楊鞏，劉守銀，王曉軍

（安徽江淮汽車股份有限公司技術(shù)中心，安徽 合肥 230022）

四輪汽車運動性能的分析

楊鞏，劉守銀，王曉軍

（安徽江淮汽車股份有限公司技術(shù)中心，安徽 合肥 230022）

通過將四輪汽車的運動簡化為剛體的平面運動，并將四輪汽車等價成二輪車模型，根據(jù)牛頓的運動學(xué)原理建立二個基本運動方程。在適當條件下通過對這兩運動方程式求解，可以得到車輛對于轉(zhuǎn)向角的響應(yīng)。如果運動系是線性的，即使不直接求出運動方程的解，或者在運動方程求解過程中，通過計算、作圖等方法對特性方程的根進行仔細研究，捕捉到力學(xué)系的瞬態(tài)響應(yīng)和運動性能。這些結(jié)果對整車設(shè)計和分析具有很高的參考價值。

四輪汽車；二輪車模型；運動性能；轉(zhuǎn)向角；響應(yīng)

CLC NO.:U467.11 Document Code: A Article ID: 1671-7988 (2016)07-124-04

引言

嚴格地來說，一輛四輪汽車有上下、前后、左右、側(cè)傾、俯仰和橫擺6個自由度的運動，如果要把汽車的運動用嚴密的數(shù)學(xué)來表示，那這個數(shù)學(xué)公式將極其復(fù)雜。對轉(zhuǎn)向的基本運動特性進行分析時，一般將汽車看成一個剛體、忽略上下運動、行駛速度不變、左右輪胎特性相同，這樣，將一輛四輪汽車的運動簡化成橫向并行運動（左右）和車體的旋轉(zhuǎn)運動（橫擺）2這個自由度，用表示這兩個自由度的數(shù)學(xué)公式來進行分析，就簡單了，下面就基于這兩個自由度的運動方程式，對四輪汽車的運動性能進行分析。

1、基本運動方程

如果把四輪汽車的運動簡化成剛體的平面運動，

那么這個運動必須滿足牛頓運動定律，可用以下兩個方程式來表示：

(1) 質(zhì)量×橫向加速度=橫向外力；

(2) 轉(zhuǎn)動慣性×角加速度=圍繞重心由外力產(chǎn)生的力矩。

如果把左右輪胎合在一起，并放在汽車中心面，四輪汽車等價為圖1所示的模型，上面兩個方程式就可改寫成：

其中，I：橫擺轉(zhuǎn)動慣量；υ：橫向速度；：橫向速度微分值；u：速度V在x向的分值；ω：橫擺角速度；Ff：前輪產(chǎn)生的側(cè)偏力；Fr：后輪產(chǎn)生的側(cè)偏力。

車輛在橫擺角β較小范圍內(nèi)運動，下列公式成立：

因為假定速度不變，所以對公式（3）進行微分可得出：

利用上述公式，可將公式（1）改成：

公式（1）與公式(5)沒有本質(zhì)性差別，而公式（5）中使用β這個參數(shù)更好，能直感理解汽車的平面運動。公式（2）和公式（5）是簡化為剛體的平面運動的汽車模型的基本運動方程式。

側(cè)偏角小時，由輪胎產(chǎn)生的側(cè)偏力（也叫轉(zhuǎn)彎力）可看成與輪胎側(cè)偏角成比例地變化，此假定在車體的橫向加速度小于0.5G時是基本成立的。由于前后各有兩個輪胎，如果前后輪胎的側(cè)偏角分別為βf和βr，那么，前后輪的側(cè)偏力分別為：

公式中由于相對+β產(chǎn)生-F的力，所以在前面加上負號，其中Kf和Kr分別為前后輪胎的側(cè)偏剛度，如圖1所示，Kf和Kr可用下列公式表示：

為了從公式（7）可知，前輪橫擺角βf公式中包含轉(zhuǎn)向角δ，它是運動方程的輸入?yún)?shù)。

將公式（6）、（7）代入公式（2）、（5）中，可得下列兩個線性聯(lián)立常微分方程：

用這兩個方程便于分析四輪汽車的運動，能簡捷地說明其運動性能。

2、穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)特性

下面就通過分析用方程式（8）、（9）表示的運動系統(tǒng)的性能，來了解四輪汽車的運動性能。

穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)車輛的重心的橫擺角沒有變化，橫擺角速度也不變，將微分方程（8）、（9）中的微分項設(shè)定為零，得到兩個代數(shù)方程式，這兩個方程式有β和ω兩個未知數(shù)，求解得：

