堂激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

注重聯(lián)系新舊知識(shí)，找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。通過創(chuàng)設(shè)符合教學(xué)內(nèi)容的情境，揭示新舊知識(shí)間的聯(lián)系，有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行意義建構(gòu)。也就是說，使學(xué)生在一個(gè)情境交互、并利于意義建構(gòu)的過程中收獲知識(shí)。例如，在線性方程組一章中，消元法的教學(xué)中，我們首先創(chuàng)設(shè)問題情境，給出幾個(gè)方程組：

讓學(xué)生觀察并找出可以求解的方程組，同時(shí)分析不能求解的原因。通過學(xué)生分析上述問題，聯(lián)系中學(xué)解方程的方法 (加減消元法和代入消元法)及前面所學(xué)的克拉姆法則解方程組的條件，易得方程組 (3)、(4)、(5)均不能求解，因?yàn)榉匠探M (3)的系數(shù)矩陣A行列式det(A）=0，而方程組 (4)、(5)中方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不相等。方程組(4)、(5)可以求解嗎？對(duì)于學(xué)生來講，這些問題正是他們的空白。此時(shí)，切入課題——消元法，它恰好是判斷并求解任一情形線性方程組的有效方法。這樣導(dǎo)入新課，自然地將學(xué)生帶入到問題情境中，帶著問題聽課利于激發(fā)學(xué)生的求知欲、調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)也可以讓學(xué)生體會(huì)到這部分內(nèi)容是中學(xué)解方程組知識(shí)的完善和系統(tǒng)化。

教學(xué)中注重滲透理論知識(shí)的應(yīng)用背景，將理論知識(shí)投射到生活實(shí)際。每一理論背后都有豐富的、鮮活的應(yīng)用。然而教材中很少體現(xiàn)，大部分學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用了解甚少。因此，教學(xué)中，我們可適量地講解一些知識(shí)在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。例如線性方程組理論有非常廣泛的應(yīng)用，如它是研究網(wǎng)絡(luò)流模型、投入產(chǎn)出模型等方面的重要工具。例如城市規(guī)劃設(shè)計(jì)人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的交通流量、電氣工程師計(jì)算電路中流經(jīng)的電流等。大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流模型中的方程組都包含了數(shù)百甚至上千個(gè)未知量。

通過問題情境導(dǎo)入新課和應(yīng)用實(shí)例的介紹，一方面使學(xué)生們意識(shí)到消元法是中學(xué)方程組內(nèi)容的深化和完善，便于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系。同時(shí)也能感知理性的知識(shí)背后有其豐富、鮮活的應(yīng)用，利于主動(dòng)學(xué)習(xí)。

2.2 采用 “模型化”教學(xué)

對(duì)于抽象的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生往往是能聽懂講解，但不會(huì)運(yùn)用、不會(huì)解題。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生開拓思路、如何將抽象知識(shí)具體化是課堂教學(xué)的主要任務(wù)。為此，在概念、定理的教學(xué)中，我們需抓其本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)翻譯，即將文字語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言，準(zhǔn)確建立符號(hào)模型。例如，在歐氏空間[6]的教學(xué)中，可以建立以下模型：

模型一：{α1，α2，…，αn}是規(guī)范正交基?<αi，αj>=

模型二：矩陣U=(uij)為正交矩陣

模型三：σ是正交變換?<σ(ξ)，σ(η)>＝<ξ，η>，，{γ1，γ2，…，γn}是一組規(guī)范正交基。

模型四：σ是對(duì)稱變換?<σ(ξ)，η>＝<ξ，σ(η)>，?ξ，η∈V。

當(dāng)然在教學(xué)中，揭示了概念、定理的本質(zhì)后，注意幫助學(xué)生積累一些常見的思維模式。比如，子空間W是σ的不變子空間??ξ∈W，σ(ξ)∈W?若{α1，α2，…，αr} 是 w 的一組基，則{σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}為W的一組基。再如關(guān)于 “A或B”命題的證明，通常是在假定A不成立的條件下，只要證明成立B即可。高等代數(shù)中好多問題都可以建立相對(duì)固定的解題模式。這對(duì)開拓解題思路確實(shí)有非常好的教學(xué)效果。如下例：

設(shè)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)正交變換，證明：如果V的一個(gè)子空間W在σ之下不變，則W的正交補(bǔ)W┴也在σ之下不變。

思路解析：要證W的正交補(bǔ)W┴也在σ之下不變，常用的有上述兩種思路，這就需要結(jié)合已知選取合適的方法。

分析已知條件：

(1)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)正交變換?<σ(ξ)，σ (η)>＝<ξ，η > ，?ξ，η ∈V ? <σ (γi)，σ (γj)>=，其中{γ1，γ2，…，γn}是一組規(guī)范正交基；

(2)W是V的一個(gè)子空間，常規(guī)思路是將子空間W的基{α1，α2，…，αr} 擴(kuò)充為V的基{α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn}；

