姜 奎，費(fèi)為銀，杜宏?。ò不展こ檀髮W(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

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基于通脹和勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)投資問題研究

姜 奎，費(fèi)為銀＊，杜宏俊
（安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

摘要：在消費(fèi)籃子價(jià)格完全可觀察下，考慮通脹與勞動(dòng)收入對(duì)投資者最優(yōu)消費(fèi)投資的影響．首先，將投資者的生命周期分為就業(yè)階段和退休階段，分別建立兩個(gè)階段對(duì)應(yīng)的隨機(jī)控制數(shù)學(xué)模型；其次，利用隨機(jī)控制方法推導(dǎo)出相應(yīng)的HJB方程，并在CRRA（常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡）效用的情形下，獲得最優(yōu)化問題值函數(shù)顯式解；最后，在給定參數(shù)的條件下進(jìn)行數(shù)值模擬，分析了通脹因素對(duì)投資者的消費(fèi)投資策略的影響．

關(guān) 鍵 詞：通脹；勞動(dòng)收入；最優(yōu)消費(fèi)投資；CRRA效用；HJB方程

最優(yōu)消費(fèi)投資問題一直以來都是金融研究領(lǐng)域中一個(gè)最基本的問題．Merton［1］利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法研究了在連續(xù)時(shí)間里一個(gè)多期框架下的最優(yōu)消費(fèi)和投資決策問題．Wachter［2］給出了完備市場(chǎng)下帶有均值回復(fù)收益的消費(fèi)和投資組合決策的一個(gè)精確解．李仲飛［3］等研究了參數(shù)不確定時(shí)的最優(yōu)投資選擇問題．

隨著消費(fèi)投資理論的不斷發(fā)展，國內(nèi)外學(xué)者的研究越來越注重結(jié)合實(shí)際問題，例如考慮勞動(dòng)收入對(duì)投資者消費(fèi)投資決策的影響．Dybvig［4］等考慮了退休彈性以及能否對(duì)未來勞動(dòng)收入進(jìn)行借貸下的最優(yōu)消費(fèi)和投資策略問題．Moos［5］在完備的金融市場(chǎng)中研究了在時(shí)變的投資機(jī)會(huì)和動(dòng)態(tài)的非金融（勞動(dòng)）收入下的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，其中，勞動(dòng)收入增長和預(yù)期收益服從一個(gè)均值回復(fù)過程．費(fèi)為銀［6］等探討了在股票支付紅利的情況下，考慮投資者遺產(chǎn)并結(jié)合保險(xiǎn)，研究了3種不同借貸約束下的消費(fèi)投資問題，其中，借貸約束條件與勞動(dòng)收入有關(guān)．劉宏建［7］等研究了在Knight不確定環(huán)境下，考慮投資者遺產(chǎn)和保險(xiǎn)，在3種與未來勞動(dòng)收入有關(guān)的借貸約束下的最優(yōu)消費(fèi)與投資問題．

通過對(duì)已有的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)分析，得出在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)環(huán)境中通貨膨脹對(duì)消費(fèi)投資決策存在一定程度的影響．Bensoussan［8］等在消費(fèi)籃子價(jià)格完全可觀察和部分可觀察的情況下，分別給出了帶通脹的最優(yōu)消費(fèi)和投資策略．Fei［9］等研究了在帶有馬爾科夫轉(zhuǎn)換和通脹的金融市場(chǎng)中的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問題．姚海祥［10］等在所考慮的金融市場(chǎng)中僅存風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，基于連續(xù)時(shí)間均值－方差框架，研究了通貨膨脹影響下投資終止時(shí)間不確定的最優(yōu)投資組合選擇問題．費(fèi)為銀［11］等研究了跳擴(kuò)散環(huán)境下帶通脹的最優(yōu)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問題．在Moos［5］研究的基礎(chǔ)上考慮通脹因素，在一定程度上使得原有模型更接近現(xiàn)實(shí)．

1 模型框架

假設(shè)在金融市場(chǎng)中，投資者可以財(cái)富投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（銀行存款）和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票），則在t時(shí)刻無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足