δ=0時，表示β=ω=0的直線行駛狀態(tài)。如果改變轉(zhuǎn)角，保持β和ω的值不變，這樣運動是以一定速度和一定轉(zhuǎn)角的圓周運動，通常稱之為穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)。如果回轉(zhuǎn)半徑為R，那么R=V/ω，從公式（11）可得：

當四輪汽車以一定轉(zhuǎn)角進行圓周運動時，如果A>0，隨著速度的增加，半徑增大；如果A<0與之相反，隨著速度的增大，半徑減小。從公式（12）可知，A的正負取決于?的正負，也就是說，對于轉(zhuǎn)角一定的圓周旋轉(zhuǎn)運動，隨著速度增加而變化的A值的大小取決于?的值大小，因此，將A稱之為穩(wěn)定系數(shù)，這個值為正的車輛（也就是

?）為不足轉(zhuǎn)向(US)，負的車輛（也就是?）為過轉(zhuǎn)向(OS)，為零的車輛為中性轉(zhuǎn)向(NS)。速度非常慢，也就是?時，公式(10)、(11)、(13)可寫成：

這個狀態(tài)叫做極低速回轉(zhuǎn)，各個輪胎在完全無側(cè)偏角（因此，也不產(chǎn)生側(cè)偏力）狀態(tài)下旋轉(zhuǎn)。

橫軸表示速度的2次方，縱軸表示極低速時回轉(zhuǎn)半徑R0與以速度V行駛時回轉(zhuǎn)半徑R之比，圖2所示，這些直線的斜率就表示（車輛回轉(zhuǎn)運動的）穩(wěn)定系數(shù)。

圖2 速度和回轉(zhuǎn)半徑比的關(guān)系

對于過度轉(zhuǎn)向的車輛，隨著速度的增加，回轉(zhuǎn)半徑減少，速度Vc時回轉(zhuǎn)半徑理論上為零，這個速度Vc叫臨界速度，可由求得。

圖3 穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)狀態(tài)的速度和側(cè)偏角

從公式(10)可以算出穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)狀態(tài)的速度和側(cè)偏角對應(yīng)數(shù)值，并作出曲線圖，如圖3所示。

同樣，從公式（11）可以算出穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)狀態(tài)的速度和橫擺角速度對應(yīng)數(shù)值，并作出曲線圖，如圖4所示。從圖3和圖4可知，過轉(zhuǎn)向車輛以某一有限速度行駛時，橫擺角速度和側(cè)偏角同時發(fā)散，不能穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)，這個速度是公式（17）的臨界速度；中性轉(zhuǎn)向車輛隨速度增加橫擺角速度線性增加，橫擺角減??；不足轉(zhuǎn)向車輛的橫擺角速度在某個有限速度時達到最大值，更大速度時緩慢減小，另外，由于不足轉(zhuǎn)向車輛的，從公式（10）來看，隨著速度的增加，當時，側(cè)偏角收縮到如公式（18）所得負的一定值。

如果得到橫擺角速度的值，根據(jù)公式（11）就可算出側(cè)向加速度ay：

用上式進行計算側(cè)向加速度時，速度很大時，側(cè)向加速度會超過1g，然而，車輛的運動是輪胎和地面的摩擦力產(chǎn)生，輪胎和地面的摩擦系數(shù)為μ，實際上車輛的側(cè)向加速度不會超過μg。由輪胎產(chǎn)生的側(cè)偏力是按照公式（6）這個數(shù)學(xué)模型計算而來的，其中不管側(cè)偏角增加多少，側(cè)偏力都隨著側(cè)偏角成比例增加的，所以造成計算時側(cè)向加速度超過1g。

3、穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)特性

3.1 瞬態(tài)響應(yīng)和方向穩(wěn)定性

在第2節(jié)已分析，過度轉(zhuǎn)向車輛的橫擺角速度和側(cè)偏角在臨界速度時發(fā)散，不能進行穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)。在此，從系統(tǒng)安全性方面對這一點進行分析。

