袁雯青

高中立體幾何部分知識的學(xué)習(xí)，與代數(shù)知識既相互區(qū)別又有一定的聯(lián)系.因而在立體幾何的教學(xué)過程中，教師要注重幾何與代數(shù)的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，根據(jù)學(xué)生個人情況，幫助學(xué)生找到適合自己的學(xué)習(xí)、解題方法，從而讓學(xué)生更好地掌握這部分知識，并通過立體幾何的學(xué)習(xí)提高數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面為筆者在立體幾何教學(xué)過程中所遇見的常見問題及其處理策略，敬請同行參考.

一、常見問題

高中立體幾何是教學(xué)大綱中的重點，更是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.在針對這部分知識的教學(xué)活動中，學(xué)生面臨的兩個突出的問題是，一、空間想象能力的不足.甚至表現(xiàn)為，在教師拿著立體模型時，很容易就能弄清楚線線、線面之間的空間關(guān)系，但只要沒有實物對照，就無法想象出空間圖形；二、學(xué)生在代數(shù)與幾何圖形之間的轉(zhuǎn)換不夠靈敏.在解題過程中，由幾何圖形向數(shù)據(jù)計算的轉(zhuǎn)換過程，邏輯性不強(qiáng)，計算過程不嚴(yán)謹(jǐn)，得出的結(jié)論不準(zhǔn)確.

二、處理策略

在高中立體幾何部分教學(xué)過程中，教師首先要讓學(xué)生理解并掌握分析立體圖形的基本技能，然后進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的空間想象能力.要讓學(xué)生在解題過程中保持立體感，找到最佳解題思路.

1.培養(yǎng)學(xué)生觀察分析能力，奠定實踐技能基礎(chǔ)

在剛開始進(jìn)行立體幾何學(xué)習(xí)時，要立足培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，從基礎(chǔ)的立體幾何解題技巧開始，鍛煉學(xué)生的立體感、空間想象能力，幫助所有學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能.

例1 已知平面α∥平面β，直線AB和CD是異面直線，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，E、F分別為AB和CD的中點，求證：EF∥β.

分析 此題要構(gòu)建面面平行缺少了一條線，即要連接AD（或BC），根據(jù)中位線的平行關(guān)系可知，應(yīng)該取AD中點來構(gòu)建面面平行，進(jìn)而推出線面平行.

證明 連接AD，取AD中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.E，G分別為AB和CD的中點，所以EG∥BD.EGβ，BDβ，所以EG∥β.G，F(xiàn)是DA，DC中點，所以GF∥AC.記平面ABC=γ，γ∩β=l，則由α∥β，α∩γ=AC，可知AC∥l，所以GF∥l.lβ，GFβ，所以GF∥β.又EG∥β，EG∩GF=G，EG平面EFG，GF平面EFG，所以平面EFG∥β，由EFβ，可得EF∥β.

在學(xué)習(xí)立體幾何過程中，教師應(yīng)多加入類似的例題，通過例題鍛煉學(xué)生的觀察、分析能力，幫助學(xué)生消化理解立體幾何中的基本知識，如線面關(guān)系判定、面面關(guān)系等，可以幫助學(xué)生更好地理解立體圖形，培養(yǎng)立體感.

2.誘發(fā)學(xué)生興趣，聯(lián)想定理內(nèi)涵

立體幾何部分的學(xué)習(xí)，對學(xué)生的空間想象能力是有一定的要求的，在這個學(xué)習(xí)階段，對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)尤為重要，要采用一些新穎的教學(xué)方式，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時多介紹些難度適中的題目，幫助學(xué)生培養(yǎng)學(xué)習(xí)的信心和解決難題的積極性.

現(xiàn)代教學(xué)手段：計算機(jī)、多媒體技術(shù)，在立體幾何部分的教學(xué)中，可以從很大程度上幫助學(xué)生更形象地認(rèn)識立體圖形.再通過對比投影圖形與手繪立體圖形之間的差異，幫助學(xué)生更好地培養(yǎng)立體感.另外，利用多媒體技術(shù)投影立體圖形，最大的好處是可以通過教師操作，將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，或動態(tài)變化，讓學(xué)生能更清晰地看到所觀察線、面之間的關(guān)系，讓學(xué)生從一個更直觀的角度去理解空間關(guān)系，有助于學(xué)生深刻理解定理內(nèi)容，加深對基礎(chǔ)知識的印象.

