王浩 高保中

概率與統(tǒng)計研究的是隨機現(xiàn)象，其研究對象——隨機事件具有兩個最基本的特征，一是結(jié)果的隨機性，二是頻率的穩(wěn)定性. 研究的過程與方法是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學思想就是必然與或然思想. 近幾年高考中，對必然與或然數(shù)學思想方法的考查在素材、難度、分值上等總體相對穩(wěn)定，難度定位在中等水平. 試題在源于教材的基礎上推陳出新，略加延伸又不盲目拔高. 該部分內(nèi)容作為考查同學們分析、解決實際應用問題能力的重要載體，背景新穎，常給人耳目一新的感覺，充分體現(xiàn)了概率統(tǒng)計的工具性和交互性.

通過以上表格并結(jié)合前幾年的試題，我們不難發(fā)現(xiàn)：無論是文科卷還是理科卷，概率類試題的題量、題型、分值都比較穩(wěn)定，并且同一省份的文理卷中此類試題常以“姊妹題”的形式出現(xiàn)，即背景相同，題型類似，但考查深度以及側(cè)重有所不同. 理科在解答題部分將會重點考查古典概率模型、幾何概率模型、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、次重復獨立試驗發(fā)生次的概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望（均值）與方差有關問題、回歸分析等. 文科不再考查排列、組合、二項式定理，刪除了事件的相互獨立性、獨立重復試驗，在解答題部分基本上都是以列舉計數(shù)的方法對概率進行考查，難度相對小，比較好把握，故本文主要針對理科試題進行比較研究.

探究必然與或然數(shù)學思想的考查

1. 對必然與或然基本數(shù)學思想的理解與靈活應用

掌握數(shù)學的基本思想和方法是我們學習數(shù)學的最重要的出發(fā)點和歸宿，也是高考命題者的一個立足點.在概率統(tǒng)計模塊中，必然與或然數(shù)學思想包括：抽樣原理、估計思想（樣本估計總體）、相關思想、擬合思想、檢驗思想、模擬思想等. 此類題難度一般不大，解題關鍵是對必然與或然基本思想的準確把握.

例1 對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每一個個體被抽中的概率分別為，則（ ）

A. B.

C. D.

解析 隨機抽樣主要有簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣這三種，根據(jù)隨機抽樣的概念，每一個個體被抽中的概率均為.

答案 D

點撥 破解此題不需要計算，關鍵是對隨機抽樣的有關概念實質(zhì)的理解，對統(tǒng)計學中最基本方法的熟練掌握和抽樣的基本特征——“等可能性”的準確理解！

例2 根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到的回歸方程為，則（ ）

答案 B

點撥 解決此題并不需要求出回歸直線方程，而只需根據(jù)散點圖擬合出回歸直線的大致圖象，并對回歸直線的斜率和截距作出判斷，重點考查了擬合思想. 近期高考對線性回歸問題要求一般都不高，主要有：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作散點圖來判斷兩個變量之間具有怎樣的相關關系；正確理解計算，的含義；利用回歸方程公式作簡單計算；利用回歸直線過樣本點的中心的特征處理問題等.

2. 對基礎知識、基本運算和基本技能的考查仍是重點

統(tǒng)計不難發(fā)現(xiàn)，各地概率統(tǒng)計試題中對基礎知識和基本運算、基本技能的考查仍占較大比例，常見問題有：頻率分布直方圖、古典概率、幾何概型的計算；均值與方差等數(shù)字特征的計算以及概率分布（如二項分布、正態(tài)分布）；線性回歸分析等有關問題，其中線性回歸分析對運算能力的要求較高.

例3 袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球. 從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（ ）

A. 1 B.

C. D.

解析 從袋中任取2個球共有種，其中恰好1個白球1個紅球共有種，所以從袋中任取的2個球恰好1個白球1個紅球的概率為.

答案 B

點撥 本題意在考查基本知識與基本運算，涉及到排列組合的知識、古典概率的計算以及轉(zhuǎn)化與化歸思想應用. 解答此題的關鍵在于理解所取2球恰好1個白球、1個紅球，即是分步在白球和紅球各取1個球的組合.

例4 已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.

（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和均值（數(shù)學期望）.

解析 （1）記“第一次檢測出是次品且第二次檢測出是正品”為事件A.

（2）X的可能取值為200，300，400.

點撥 高考中常常通過實際背景考查互斥事件、對立事件、相互獨立事件、獨立重復試驗的概率計算及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算，同時也考查二項分布、超幾何分布等特殊的概率模型. 解決此類問題時要注意分清類型，運用相應的知識進行解答，這些都是同學們需要掌握的基本解題技能.

