劉族剛 楊倩

數(shù)學(xué)——最容易拉開分?jǐn)?shù)差距、最令師生牽腸掛肚的學(xué)科，如何能短平快地得分，已然成為考生的“剛需”.本文順應(yīng)時勢，從高考數(shù)學(xué)試題的作答角度，以舉例的形式，談?wù)劯呖紨?shù)學(xué)得分的策略，以供大家參考.

解選填題的策略——小題小做、小題巧做

一直以來，選填題是拉開考生分?jǐn)?shù)差距的“坎”，如何快速（45分鐘左右）、準(zhǔn)確完成選填題，是廣大師生孜孜以求的.

例1 （1）存在函數(shù)滿足，對于任意都有（ ）

A. B.

C. D.

（2）在平面四邊形中（如下左圖），，，則的取值范圍是 .

（3）如上中圖，三棱錐中，，點分別是的中點，則異面直線所成角的余弦值是 .

解析 （1）（特值檢驗法）令，則，對于A項，則；對于B項，則；對于C項，令，則，顯然它們都是“一對多”，不符合函數(shù)定義，故選D.

（2）（極端化解題）延長交于點，如上左圖，平移，當(dāng)點與點重合時，最長，當(dāng)點與點重合時，最短，利用正弦定理計算易得，AB的取值范圍是.

（3）（補體與坐標(biāo)法）由于三棱錐的三組對棱相等，即，易知此三棱錐可以有長方體截去四個角而得到（如上右圖），于是“補成長方體”，再由長方體特點宜采用“坐標(biāo)法”求解，得.

點撥 選填題有相似之處，只需直接給出結(jié)果，無需解題過程，求解原則是“小題小做、小題巧做、不要小題大做”. 一份試卷中，總有幾道題（甚至是棘手的試題）可以借助于數(shù)形結(jié)合法、特值法（含特殊值、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊圖形、特殊角度、特殊幾何體等等）、極端情形法、排除法、驗證法、轉(zhuǎn)化法、估算法等方法，短平快地做出正確答案.值得注意的是，填空題的結(jié)果必須數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范（如區(qū)間的開閉等），否則有勞無功.

做解答題的策略——步步為營、步步添分

解答題明確要求寫出必要的文字說明、證明過程與演算步驟，閱卷評分注重思維、注重踩分點，因而必須將自己的思維過程有效地展示出來. 文字說明詞不達(dá)意、演算步驟詳略不當(dāng)，這些無疑會影響最終的得分.

1. 做好基礎(chǔ)四道題——爭取得滿分

例2 如左下圖，四邊形為菱形，是平面同一側(cè)的兩點，平面，平面，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值.

證明 （1）略

（2）如上右圖，以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸，軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系， 由（1）可得，

所以直線與直線所成直角的余弦值為.

點撥 數(shù)列（或三角）、概率統(tǒng)計、立體幾何（一般放在第題即前三道題位置）及選做題（第三選一），屬于“基礎(chǔ)四道題”，不能出現(xiàn)大的錯誤，因為做錯一道多數(shù)人都會做的基礎(chǔ)題，意味著要做對一道多數(shù)人都不會的難題去彌補，所以“慢審題、快作答、重細(xì)節(jié)”是得滿分的不二法寶（如本題直線與直線所成角的余弦值不能寫成）.

2. 較難試題（解析幾何題）——爭取多得分

例3 已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的焦點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點.（1）求的方程；（2）設(shè)過點的直線與相交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的方程.

解析 （1）

（2）當(dāng)軸時顯然不合題意，故設(shè)，將代入橢圓得，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號（的面積最大），此時，滿足

從而當(dāng)?shù)拿娣e最大時，直線的方程為或.

點撥 解析幾何解答題是高考的“不動點”，一般考查直線和圓錐曲線的綜合問題，多數(shù)以一題兩問形式呈現(xiàn). 第（1）問一般考查曲線方程的求法，主要利用定義法與待定系數(shù)法求解. 而第（2）問主要涉及定值問題、最值問題、參數(shù)范圍問題、對稱問題、探索性問題等，因其運算量較大、綜合性較強而被認(rèn)為“性價比不高”，建議“有所作為、適可而止”：一般情況下利用“設(shè)而不求”方法，按部就班地“搭臺”（設(shè)出直線方程以及直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)，將直線方程代入圓錐曲線的方程，然后寫出韋達(dá)定理以及解出），爭取能“唱戲”（將求解的問題坐標(biāo)化后轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理）. 注意：巧設(shè)直線方程、直線方程斜率存在與否、特殊位置引路探究出定值、定點等，是值得借鑒的經(jīng)驗.

3. 數(shù)學(xué)壓軸試題——爭取能得分

例4 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??；（2）計算，由此推測計算的公式，并給出證明；（3）令，數(shù)列，的前項和分別記為， 證明：.

解析 （1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 ①

（2）先由遞推猜測：②，再用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）.

（3）由的定義，②，算術(shù)—幾何平均不等式，的定義和①得，

點撥 近幾年來，全國卷的“壓軸題”一般設(shè)置在第題，往往是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等的綜合，相對難度大，空白答卷的很多.究其原因，有的同學(xué)沒有足夠時間完成最后一題，有的是懼怕“壓軸題”，沒仔細(xì)分析就直接放棄. 實際上，“壓軸題”一般有兩到三問，且以“遞進(jìn)式”呈現(xiàn)，第一問通常比較容易，消極對待自然不明智. 需要提醒的是：求函數(shù)單調(diào)性、極值時，要先求定義域；單調(diào)區(qū)間若有多個，區(qū)間之間務(wù)必用“和”字連接；若函數(shù)與數(shù)列結(jié)合，一般需要對自變量進(jìn)行賦值；某些數(shù)列問題還可考慮數(shù)學(xué)歸納法等.另外，對于“鋪墊式”考題，還可考慮“姑且承認(rèn)、跳步作答”的策略.