3.引入多種方法，全面解決問題

針對一些立體感較差的學(xué)生，直接觀察法顯然不適用，另外，一些立體關(guān)系較難觀察的題目，采用直接證明計算，很難解答而且極容易出現(xiàn)錯誤.這個時候可以采用體積法、向量法（平面或空間）等，利用數(shù)據(jù)的計算或者巧妙的平移、射影等方法，確定立體關(guān)系，幫助習(xí)題的解答.

例2 如圖2，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是兩條棱B1C1，C1D1的中點，求點C到截面BDFE的距離.

分析 要求點到面的距離，要過此點作面的垂線，即求垂線段的長度，關(guān)鍵就是確定垂足位置，而確定垂足，常用面面垂直的性質(zhì)定理，用交線的垂線來確定.

解 連結(jié)AC，A1C1，記AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，連結(jié)PQ，作CM⊥PQ于M.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1⊥BD.又AC⊥BD，所以BD⊥平面ACC1A1.BD平面BDFE，所以平面BDFE⊥平面ACC1A1.由平面BDFE∩平面ACC1A1=PQ，CM平面ACC1A1，所以CM⊥平面BDFE，所以CM即為所求.在梯形CPQC1中，CP=22，C1Q=24，CC1=1，PQ=324，所以CM×PQ=CP×CC1，CM=23.

立體幾何中的求距離問題，對作垂線的要求是比較高的，而常用的思想方法就是借助于面面垂直，將其轉(zhuǎn)化為到交線的垂線來處理，將空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離，利用面積轉(zhuǎn)換等思想解決問題.此種求距離的類型也可以借助三棱錐中的體積轉(zhuǎn)換來求，如此題可以利用VC-BDF=VF-BCD，求出點C到截面BDFE的距離.

例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F、G分別是棱AB、AD、D1A1的中點.（1）求證：BG∥平面A1EF；（2）若P為棱CC1上一點，求當(dāng)CPPC1等于多少時，平面A1EF⊥平面EFP.

證明 （1）連結(jié)GD，BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中E、G分別是棱AD、D1A1的中點，

所以A1G=12A1D1，

FA=12AD，

由A1D1∥AD且A1D1=AD，所以A1G∥FD且A1G=FD，所以四邊形A1GDF是平行四邊形，所以A1F∥GD.又GD平面A1EF，A1F平面A1EF，所以GD∥平面A1EF.因為E、F分別是棱AB、AD的中點，所以EF∥BD.由BD平面A1EF，EF平面A1EF，所以BD∥平面A1EF.又GD平面BGD，BD平面BGD，BD∩GD=D，所以平面BGD∥平面A1EF.BG平面BGD，所以BG∥平面A1EF.

（2）取EF中點Q，連結(jié)A1Q，PQ，A1P.因為A1E=A1F，所以A1Q⊥EF.又平面A1EF⊥平面EFP，由平面A1EF∩平面EFP=EF，A1Q平面EFP，可知A1Q⊥平面EFP.又PQ平面EFP，所以A1Q⊥PQ，即∠A1PQ=90°.

本題（2）中的第二種方法，平面向量法，在解這類探索性問題中，也是一個很好的工具.

在立體幾何部分的學(xué)習(xí)過程中，要積極鼓勵學(xué)生開發(fā)腦筋，用不同的方法，幫助學(xué)生更好地完成題目的解答.

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要部分，對學(xué)生的數(shù)學(xué)成績影響很大.在教學(xué)過程中，教師要以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力為基礎(chǔ)，逐漸鍛煉學(xué)生對立體圖形的理解和分析能力.通過借助先進(jìn)的教學(xué)手段，創(chuàng)新教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在解題思路上，要幫助學(xué)生根據(jù)個人情況，找到適合自己的解題方法，樹立“數(shù)形”結(jié)合的思維模式，幫助學(xué)生鍛煉對立體幾何的分析能力，提高解題效率.