黃美玉

摘 要：分類討論是高中數(shù)學(xué)最常用的解題方法之一，其不僅是一種邏輯方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。與分類討論有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有很明顯的邏輯性、綜合性和探索性，其能夠有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的條理性和概括性，也是近年來(lái)高考試題中常用的解題方法。下面我就結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單介紹一下高中數(shù)學(xué)分類討論策略的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；分類討論；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）06-001-02

在解答一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多種情況，對(duì)各類情況進(jìn)行逐類求解，然后再綜合歸納，這就是我們常說(shuō)的分類討論法。運(yùn)用這種方法解題，可以將對(duì)問(wèn)題的宏觀研究變?yōu)閷?duì)問(wèn)題的局部分析，尤其是在求解的頭緒繁多、有易重易漏問(wèn)題時(shí)，分類討論方法有獨(dú)特的功效。需要進(jìn)行分類討論的情況有很多，其中最常見(jiàn)的有以下四類：一是根據(jù)絕對(duì)值的定義進(jìn)行分類討論；二是根據(jù)函數(shù)定義域等定理限制進(jìn)行分類討論；三是根據(jù)圖形位置進(jìn)行分類討論；四是根據(jù)運(yùn)算的要求進(jìn)行分類討論。其解題的一般思路有三個(gè)步驟：首先，弄清分類原因，找準(zhǔn)分類對(duì)象；其次，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，正確做出分類；最后，明確分類層次，優(yōu)化分類順序。下面我就來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明一下。

一、根據(jù)絕對(duì)值定義進(jìn)行分類討論

數(shù)學(xué)中的有些概念是分類定義的，像是絕對(duì)值、分段函數(shù)等，這就要求我們?cè)诮忸}時(shí)不能一概而論。而要根據(jù)題目的具體情況對(duì)其進(jìn)行分類討論。

例1.解不等式|2x+1|+|x-1|>6.

分析：該題中含有絕對(duì)值，我們?cè)诮忸}時(shí)首先想到的是要去掉絕對(duì)值，但是由于兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)去掉的條件不同，我們要對(duì)此進(jìn)行分類討論。

解：令2x+1=0，得x=-；令x-1=0，x=1

可見(jiàn)在實(shí)數(shù)集內(nèi)應(yīng)以-，1為分類標(biāo)準(zhǔn)，分成三個(gè)區(qū)間討論求解：①當(dāng)x≤- 時(shí)，原不等式可化為-2x-1+1-x>6，解得x<-2；②當(dāng)-6，解得x>4；③當(dāng)x>1時(shí)，原不等式可化為2x+1+x-1>6，解得x>2.

綜上，x<-2或x>2，故原不等式的解集為{x| x<-2或x>2}.

評(píng)注：在涉及到絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常都需要分類討論，最常用的方法是零點(diǎn)討論分類，先去掉絕對(duì)值的符號(hào)然后再進(jìn)行求解。下面我們來(lái)看一道在函數(shù)中對(duì)絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行分類討論的例題。

例2.已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2|x-2|.求使f（x）=x成立的x集合。

分析：由于該題中含有未知數(shù)，也含有絕對(duì)值，我們首先就要想到將絕對(duì)值符號(hào)去掉，那么要對(duì)x的取值情況進(jìn)行討論；另外，由于該題中并沒(méi)有給出x的取值范圍，那么我們?cè)谧鲱}時(shí)就要充分考慮到各種情況，以免造成疏漏。

解：由題意可得x2|x-2|=x.當(dāng)x≠0時(shí)，該式可化為x|x-2|=1，此時(shí)：①當(dāng)x>2時(shí)，該式可進(jìn)一步化為x2-2x-1=0，得x=1±√2（1-√2不合前提舍去）；②當(dāng)x≤2且x≠0時(shí)，該式可進(jìn)一步化為2x- x2-1=0，即（x-1）2=0，得x=1.③當(dāng)x=0時(shí)，顯然滿足f（x）=x.

