摘要：在本文中，筆者意在通過(guò)賞析近十年平面向量與解三角形交匯試題，揭示出這類試題的一般特點(diǎn)及命題規(guī)律，為廣大師生備戰(zhàn)高考提供了參考和借鑒。

關(guān)鍵詞：高考；試題；賞析

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）03-0094

新課改以后，高考數(shù)學(xué)在平面向量與解三角形交匯處命題已成常態(tài)。本文意在通過(guò)賞析近十年平面向量與解三角形交匯試題，揭示出這類試題的一般特點(diǎn)及命題規(guī)律，為廣大師生備戰(zhàn)高考提供參考和借鑒。

一、運(yùn)用平面向量計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)

【例1】（2012湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，則BC=（ ）

A. B. C. 2 D.

【解析】由于 = = =

所以， cosB=

又因?yàn)閏osB= = =

解方程 = 得BC= ，故選擇A。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量數(shù)量積與余弦定理等知識(shí)，著重考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。屬中等難度題。

二、運(yùn)用平面向量計(jì)算三角形的內(nèi)角

【例2】（2006遼寧）△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c設(shè)向量p=（a+c，b），q=（b-a，c-a），若p∥q，則角C的大小為（ ）

A. B. C. D.

【解析】由 得，（a+c，c-a）=b（b-a）

即b2+a2-c2=ab

從而cosC= =

于是C= ，選擇B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量平行的坐標(biāo)表示、余弦定理和已知三角函數(shù)值求角等知識(shí)，著重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。屬中等難度題。

三、運(yùn)用平面向量計(jì)算三角形的面積

【例3】（2010遼寧）平面上O、A、B三點(diǎn)不共線，設(shè) ， ，則△OAB的面積等于（ ）

A. B.

C. D.

【解析】

=

=

故選擇C。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積公式、平面向量的數(shù)量積及其幾何意義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系等知識(shí)，著重考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。屬中等難度題。

四、運(yùn)用平面向量判斷三角形的形狀

【例4】（2006陜西）已知非零向量 與 滿足

且 ，則△ABC為（ ）

A. 三邊均不相等的三角形 B. 直角三角形

C. 等腰非等邊三角形 D. 等邊三角形

【解析】非零向量 與 滿足 即角A的平分線垂直于BC，所以AB=AC，

又 cosA= ，A= 故△ABC為等邊三角形，選擇D。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量數(shù)量積及其幾何意義、已知三角函數(shù)值求角等知識(shí)，著重考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想。屬中等難度題。

五、運(yùn)用平面向量判定三角形的五心

【例5】（2009寧夏海南）已知O、N、P在△ABC所在平面內(nèi)，且分別滿足條件， = = ， + + =0， · = · =

· ，則點(diǎn)O、N、P依次是△ABC的（ ）

A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 內(nèi)心

C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 內(nèi)心

【解析】由 = = 可知，點(diǎn)O到△ABC各頂點(diǎn)的距離相等，為其外心。又由 易知，點(diǎn)N為其重心。再由

· = · = · 知，

· - · =0

即 ·（ - ）= · =0

于是， ⊥

同理可得 ⊥ ， ⊥

所以點(diǎn)P是△ABC三條高線的交點(diǎn)，為其垂心。故選擇C。

【點(diǎn)評(píng)】（1）本題主要考查了平面向量的模、平面向量的數(shù)量積、兩向量垂直的充要條件、三角形的外心、重心、垂心概念等知識(shí)，著重考查了數(shù)學(xué)邏輯推理能力和運(yùn)算能力，同時(shí)還考查了數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。屬中等難度題。

（2）對(duì)于三角形的各種心，教師可在復(fù)習(xí)平面向量時(shí)，做適當(dāng)補(bǔ)充：

①點(diǎn)P是△ABC外心的充要條件是 ；

②點(diǎn)P是△ABC重心的充要條件是 + +P = ；

③點(diǎn)P是△ABC垂心的充要條件是 · = · = · ；

④點(diǎn)P為△ABC內(nèi)心的充要條件是a +b +c = ；

⑤點(diǎn)P為△ABC角A旁心的充要條件是a =b +c .

六、運(yùn)用平面向量解答三角形綜合題

【例6】（2014四川）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)， =2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是（ ）

A. 2 B. 3 C. D.

【解析】依題意可得焦點(diǎn)F（ ，0），設(shè)A（x1，y1）（y1> 0），B（x2，y2）（y2 <0），故x1=y21，x2=y22，則y21y22+y1y2=2，因?yàn)锳、B位于x軸兩側(cè)，故y1y2=-2，從而S△ABO+S△AFO= |x1y2-x2y1|+ × |y1|= + y1≥3故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積、拋物線、基本不等式、解三角形等知識(shí)，著重考查了數(shù)學(xué)邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬中等難度題。

【例7】（2013浙江）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B= AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有 · ≥ · ，則（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°

C. AB=AC D. AC=BC

【解析】以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建系，設(shè)A（-c，0），B（c，0），C（a，b），則P0（ ，0），那么 · =（c-x，0）·（a-x，b）=x2-（a+c）x+ac

于是當(dāng)x= 時(shí)， · 最小，而已知 · 最小，所以 = 即a=0時(shí)，故AC=BC，選擇（D）。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量數(shù)量積及其坐標(biāo)表示、二次函數(shù)等知識(shí)，著重考查了數(shù)學(xué)推理及運(yùn)算能力，同時(shí)還考查了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等數(shù)學(xué)思想。屬于難題。

七、結(jié)束語(yǔ)

從以上列舉的高考平面向量與解三角形交匯考題來(lái)看，這類試題要求考生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念要非常清楚，要具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)推理及運(yùn)算能力，同時(shí)還要掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。此類試題多屬中等難度題。因此，筆者建議在備戰(zhàn)高考的復(fù)習(xí)中，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生重視教材，認(rèn)真落實(shí)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力和基本數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。這不僅是高考考綱的明確要求，更是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求。

作者簡(jiǎn)介：費(fèi)諫章，陜西省中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，陜西省中小學(xué)教學(xué)名師工作室主持人。先后主持并完成了三個(gè)省級(jí)基礎(chǔ)教育規(guī)劃課題，在省級(jí)教育期刊上公開(kāi)發(fā)表了十余篇高質(zhì)量的教研論文。

（作者單位：陜西省安康市石泉中學(xué) 725200）