柴秀麗+++程云龍

摘 要： 基于低維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法存在密鑰空間小、安全性不高等問題。為此，在三維Cai混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出一個四維憶阻超混沌系統(tǒng)，同時，基于該系統(tǒng)提出一種新的醫(yī)學(xué)圖像加密算法。安全性分析結(jié)果表明，算法密鑰空間大，對密鑰非常敏感，能夠抵抗蠻力攻擊、已知（選擇）明文攻擊和差分攻擊。

關(guān)鍵詞： 四維憶阻超混沌系統(tǒng)； 混沌； 醫(yī)學(xué)圖像加密； Lyapunov指數(shù)

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2016）05-21-03

Abstract： The image encryption algorithm based on low dimensional chaotic system has the problems of the key space small and the security not high. Therefore， on the basis of three dimensional Cai system， a four-dimensional memristive hyperchaotic system was constructed， and further a new medical image encryption algorithm is proposed. The security analysis shows that the algorithm has a large key space， is very sensitive to keys， and can resist the brute force attack， known plaintext attack， chosen plaintext attack and differential cryptanalysis attack.

Key words： four dimensional memristive hyperchaotic systems； chaos； medical image encryption； Lyapunov exponents

0 引言

隨著網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)的進(jìn)步，圖像信息的安全問題[1]成為現(xiàn)在密碼學(xué)研究的重點(diǎn)之一，特別是醫(yī)學(xué)圖像[2-4]具有高分辨率、高精度、大數(shù)據(jù)量和同色像素連續(xù)性高等特點(diǎn)，其安全性隱患成為制約遠(yuǎn)程醫(yī)療和遠(yuǎn)程監(jiān)護(hù)系統(tǒng)發(fā)展的重點(diǎn)問題。混沌系統(tǒng)[5]對參數(shù)和初始值的高度敏感性等特性很好地對應(yīng)于密碼學(xué)的要求，為圖像加密提供了新思路。在混沌[6-8]密碼學(xué)研究中，低維混沌系統(tǒng)可提供的密鑰空間較小，抗攻擊性能弱[9-10]；高維混沌系統(tǒng)具有的密鑰空間更大，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和非線性動力學(xué)行為更為復(fù)雜，軌跡更加難以預(yù)測和攻破[11-12]。由憶阻器構(gòu)造出的系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[13-14]，相對于一般的混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動力學(xué)行為，為設(shè)計(jì)高安全的混沌圖像加密算法提供了支持[15]。

本文通過結(jié)合憶阻器和Cai混沌系統(tǒng)，構(gòu)造出一個新的四維憶阻超混沌系統(tǒng)，并設(shè)計(jì)了一種保密性更強(qiáng)的醫(yī)學(xué)圖像加密算法。

1 四維憶阻超混沌系統(tǒng)

無量綱處理后的狀態(tài)方程可表達(dá)為⑴：

⑴

其中x，y表示電容，z表示電流，w表示磁通量，w（Φ）=a+3bΦ2，表示憶阻器狀態(tài)，a=1/7，b=2/7，系統(tǒng)參數(shù)α=10，β=9/7，γ=100/7，ξ=0.1。

使用Wolf算法計(jì)算式⑴的Lyapunov指數(shù)，當(dāng)α=10，β=9/7，γ=100/7，ξ=0.1時，式⑴的Lyapunov指數(shù)如圖1所示。有2個大于0的Lyapunov指數(shù)λ1=7.9379，λ2=1.4097，此時式⑴產(chǎn)生了超混沌運(yùn)動，稱為四階憶阻超混沌系統(tǒng)。圖1所示為系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列的時間軌跡，圖2為系統(tǒng)的吸引子曲線。

<2 醫(yī)學(xué)圖像加密算法

加密過程如圖3所示。

[明文][密鑰][憶阻超混沌系統(tǒng)] [擴(kuò)散][擴(kuò)散][擴(kuò)散] [擾動] [密文] [n輪循環(huán)]

圖3 加密過程

加密步驟如下：

Step1 設(shè)明文圖像M，大小為m×n，將M轉(zhuǎn)換成一維序列P（大小為1×mn），由公式⑵和⑶計(jì)算出擾動參數(shù)p和預(yù)迭代次數(shù)K，其中ceil表示向上取整。