綜上，滿足f（x）=x的x的集合為{x| x=0或x=1或x=1+√2}.

評(píng)注：該題的解題思路雖然有些復(fù)雜，卻是常規(guī)思路。在進(jìn)行分類討論時(shí)，我們一定要注意將每種條件下得出的結(jié)果與原始條件進(jìn)行對(duì)比，若是不符合條件則要舍去該答案，如本題中的x=1-√2，顯然不滿足小前提x>2，故舍去。面對(duì)復(fù)雜的分類討論問(wèn)題時(shí)，尤其是面對(duì)多級(jí)的分類討論，我們一定要逐級(jí)思考，并逐級(jí)分析，最后再將結(jié)果進(jìn)行匯總綜合，切忌越級(jí)思考，學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，解題時(shí)更要循序漸進(jìn)，否則難以理清問(wèn)題的頭緒，使問(wèn)題變得更加復(fù)雜。在分級(jí)時(shí)由小到大（或由大到?。┮来芜M(jìn)行討論可以避免遺漏。

二、根據(jù)函數(shù)定義域等定理限制進(jìn)行分類討論

在有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題中，由于受到函數(shù)定義域的限制，我們?cè)诮忸}中常常會(huì)對(duì)題目進(jìn)行分類討論，由于每種函數(shù)都有其不同的分類原則，對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)和真數(shù)等；三角函數(shù)中不同角的分類討論等。對(duì)于復(fù)合函數(shù)則需要我們綜合進(jìn)行考慮，如考慮兩類函數(shù)的圖像問(wèn)題。由于此類問(wèn)題非常龐雜，我們暫不做介紹。下面我就以二次函數(shù)中對(duì)兩根大小的討論為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

例3.解關(guān)于x的不等式x2+（a2+a）x+a3>0.

分析：該不等式中的a為常數(shù)，要解該不等式，可以先將原不等式進(jìn)行變形，然后再討論根的大小。在討論根的大小時(shí)，我們要綜合考慮到所有情況，尤其是特殊的情況，像是為零等。我們?cè)谧鲱}時(shí)，為了避免造成解題的疏漏，分類討論中的特殊情況可以率先進(jìn)行分析。

解：原不等式等價(jià)于（x+a）（x+ a2）>0，所對(duì)應(yīng)的方程的兩根為-a，-a2.①當(dāng)a>1或a<0時(shí)，有-a>-a2，所以不等式的解集為：{x|x<- a2或x>-a}.②當(dāng)a=1或a=0時(shí)，有-a=-a2，所以不等式的解集為：{x|x∈R 且x≠-a}.③當(dāng)0-a2}.

評(píng)注：該題為對(duì)不等式的兩根的大小情況進(jìn)行分類討論，在做題時(shí)要注意常數(shù)為零的情況。根據(jù)題目的不同情況，在做題時(shí)學(xué)生要綜合考慮根的情況，不缺項(xiàng)漏項(xiàng)，只要在平時(shí)的做題中注意總結(jié)與反思，將解題的策略與方法進(jìn)行整理，并充分考慮到特殊情況，那么用分類討論的思想來(lái)解題就極其容易了。

三、根據(jù)圖形位置進(jìn)行分類討論

在高中數(shù)學(xué)的平面幾何問(wèn)題中，常有因?yàn)閳D形的性質(zhì)不同而引發(fā)的分類討論。若是不注意對(duì)圖形的觀察，采用固定的思維模式，很可能考慮不全，從而失分。

例4.已知在直角坐標(biāo)系中，⊙C與y軸相切，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）.直線l過(guò)點(diǎn)A（-1，0），與⊙C切于點(diǎn)D.（1）求直線l的解析式。（2）在直線l上尋找點(diǎn)P，使△APC為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：該題要使△APC為等腰三角形，由于沒(méi)有說(shuō)明頂點(diǎn)與腰分別是哪個(gè)，因此，就要對(duì)該圖形的形狀進(jìn)行分類討論。

解：（1）略解：連結(jié)CD，應(yīng)用點(diǎn)斜式方程可得直線l的解析式為y= x+.