(3)W┴是W的正交補(bǔ)，結(jié)合條件 (1)、(2)，應(yīng)選取W的一組規(guī)范正交基；

(4)W 在σ之下不變? {σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}是的W基。

于是，要證W的正交補(bǔ)W┴也在σ之下不變，只要說明 {σ(αr+1)，σ(αr+2)，…，σ(αn)} 是W┴的一組基即可。

事實(shí)上，設(shè){α1，α2，…，αr}是W的一組規(guī)范正交基，并擴(kuò)充為V的規(guī)范正交基{α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn}。 因?yàn)?αi，αj>=0，其中 i=1，2，…，r； j=r+1，…，n，即αj∈W┴。因?yàn)?V＝W⊕W┴，故 dimW┴=n-r，從而{αr+1，αr+2，…，αn} 是W┴的一個(gè)規(guī)范正交基。又因?yàn)棣沂荲的一個(gè)正交變換，故{σ (α1)，σ(α2)，…，σ(αn)} 也是 V 的規(guī)范正交基；因 W 在σ之下不變，故{σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}是 W 的規(guī)范正交基。 再由<σ(αi)，σ(αj)>=<αi，αj>=0(i=1，2，…，r；j=r+1，…，n)，得σ(αj) ∈W┴(j=r+1，…，n)，從而{σ(αr+1)，σ(αr+2)，…，σ(αn)}是W┴的一組基，即W┴也在σ之下不變。

上例可見，在理解的基礎(chǔ)上掌握各知識(shí)點(diǎn)的模型、積累常規(guī)問題的思維模式，在求解問題時(shí)，便于學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化，可以有效地改進(jìn)學(xué)生見題無從下手的狀況。因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)點(diǎn)的符號(hào)模型，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)換知識(shí)，是高等代數(shù)教學(xué)非?？扇〉姆椒ㄖ弧?/p>

2.3 注重構(gòu)建知識(shí)體系

基于高等代數(shù)重推理論證、輕應(yīng)用，學(xué)生抽象思維能力弱、學(xué)習(xí)相對(duì)被動(dòng)的情況，在教學(xué)中，首先介紹所要解決的問題，大致勾勒出章節(jié)知識(shí)間的關(guān)系，讓學(xué)生初步了解知識(shí)脈絡(luò)，明白所學(xué)內(nèi)容在章節(jié)中的地位與作用，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系。例如，在行列式一章的講授中，結(jié)合本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖介紹章節(jié)間的關(guān)系：

通過簡(jiǎn)單的二元一次方程組、三元一次方程組的求解及相應(yīng)系數(shù)行列式的計(jì)算，讓學(xué)生初步體會(huì)行列式在求解線性方程組中的工具性作用，提出學(xué)習(xí)行列式的目的和意義。通過探索二階、三階行列式中各項(xiàng)正負(fù)號(hào)與腳標(biāo)的關(guān)系，說明學(xué)習(xí)排列的意義——為定義行列式做準(zhǔn)備。此時(shí)，給出行列式的定義，但由于利用定義計(jì)算行列式相當(dāng)麻煩，計(jì)算量太大，從而啟發(fā)我們進(jìn)一步研究行列式的性質(zhì)，并探索計(jì)算行列式的方法，這是本章的重點(diǎn)。最后，給出行列式的應(yīng)用——利用克拉默法則求解線性方程組。這樣就使行列式整章的主體知識(shí)脈絡(luò)清晰，對(duì)每一節(jié)課所要解決的問題及其在本章中的地位和意義一目了然，使學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)更有指向性和目的性。 再如線性變換一章，它是研究維向量空間V中元素之間最基本的聯(lián)系，是高等代數(shù)中最抽象、最難學(xué)的內(nèi)容。為此，希望找到相對(duì)具體的、簡(jiǎn)單的工具來研究它，或者將其轉(zhuǎn)化為熟悉的代數(shù)系統(tǒng)來研究。在教學(xué)中，一方面滲透將抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的數(shù)學(xué)思想方法。另一方面，注意從整體上把握知識(shí)構(gòu)架。這一章共6節(jié)，可以分為兩條主線。

第一條主線 (1節(jié)—3節(jié))：實(shí)現(xiàn)了抽象問題具體化，即建立了L(V)?Mn(F)。結(jié)構(gòu)圖如下：

在第2節(jié)中，定義了線性變換的運(yùn)算——加法、數(shù)乘等運(yùn)算，使線性變換的集合L(V)對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算做成向量空間。在第3節(jié)中，定義了線性變換關(guān)于基的矩陣，將L(V)與Mn(F)聯(lián)系起來，建立了同構(gòu)映射。這樣就將抽象的線性變換問題轉(zhuǎn)化為較為具體的矩陣問題，實(shí)現(xiàn)了較大意義上的具體化。

第二條主線 (4節(jié)—6節(jié))：實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。因?yàn)橥痪€性變換關(guān)于不同基的矩陣相似，自然地希望選取V的一個(gè)基，使得σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣具有盡可能簡(jiǎn)單的形式。這就相當(dāng)于在一切相似的n階方陣中，選出一個(gè)形式盡可能簡(jiǎn)單的矩陣。不變子空間的引入揭示我們：若V分解成s個(gè)在σ之下不變的子空間的直和，則可以適當(dāng)?shù)倪x取基，使得σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣有較簡(jiǎn)形式。若V分解成n個(gè)在σ之下不變的一維子空間的直和，則與σ相當(dāng)?shù)木仃嚲蜑閷?duì)角陣。這正是本征值、本征向量和可以對(duì)角化的矩陣所解決的問題，從而解決了選基簡(jiǎn)化σ關(guān)于基的矩陣的問題。整個(gè)思維結(jié)構(gòu)圖如下：

這一過程的呈現(xiàn)，主體知識(shí)脈絡(luò)、結(jié)構(gòu)清晰，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，可以使學(xué)生帶著問題去聽課，不僅增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的指向性，同時(shí)有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力，便于學(xué)生將新知識(shí)納入到已有的知識(shí)體系中去。

總之，基于高師?？聘叩却鷶?shù)教學(xué)現(xiàn)狀，需不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng)，藝術(shù)地做老師，不斷創(chuàng)新教法。從教之路，充滿了未知，充滿了挑戰(zhàn)，需用心解讀、用智慧成就。