龍艷文

例3 如圖5，已知ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AP上，試確定點(diǎn)G的位置，使得EG∥平面PFD。

證明線面平行

方法1 構(gòu)造三角形（中心投影）法，轉(zhuǎn)化為線線平行。尋找平面內(nèi)平行直線的步驟如圖6：①在直線和平面外尋找一點(diǎn)P；②連結(jié)PA，交平面α于點(diǎn)M；③連結(jié)PB，交平面α于點(diǎn)N；④連結(jié)MN，即為要找的平行線。

方法2 構(gòu)造平行四邊形（平行投影）法，轉(zhuǎn)化為線線平行。尋找平面內(nèi)平行直線的步驟如圖7：①選擇直線上兩點(diǎn)A，B構(gòu)造兩條平行直線，分別交平面a于兩點(diǎn)M，N；②連結(jié)M，N即為要找的平行線。

方法3 構(gòu)造面面平行。構(gòu)造平行平面的步驟如圖8：①過點(diǎn)A作直線AC，平行于平面α內(nèi)的一條直線A′C′；②連結(jié)BC；③平面ABC即為所要找的平行平面。

證明線線平行

方法1：利用中位線；

方法2：利用平行四邊形；

方法3：利用平行線分線段成比例；

方法4：利用平行公理；

方法5：利用線面平行性質(zhì)定理；

方法6：利用線面垂直性質(zhì)定理；

方法7：利用面面平行。

類型二：已知線面平行

例 如圖9，在底面為平行四邊形的四棱錐S-ABCD中，P為SB的中點(diǎn)，Q為AD上的一點(diǎn)，若PQ∥平面SDC，求值：AQ：QD。

方法 過直線l作平面β，交已知平面α于直線m，則l∥m。

類型三：證明面面平行

例 如圖10，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中。

（1）求證：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；

（2）若E，F(xiàn)分別是A₁A，C₁C的中點(diǎn)，求證：平面EB₁D₁∥平面BDF。

方法 在一個(gè)平面內(nèi)尋找兩條相交直線，證明它們與另一個(gè)平面平行。

注意證明面面平行必須先通過證明線面平行，不可以直接通過證明線線平行。

線面及面面垂直關(guān)系

類型一：證明線面垂直及線線垂直