（2）以等腰△APC的頂點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)分類討論： ①當(dāng)P為△APC的頂點(diǎn)時(shí)，則AC的中垂線為y軸，它與l的交點(diǎn)P（0，）為所求；②當(dāng)C為△APC的頂點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于CD對(duì)稱（因?yàn)镃D⊥AP），易得P（2，√3）為所求；③當(dāng)A為△APC的頂點(diǎn)時(shí)，則在l上點(diǎn)A的兩側(cè)分別存在兩個(gè)點(diǎn)滿足條件，運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)可得P（-√3-1，-1）或P（√3-1，1）為所求。

評(píng)注：在進(jìn)行分類討論時(shí)，要找準(zhǔn)分類的標(biāo)準(zhǔn)。解析幾何中圖形的位置不同，形狀不同，其點(diǎn)的坐標(biāo)就會(huì)發(fā)生變化。

四、根據(jù)運(yùn)算的要求進(jìn)行分類討論

有些數(shù)學(xué)運(yùn)算由于有嚴(yán)格的限制，我們?cè)诮忸}時(shí)必須按照一定的要求進(jìn)行。這就要求學(xué)生要綜合掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并能將其熟練運(yùn)用，融會(huì)貫通。像是分?jǐn)?shù)的分子不為零等。對(duì)數(shù)中的真數(shù)部分必須要大于零等，將這些小知識(shí)點(diǎn)滲透到綜合題中，也是近幾年常見(jiàn)的考點(diǎn)之一。

例5.已知===k，求一次函數(shù)y=kx+k一定經(jīng)過(guò)的象限。

分析：要求一次函數(shù)一定經(jīng)過(guò)的象限，那么就要知道函數(shù)的關(guān)系式，即斜率k的值，那么就要根據(jù)已知條件進(jìn)行求解。

解：由已知，得b+c= ak ，c+a =bk ， a+b =ck，將三式進(jìn)行相加，得2（a+b+c）=（a+b+c）k.

當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，得k=2；

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，得b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，可得：k=-1.

綜上，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2或y=-x-1。函數(shù)y=2x+2的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，函數(shù)y=-x-1的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，因此其一定經(jīng)過(guò)的是第二、三象限。

評(píng)注：根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求分類討論，主要是要對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的定理、運(yùn)算定律等掌握，形成條件反射，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)就能自然而然地考慮到特殊的情況，進(jìn)而得出問(wèn)題的完整而正確的解。

分類討論不僅僅是一類題型，更是一種重要的解題思想，有變量就有分類討論的可能，因此我們不可能將分類討論的類型全部進(jìn)行總結(jié)。但是在處理此類問(wèn)題時(shí)也有一定的原則，即分類準(zhǔn)確，不重復(fù)不遺漏。要想做到這一點(diǎn)，要遵從兩個(gè)步驟：一是要找關(guān)鍵點(diǎn)，并以關(guān)鍵點(diǎn)為分界依次進(jìn)行分析；二是在多級(jí)分類時(shí)，要逐級(jí)討論，切忌跳級(jí)討論。

總之，我們?cè)谶M(jìn)行高中數(shù)學(xué)的教學(xué)時(shí)，傳授給學(xué)生知識(shí)只是一個(gè)小方面，我們更要注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。另外，數(shù)學(xué)問(wèn)題的分類討論思想是培養(yǎng)學(xué)生概括性與條理性的有效手段。學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)分析的思想，不僅有助于學(xué)生在解題時(shí)快速而準(zhǔn)確地找到解題的思路，提高解題的效率，還有助于學(xué)生運(yùn)用這種思維方式解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，養(yǎng)成學(xué)以致用的好習(xí)慣，從而在不知不覺(jué)中促進(jìn)自己能力的全面提升。

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