系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性可從其系統(tǒng)的特性根進行分析。分別用β(s)、ω(s)、δ(s)表示β、ω、δ，對公式（8）、（9）進行拉普拉斯變換，展開、整理后可得到下列對時間s的二次特性方程式。

負，如公式（23）所示。由公式（23）所得到V0和公式（17）得到臨界速度Vc相等，也就是說，過轉(zhuǎn)向車輛超過臨界速度不能穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)，也可以理解為是車輛動態(tài)不穩(wěn)定的原因。

因為車輛具有不足轉(zhuǎn)向或中性轉(zhuǎn)向特性，以什么速度行駛都穩(wěn)定，所以也正是這個理由，市場上賣的車的轉(zhuǎn)向特性都設(shè)計成不足轉(zhuǎn)向。

3.2 固有振動頻率和阻尼比

方程式（19）是單自由度一般強迫振動微分方程，把它與下列一般2次特性方程式：

進行比較，可求出車輛的阻尼比ξ和橫擺角速度波動時的固有振動頻率。2次系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的收斂性一般是通過阻尼比和固有振動頻率的積來估算，這個值越大，整體響應(yīng)的起步和收斂都比較好，具體計算如下：

? 增大輪胎的側(cè)偏剛度；

? 減小質(zhì)量；

? 減小橫擺轉(zhuǎn)動慣量。

4、頻率響應(yīng)特性

下面分析對于周期性轉(zhuǎn)向的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，這個響應(yīng)被稱之為頻率響應(yīng)。

現(xiàn)在來考慮以公式（26）正弦波狀輸入轉(zhuǎn)向角時的情況。

如果系統(tǒng)是線性的話，其穩(wěn)態(tài)輸出x一定以公式（27）來表示，也就是說，對于正弦波輸入的穩(wěn)態(tài)輸出：

? 輸出的頻率與輸入相同，都是ω；

? 振幅由a變成b；

? 只是相位相差φ。

因此，從對輸入頻率的振幅比b/a和相位差的分析入手，可把握對周期性輸入的車輛特性。

這個頻率響應(yīng)特性可用圖來表示，如圖5所示，這個圖就是相對方向盤轉(zhuǎn)向角橫擺角速度的頻率響應(yīng)。這個圖可根據(jù)基本運動方程式（8）、（9）和轉(zhuǎn)向器傳動比通過計算求得，也可通過整車試驗數(shù)據(jù)來求得。在分析汽車的操縱穩(wěn)定性時，一般多看這樣的橫擺角速度頻率響應(yīng)，而橫擺角速度頻率響應(yīng)隨速度變化而變化，所以一般多看速度100km/h時的響應(yīng)。

圖5 相對轉(zhuǎn)向角橫擺角速度頻率響應(yīng)

圖5的上圖為相對輸入頻率的振幅比（多稱之為增益），下圖是相對頻率的相位差。振幅比一般以分貝（db）（x [db]=20）表示，根據(jù)0 [db]=20，0分貝對應(yīng)的振幅比x為1，表示輸入和輸出的振幅相等；振幅比x為負，表示輸出的振幅比輸入的振幅?。徽穹葂為正，表示輸出的振幅比輸入的振幅大。另外，相位差為負，表示輸出滯后于輸入。

下面就圖5說明幾個關(guān)注點。

首先，關(guān)注的是增益圖的1點（圖5的上圖），該點是極低頻率的增益值，表示極低頻率時一定轉(zhuǎn)角的橫擺角速度的增益是一個穩(wěn)定值，在圖5中，這個值約為-10[db]，從-10[db]=20可知，橫擺角速度為0.32，也就是，這個車輛方向盤轉(zhuǎn)10°時，穩(wěn)態(tài)橫擺角速度為3.2°/s。對于公式（11），這個值與考慮轉(zhuǎn)向器傳動比的影響的穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)的橫擺角速度對應(yīng)。

關(guān)注點2是增益的峰值的高度。對于特性方程式（8）、（9）表示的汽車模型，阻尼比變小，這個值就變大，因此，峰值的高低成為表示橫擺角響應(yīng)的衰減程度的標尺，希望車輛有良好衰減特性，這個峰值不大最好，乘用車通常這個值為2~4[db]。