⑵

⑶

Step2 設(shè)系統(tǒng)參數(shù)α=10，β=9/7，γ=100/7，ξ=0.1和初值x=10-10，y=0，z=0，w=p/10^8，迭代K次，生成x，y，z，w，4個序列。

Step3 分別取x，y序列中第{1001，1002，...，K}項(xiàng)，然后合并，取{1，2，...，m×n}項(xiàng)作為序列F，并對序列中元素按照式⑷進(jìn)行處理，使其值在0-255內(nèi)。

⑷

其中，F(xiàn)（i）代表序列中的第i個元素。

Step4 按式⑸對明文序列P進(jìn)行第一次擴(kuò)散操作，即P中第i個元素P（i）和序列F中第i個元素F（i）進(jìn)行異或操作，得到擴(kuò)散序列P1。

⑸

此處，p1（i）代表序列P1中的第i個元素。

Step5 對序列F行升序排序，同時記錄元素位置，生成新的位置序列D，PP（Di）=P1（i）i。

以式⑹對明文進(jìn)行置亂操作，即P1中第i個像素值放在向量PP中第Di的位置上，得到置亂后序列PP。

Step6 分別取z，w序列中第{1001，1002，...，K}項(xiàng)，合并，取{1，2，...，m×n}項(xiàng)作為二次擴(kuò)散序列F1，按式⑷進(jìn)行處理，使得F的元素值在0-255范圍內(nèi)，然后按式⑸對置亂后序列PP進(jìn)行第二次擴(kuò)散操作，得到密文序列C1，然后把序列重組為大小為m×n的圖像。

Step7 為了達(dá)到更好的加密效果，重復(fù)Step1-Step6進(jìn)行多輪加密，得到最終密文C，加密過程結(jié)束。

解密過程為加密的逆過程，在系統(tǒng)參數(shù)和初值一致時，可得與明文完全相同的解密圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及安全性分析

分析加密算法時，安全性是首要考慮的問題[6]，下面對本文加密算法的安全性進(jìn)行驗(yàn)證分析。實(shí)驗(yàn)采用一副186×190像素的灰度級MRI腦部圖像和一副256×256的CAMERAMAN圖像，將其作為待加密圖像，如圖4和圖5所示，系統(tǒng)參數(shù)α=10，β=9/7，γ=100/7，ξ=0.1和初值[x，y，z，w]=[10-10，0，0，0]，加密后密文如圖6和圖7所示，以相同的密鑰解密后的圖像如圖8、圖9所示。

優(yōu)良的加密算法應(yīng)該對密鑰敏感，并且密鑰空間應(yīng)該足夠大，以抵抗窮舉攻擊[9]。

本文密鑰包括混沌系統(tǒng)4個初始值和4個系統(tǒng)參數(shù)，設(shè)計(jì)算機(jī)精度為1014，則本文算法的密鑰空間為108×14≈2375。表1給出不同加密算法的密鑰空間對比。

表1 不同算法的密鑰空間對比

[算法＼&密鑰空間＼&文獻(xiàn)[16]＼&1.2×1024＼&文獻(xiàn)[17]＼&1084＼&文獻(xiàn)[18]＼&1056＼&文獻(xiàn)[19]＼&9.8×1055＼&本文算法＼&10112＼&]

可以看出，本文所提出的加密算法密鑰空間遠(yuǎn)大于2100，且較其他文獻(xiàn)加密算法的密鑰空間更有優(yōu)勢，因此能夠更好的抵御蠻力攻擊。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于憶阻混沌系統(tǒng)的醫(yī)學(xué)圖像加密算法，采用擴(kuò)散-置亂-擴(kuò)散的加密模式，實(shí)驗(yàn)和仿真分析表明，該算法具有如下特點(diǎn)：密鑰空間大，足以抵抗蠻力攻擊；密文圖像像素均勻分布，抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊能力強(qiáng)；密鑰敏感性高；可以有效抵抗差分攻擊。

因此，本文提出的加密算法安全高效，在遠(yuǎn)程醫(yī)學(xué)、衛(wèi)星、遙感等圖像信息安全通信領(lǐng)域具有很大的應(yīng)用前景。

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