王春萍

[摘要]新課程標(biāo)準(zhǔn)在貴州實施以后，從課改后的人教版教材及課標(biāo)要求來看，課改以后的教學(xué)，更注重學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握和基本技能的應(yīng)用，通過對近三年高考題的分析，可以發(fā)現(xiàn)正余弦定理在高考題中，以簡單題的形式出現(xiàn)，題目更加注重學(xué)生對知識的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]新課改；高考；應(yīng)用

2010年普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)在貴州實行，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中對解三角形的要求是該課程需要8課時，在內(nèi)容上要求（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和計算有關(guān)的實際問題。解三角形的教學(xué)要重視正弦定理和余弦定理在探索三角形邊角關(guān)系中的作用，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識它們是解決測量問題的一種方法，而不必在恒等變形上做過于繁瑣的訓(xùn)練。

《2015年全國新課標(biāo)高考文（理）科數(shù)學(xué)考試大綱》中對該部分的解釋是在內(nèi)容上掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。在應(yīng)用上，能夠運用正弦定理，余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。

一、正余弦定理基本內(nèi)容

正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（外接圓直徑）。

正弦定理的變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。

a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC。

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。

若用三邊表示角，余弦定理可以寫為

cosA=b2+c2-a22bc；cosB=a2+c2-b22ac；

cosC=a2+b2-c22ab。

二、高考真題

例1 [2013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科·T4]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=2，B=π6，C=π4，則△ABC的面積為（ ）。

A。23+2 B。3+1 C。23-2 D。3-1

解析 選B。因為B=π6，C=π4，所以A=7π12。由正弦定理得bsinπ6=csinπ4，解得c=22。所以三角形的面積為12bcsinA=12×2×22sin7π12。

因為sin7π12=sinπ3+π4=32×22+22×12=2232+12，所以12bcsinA=22×2232+12=3+1，選B。

例2 [2014年全國新課標(biāo)Ⅱ（理04）]鈍角三角形ABC的面積是12，AB=1，BC=2，則AC=（ ）。

A。5 B。5 C。2 D。1

解析 ∵S△ABC=12acsinB=12·2·1·sinB=12，∴sinB=22，∴B=π4，或3π4。當(dāng)B=π4時，經(jīng)計算△ABC為等腰直角三角形，不符合題意，舍去?！郆=3π4，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，解得b=5。故選B。

例3 [2015高考新課標(biāo)2，理17]△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍。

（Ⅰ） 求sin∠Bsin∠C；

（Ⅱ）若AD=1，DC=22，求BD和AC的長。

解析 （Ⅰ）S△ABD=12AB·ADsin∠BAD，S△ADC=12AC·ADsin∠CAD，因為S△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC。由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=ACAB=12。

（Ⅱ）因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2。在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC。AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6。由（Ⅰ）知AB=2AC，所以AC=1。

正余弦定理是高考的重要知識點之一，從新課標(biāo)實行至今，貴州省已經(jīng)有三屆高考學(xué)生是用的新課標(biāo)2卷，根據(jù)這三年的出題形式來看，新課標(biāo)2卷每年的有相應(yīng)的考題出現(xiàn)，通過這些高考題的分析，對于正余弦定理，直接考定理應(yīng)用的題不多。大多數(shù)試題主要考查定理變形的應(yīng)用。

[參考文獻(xiàn)]

[1]杭美燕。高考中正余弦定理的應(yīng)用及其分類[J]。數(shù)理化解題研究，2013（3）。

[2]張銀華。正余弦定理的運用例析[J]。理科考試研究（高中版），2014（5）。