式中，r0表示確定性的名義無風(fēng)險(xiǎn)利率．

t時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程滿足

式中，λ1是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率且λ1＞0；σs是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率且σs＞0．在這個(gè)框架下，風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格為

狀態(tài)變量X（t）的動(dòng)力學(xué)方程由式（3）給定

式中，κx是狀態(tài)變量的均值回復(fù)系數(shù)且κx≥0；X是狀態(tài)變量的長期均值且X≥0；σx是狀態(tài)變量的波動(dòng)率且σx＞0．

消費(fèi)籃子價(jià)格B（t）的動(dòng)力學(xué)可表示為

式中，B0表示初始條件；實(shí)數(shù)I表示預(yù)期即期通脹率；ζ是通脹波動(dòng)率且ζ＞0；I與ζ是常數(shù)．因?yàn)橄M(fèi)籃子價(jià)格通常是上升的，所以I＞0；并且當(dāng)消費(fèi)籃子完全可觀察時(shí)，B0是已知的．令L（t）＝lnB（t）表示對(duì)數(shù)籃子價(jià)格，利用公式可得

假設(shè)投資者的生命周期分為就業(yè)階段和退休階段，式中，Tr表示投資者的退休時(shí)刻；T表示投資者壽命終止時(shí)刻．在0≤t≤Tr這段時(shí)間內(nèi)，投資者在勞動(dòng)市場(chǎng)比較活躍，擁有一份有風(fēng)險(xiǎn)的勞動(dòng)收入，并進(jìn)行消費(fèi)和投資．在退休階段，即在Tr＜t≤T這段時(shí)間內(nèi)投資者沒有勞動(dòng)收入，并且其累積的金融財(cái)富必須能保證基本消費(fèi)．在［0，Tr］這段時(shí)間里投資者在勞動(dòng)市場(chǎng)上獲得一份有風(fēng)險(xiǎn)的勞動(dòng)收入Y（t），其在t時(shí)刻勞動(dòng)收入過程滿足

式中，y0是勞動(dòng)收入增長的常數(shù)部分；y1是勞動(dòng)收入增長在狀態(tài)變量上的敏感度且是勞動(dòng)收入的長期增長均值；σy是風(fēng)險(xiǎn)勞動(dòng)收入的波動(dòng)率且σy≥0．

2 CRRA（常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡）效用情形下的顯式解

在消費(fèi)籃子價(jià)格完全可觀察的情形下，投資者觀察過程L（t）以及信息集Ft．消費(fèi)籃子是用來折現(xiàn)消費(fèi)和財(cái)富的．因此，以e－LC表示實(shí)際消費(fèi)，e－LW表示實(shí)際財(cái)富．這里我們考慮消費(fèi)效用

假設(shè)投資者在t時(shí)刻剩余壽命的預(yù)期消費(fèi)效用期望為

式中，e－L（t）C（t）表示投資者在t時(shí)刻的真實(shí)消費(fèi)；δ≥0是主觀折現(xiàn)率；γ是風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)．

在第一節(jié)的模型框架下，將投資者的生命周期分為退休階段和就業(yè)階段，由于投資者在就業(yè)階段僅僅是比退休階段多擁有一份勞動(dòng)收入，因此，分析的重點(diǎn)放在就業(yè)階段．

2．1 就業(yè)階段

在就業(yè)階段，即在時(shí)間段0≤t≤Tr里，投資者擁有隨機(jī)的勞動(dòng)收入，此時(shí)由式（1）、式（2）和式（6）得到投資者在就業(yè)階段的財(cái)富動(dòng)力學(xué)

式中，C（t）表示投資者t時(shí)刻的名義消費(fèi)；π（t）表示投資者投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富比例．

此時(shí)的目標(biāo)是解如下的最大化問題

在消費(fèi)籃子價(jià)格可完全觀察情形下，根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理有值函數(shù)J的HJB方程