3. 強化對數(shù)據(jù)的處理能力及圖表的閱讀理解能力的考查

概率統(tǒng)計問題離不開讀圖表、畫圖表和解釋圖表，根據(jù)圖表對數(shù)據(jù)進行處理分析，作出合理推斷，并能對推斷作出符合實際的評價. 故“讀”“畫”“識”“斷”是本模塊考查的一大特色.

例5 某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可）；

（2）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

[滿意度評分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 ]

記事件：“地區(qū)用戶的滿意度等級高于地區(qū)用戶的滿意度等級”. 假設兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求事件發(fā)生的概率.

解析 （1）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下.

通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.

（2）記表示事件：“地區(qū)用戶滿意度等級為滿意或非常滿意”；表示事件：“地區(qū)用戶滿意度等級為非常滿意”；表示事件：“地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”；表示事件：“地區(qū)用戶滿意度等級為滿意”.

則與獨立，與獨立，與互斥，且.

.

由所給數(shù)據(jù)得，，，發(fā)生的概率分別為.

故.

.

評析 本題考查同學們對數(shù)據(jù)的處理能力，考查知識點包括莖葉圖、互斥事件和獨立事件等. 應用莖葉圖將所給的較多數(shù)據(jù)進行處理，能夠更加清晰地看出數(shù)據(jù)間的關系，根據(jù)莖葉的密集程度比較平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；對于方差看它們數(shù)字偏離程度，偏離越大則方差大. 讀懂所求概率事件的含義，利用分類討論思想將事件分解為幾個互斥的情況來求解.

4. 充分發(fā)掘現(xiàn)實生活素材，考查分析問題和解決實際問題的能力

由于概率統(tǒng)計問題有廣泛的實際背景與應用價值，故高考中考查大家的應用意識與能力的應用題大都以概率統(tǒng)計題為載體，題材涉及生產(chǎn)、生活科研中的方方面面，考查分析和解決實際問題的能力，同時對閱讀理解的能力有較高的要求. 主要考查隨機變量分布列、期望和方差的應用、通過回歸分析進行預報預測等.

例6 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（i=1，2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；

（3）以知這種產(chǎn)品的年利率z與x，y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ii）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)，…，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

，

解析 （1）由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型.

（2）令，先建立關于的線性回歸方程，由于，

，

所以關于的線性回歸方程為，因此關于的線性回歸方程.

（3）（i）由（2）知，當時，年銷售量的預報值.

年利潤的預報值

（ii）根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤的預報值

所以，當，即時，取得最大值，

故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

評析 本題緊密結(jié)合生產(chǎn)實際，以某種產(chǎn)品的宣傳費，年銷售量和年利潤的關系問題為背景，考查線性回歸分析基本思想與方法及處理非線性擬合問題的轉(zhuǎn)化能力，是源于課本的試題類型，此類聯(lián)系實際生活生產(chǎn)的題型一般對考生的閱讀能力有一定的要求，對運算能力有較高要求，注意計算要細心，避免因計算失誤丟分. 解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測.

5. 在思想方法交織線和能力層次的交叉區(qū)設計試題，綜合考查素質(zhì)與潛能

近幾年高考概率統(tǒng)計綜合題常在思想方法交織線和能力層次的交叉區(qū)設計，將概率統(tǒng)計問題與函數(shù)、算法以及向量等其它數(shù)學知識交匯在一起，考查大家綜合運用相關知識和方法進行信息遷移和知識整合的能力.

例7 在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（ ）

A. B.

C. D.

解析 因為，對事件“”，如圖（1）陰影部分；

對事件“”，如圖（2）陰影部分；

對事件“”，如圖（3）陰影部分.

（1） （2） （3）

由圖知，陰影部分的面積從小到大依次是，根據(jù)幾何概型公式可得.

答案 B

評析 將簡單的線性規(guī)劃和幾何概型交匯在一起出題在高考中十分常見，有時候還會涉及到定積分求面積，考查面十分廣泛。求解幾何概型的問題，一般先求出試驗的基本事件構成的區(qū)域長度（面積或體積），再求出事件構成的區(qū)域長度（面積或體積），最后代入幾何概型的概率公式即可. 對幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法.

從上面的歸納分析可以看出，考查必然與或然數(shù)學思想方法的命題總體較常規(guī). 這類試題題型新穎靈活，交匯性強， 雖然在常規(guī)題型中常發(fā)生一定的“變異”，但試題總的來說難度不大，以考查基礎知識和基本方法為主，注重考查同學們的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學應用能力. 因此同學們在復習時要重視基礎，基于考點抓重點；在臨考前，更應該通讀教材.