關(guān)注點3是增益在峰值時的頻率。因為這個峰值的頻率（多稱之為共振頻率）幾乎與固有頻率一致，所以峰值頻率越大，速應(yīng)性就好。對駕駛員來說，感覺方向盤反應(yīng)比較快。對乘用車來說，通常在1~1.3[Hz]的范圍內(nèi)，而對賽車來說，這個值比較大。

關(guān)注點4是相位延遲。相位延遲越大，相對方向盤轉(zhuǎn)向角的輸入，橫擺角速度就滯后。因此，對于很快的轉(zhuǎn)向，為了不使橫擺角速度過慢，相位延遲最好小一點，一般與頻率1[Hz]的相位延遲進行橫擺響應(yīng)特性比較，一般乘用車在1 [Hz]時相位延遲的取值范圍為20~40°。

5、結(jié)論

通過將四輪汽車簡化為剛體的平面運動的汽車模型，再等價成二輪車模型，根據(jù)牛頓的運動學(xué)原理建立二個基本運動方程。

從系統(tǒng)安全性方面進一步分析過轉(zhuǎn)向不能進行穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)的原因，并指出正是過轉(zhuǎn)向的不穩(wěn)定，所有車的轉(zhuǎn)向特性必須設(shè)計成不足轉(zhuǎn)向。同時分析了瞬態(tài)響應(yīng)特性與行駛速度、振動頻率和阻尼乘積的關(guān)系，強調(diào)車輛操穩(wěn)設(shè)計時必須關(guān)注操穩(wěn)因素，增大輪胎的側(cè)偏剛度，減小車輛的質(zhì)量和橫擺轉(zhuǎn)動慣量。

通過輸入一個正弦函數(shù)轉(zhuǎn)向角，對橫擺角速度的頻率響應(yīng)特性的分析，并把這個響應(yīng)用圖表示出來，充分說明頻率與振幅比（增益）、相位差的關(guān)系和特性，并詳細分析了圖中四個關(guān)注點對車輛的運動性能影響，并說明設(shè)計時取值范圍。

通過計算、作圖等方法對運動方程的根進行仔細研究，捕捉到運動系的瞬態(tài)響應(yīng)和運動性能等關(guān)鍵特性，對整車設(shè)計和分析具有很高的參考價值。

[1] 自動車の運動と制御(第二版)安部正人東京電機大學(xué)出版局，2012.1.20.

[2] 社団法人自動車技術(shù)會.自動車技術(shù)ハンドブック(第一分冊)基礎(chǔ)?理論編 精興社.2011.5.10改訂版第3刷発行.

[3] 清華大學(xué)余志生. 汽車理論. 機械工業(yè)出版社(第四版),2004.4.

[4] 自動車用タイヤの基礎(chǔ)と実際 株式會社ブリヂストン 東京電機大學(xué)出版局,2009.11.20.

[5] 車両運動性能とシャシーメカニズム 宇野高明 グアンプリ出版,2011.3.10第12刷発行.

An analytical study of motion performanceabout four-wheelautomobile

Yang Gong, Liu Shouyin, Wang Xiaojun
( TheCenter of Technology of Jianghuai Automobile Co. Ltd., Anhui Heifei 230022 )

The paper establishes two fundamental motion equations under the kinematic principle of Newton by simplifying motion of the four-wheel automobile into plane motion of rigid-body and transforming the four-wheel into two-wheel model. Then the response of automobile to steering angle can be obtained by solving the two motion equations under appropriate conditions. If the motion system of the analyzed object is linear,whetherthe motion equations are not solved directlyorat course of solving motion equations, the transient response of the mechanical system andmotion performance can also be captured by studying the characteristic equation root with calculation, graphic representation and other approaches, which will be of great reference values to the whole-vehicle design and analysis.

Four-wheel Automobile; Two-wheel AutomobileModel; Motion Performance; Steering Angle; Response

U 467.11

A

1671-7988(2016)07-124-04

楊鞏，就職于安徽江淮汽車股份有限公司。

10.16638/j.cnki.1671-7988.2016.07.039