根據(jù)一階條件可得

把式（9）和式（10）代入到式（8）并化簡可得

為了獲得封閉解，我們需要作一些假設(shè)條件：

（c．1）假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和狀態(tài)變量是完全相關(guān)的，即ρsx∈｛－1，1｝．

（c．2）假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)勞動(dòng)收入之間是完全相關(guān)的或勞動(dòng)收入是局部無風(fēng)險(xiǎn)的，即ρsx∈｛－1，1｝?ρsy＝ρsxρsy∈｛－1，1｝或σy＝0．

（c．3）假設(shè)通脹分別和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)勞動(dòng)收入是完全相關(guān)的，即ρsI∈｛－1，1｝?ρsI＝ρsxρsI∈｛－1，1｝，ρyI＝ρsyρsI∈｛－1，1｝．

在上面的假設(shè)下，當(dāng)初值條件為a0（0）＝0，a1（0）＝0及a2（0）＝0時(shí)，a0（s），a1（s），a2（s）可以通過下列3個(gè)非線性常微分方程求解

式中

其中，

式（13）～式（15）的解為

其中，

則式（20）～式（21）的解為

以上我們分析了投資者在就業(yè)階段的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，根據(jù)上述模型和推導(dǎo)過程，得到下面的命題．

命題1 給定初始總財(cái)富＾W（0）≥0，在假設(shè)（c．1）～（c．3）下，則帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入投資者的最優(yōu)消

費(fèi)和投資分別為

2．2 退休階段

在退休階段，即在時(shí)間段Tr≤t≤T內(nèi)，投資者沒有勞動(dòng)收入，此時(shí)由式（1）和式（2）可得投資者的財(cái)富動(dòng)力學(xué)

此時(shí)的值函數(shù)形式為

命題2 對(duì)于Tr≤t≤T，在假設(shè)（c．1）和ρsI∈｛－1，1｝?ρxI＝ρsxρsI∈｛－1，1｝下，沒有勞動(dòng)收入的投資者在退休階段的最優(yōu)消費(fèi)和投資分別為分別滿足式（17）、式（18）和式（19），k0，k1，k2，k3，k4，k5，k6由式（16）給出，而且

這里

3 數(shù)值分析

為了說明通脹因素對(duì)投資者的最優(yōu)投資組合選擇和消費(fèi)的影響，分析的重點(diǎn)是投資者就業(yè)階段．此時(shí)考慮局部無風(fēng)險(xiǎn)勞動(dòng)收入情形，即σy＝0．現(xiàn)給定如下相關(guān)參數(shù)值

利用Matlab軟件模擬可以得到下面結(jié)論．最優(yōu)投資π*（t）隨通脹波動(dòng)率ζ的變化如圖1所示，由圖1可知，假設(shè)投資者年齡為25歲（τr＝20），此時(shí)的金融財(cái)富為180（千），勞動(dòng)收入為40（千）．投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)比例隨著通脹波動(dòng)率的增大而逐漸增大，因?yàn)閷?duì)于較低風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者來說，通脹波動(dòng)率增大時(shí)，他會(huì)認(rèn)為市場(chǎng)的預(yù)期走勢(shì)較好，會(huì)把自己的財(cái)富（包含勞動(dòng)收入）更多地投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上以獲得更多的收益．由圖1同時(shí)可知，當(dāng)勞動(dòng)收入增長分別為y1＝0．4，y1＝0，y1＝－0．4時(shí)，投資比例不同，勞動(dòng)收入越多投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越大．

最優(yōu)消費(fèi)c＊（t）隨通脹波動(dòng)率ζ的變化如圖2所示．由圖2可知，描述了通脹波動(dòng)率對(duì)投資者的最優(yōu)消費(fèi)的影響，其中，也假設(shè)投資者年齡為25歲（τr＝20），此時(shí)的金融財(cái)富為180（千），勞動(dòng)收入為40（千）．在通脹波動(dòng)率剛開始增大時(shí)，消費(fèi)呈現(xiàn)增長趨勢(shì)，因?yàn)榇藭r(shí)投資者可能通過無風(fēng)險(xiