龔桂瓊　趙蕾　王文雅　趙小容　孟紅靜　呂凱軍

[摘要]復(fù)變函數(shù)具有高度的抽象性、不易理解，而MATLAB軟件在計(jì)算和繪畫(huà)方面具有很大的優(yōu)勢(shì)。因此，本文利用MATLAB軟件對(duì)復(fù)變函數(shù)中一些重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行處理，以實(shí)例的形式介紹MATLAB軟件在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]復(fù)變函數(shù)；傅里葉變換；Taylor展式；留數(shù)

[基金項(xiàng)目]西藏自治區(qū)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目（2014QCX020），西藏大學(xué)珠峰學(xué)者人才發(fā)展支持計(jì)劃青年骨干教師計(jì)劃。

一、引 言

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的繼承和發(fā)展，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和重點(diǎn)課程，但由于其自身的特點(diǎn)，在實(shí)際學(xué)習(xí)中，許多的同學(xué)認(rèn)為此門課程抽象、枯燥、不易理解。MATLAB是一種具有強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算、分析和圖形處理功能的軟件，其應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，并且使用方便、代碼少、效率高。本文把復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)和MATLAB結(jié)合起來(lái)，以具體實(shí)例的形式介紹了MATLAB軟件在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用。

二、MATLAB在復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用實(shí)例

1。復(fù)變函數(shù)中的基本計(jì)算

利用MATLAB軟件可以非常簡(jiǎn)單的求解復(fù)變函數(shù)中的基本運(yùn)算，如復(fù)變函數(shù)的函數(shù)值、函數(shù)值的實(shí)部和虛部、輔角、模和共軛函數(shù)等。比起傳統(tǒng)的手工運(yùn)算更方便、快捷。

例1 求函數(shù)z=2*sin（4-3*i）的函數(shù)值、函數(shù)值的實(shí)部和虛部、輔角、模與共軛函數(shù)。

MATLAB語(yǔ)句如下：

>>z=2*sin（4-3*i）z=-15。2385 +13。0962i

>>z1=real（z）z1=-15。2385

>>z2=imag（z）z2=13。0962

>>z3=abs（z）z3=20。0928

>>z4=angle（z）z4=2。4317

>>conj（z）ans=-15。2385-13。0962i

>>z3=abs（z）z3=20。0928

>>z4=angle（z）z4=2。4317

2。求解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象，因此討論函數(shù)的可微性和解析性是復(fù)變函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。同樣，利用MATLAB軟件也可以求解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

例2 試求函數(shù)f（z）=ez/sinz在z=4*i處的到數(shù)值。

MATLAB語(yǔ)句如下：

syms z

>>f=exp（z）/sin（z）；

>>df=diff（f，z）；

>>vdf=subs（df，z，4*i）

vdf=-0。0517-0。0038i

3。求解復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)積分的值與被積函數(shù)和積分曲線均有關(guān)系，從而加大了求解復(fù)積分的難度，但是利用MATLAB軟件可以容易地求解其結(jié)果。

例3 求解積分∫c（3*z^2-2*z+5）dz，其中c為|z|=2 。

MATLAB語(yǔ)句如下：

>>syms t z

>>z=2*cos（t）+i*2*sin（t）；

>>f=3*z^2-2*z+5；

>>inc=int（f*diff（z），t，0，2*pi）inc=0

4。求方程的根

復(fù)數(shù)域上的任何一元N次方程，均有N個(gè)根。利用MATLAB軟件同樣可以求解。

例4 求方程z^2+2*z+8=0的根。

MATLAB語(yǔ)句如下：

>>syms z

>>solve（z^2+2*z+8，z）

ans=

-7^（1/2）*i-1

7^（1/2）*i – 1

5。留數(shù)的計(jì)算

留數(shù)理論及其應(yīng)用對(duì)復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展起到一定的推動(dòng)作用，因此學(xué)好留數(shù)至關(guān)重要，但某些復(fù)變函數(shù)的留數(shù)并不容易計(jì)算，所以，我們借助MATLAB軟件來(lái)求解，既簡(jiǎn)單，又快捷，而且又準(zhǔn)確。

例5 計(jì)算函數(shù)f（z）=（z^2-4*z+3）/（z^3+2*z^2+z）的極點(diǎn)和留數(shù)。

MATLAB語(yǔ)句如下：

>>a=[1-4 3]；

>>b=[1 2 1 0]；

>>[r，p]=residue（a，b）

r=-2

-8

3

6。有理函數(shù)的部分展開(kāi)式

復(fù)變函數(shù)的又一重要知識(shí)點(diǎn)之一，有理函數(shù)的部分分式展開(kāi)式，可以直接利用MATLAB語(yǔ)言中的residue求解。

例6 求函數(shù)f（z）=（-2*z+6）/（z^3+z）的部分分式展開(kāi)式。

MATLAB語(yǔ)句如下：

>>m=[-2，6]；

>>n=[1 0 1 0]；

>>[r，p，k]=residue（m，n）；

>>[m，n1]=rat（r）；

>>[m，n1，p]

ans=

-3。0000 + 1。0000i 1。0000 0 + 1。0000i

-3。0000-1。0000i 1。0000 0-1。0000i

6。0000 1。0000 0

>>p=

-1

-1

7。復(fù)變函數(shù)的Taylor展開(kāi)式

級(jí)數(shù)在復(fù)變函數(shù)中也占有重要的地位，對(duì)于求解一些級(jí)數(shù)的Taylor展開(kāi)式，工作量巨大，所以我們可以利用MATLAB軟件來(lái)求解。

例7 設(shè)函數(shù)f（z）=sin（z+2）+cos（z-2）在z=3處的前六項(xiàng)Taylor展式。

MATLAB語(yǔ)句如下：

>>syms z

>>f=sin（z+2）+cos（z-2）；

>>F=taylor（f，6，z，3）

F=cos（1）+sin（5）-（z-3）2*（cos（1）/2+sin（5）/2）-（z-3）3*（cos（5）/6-sin（1）/6）+（z-3）4*（cos（1）/24+sin（5）/24）+（z-3）5*（cos（5）/120-sin（1）/120）+（cos（5）-sin（1））*（z-3）

8。傅里葉變換及其逆變換

傅里葉變換及其逆變換是復(fù)變函數(shù)的又一重要內(nèi)容，但其變換過(guò)程很復(fù)雜，不易求解。因此，利用MATLAB軟件來(lái)求解。

例8 已知f（t）=exp（-t）*cos（2*t），求f（t）的Fourier變換，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行逆變換。

MATLAB語(yǔ)句如下：

>>syms t w

>>f=exp（-t）*cos（2*t）；

>>F=fourier（f）

F=

transform：：fourier（cos（t）^2/exp（t），t，-w）-transform：：fourier（exp（-t）*sin（t）^2，t，-w）

>>f=ifourier（F，w，t）

f=（（2*pi*cos（-t）2）/exp（t）-（2*pi*sin（-t）2）/exp（t））/（2*pi）

9。Laplace變換及其逆變換

在MATLAB語(yǔ)言中可以使用Laplace函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)Laplace變換

例9 設(shè)函數(shù)f（t）=2*e-t*cost+Π2，求其Laplace變換，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行Laplace逆變換。

MATLAB語(yǔ)句如下：

>>syms t s

>>f=2*exp（-t）*cost+pi/2；

>>F=laplace（f，t，s）

F=-2/（（s+1）2+1）

>>f=ilaplace（F，s，t）

f=-2*sin（t）/exp（t）

10。MATLAB繪圖功能在復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)中，復(fù)變函數(shù)圖形的繪制常常是繁雜的，僅憑手工很難繪制出來(lái)。而MATLAB軟件在繪圖方面具有很大的優(yōu)勢(shì)。因此，借助MATLAB軟件的繪圖功能，可以快捷、準(zhǔn)確的畫(huà)出復(fù)變函數(shù)的圖形，使復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)變得形象、生動(dòng)，有利于學(xué)生從圖形獲得相應(yīng)的性質(zhì)。

例10 繪制函數(shù)f（z）=3*z^2的圖形。

>>z=cplxgrid（30）；

>>w=3*z。^4+z；

>>surf（real（z），imag（z），real（w），imag（w））；

>>title（′f（z）=3*z^2′）

三、結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)以上的十個(gè)實(shí)例，充分展示了MATLAB在求解復(fù)變函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題中，具有規(guī)范、簡(jiǎn)潔、靈活的特點(diǎn)，充分體現(xiàn)了MATLAB的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用MATLAB語(yǔ)言編程的能力，對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)后繼的數(shù)學(xué)課程以及在工作中使用數(shù)學(xué)軟件都大有裨益。

[參考文獻(xiàn)]

[1]胡良劍，孫曉君。MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第二版）[M]。北京：高等教育出版社。

[2]郭秀鳳，盧亮。MATLAB在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用[J]。科教文匯出版社。2015。（3）。

[3]陳靜，段振輝。MATLAB在復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)中的應(yīng)用[J]。

河南機(jī)電高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)。2011（9）。

[4]陳耀庚，MATLAB在《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)中的應(yīng)用[J]。科技信息。

[5]麻桂英，陳全新。用MATLAB提高《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)質(zhì)量[J]。陰山學(xué)刊2009。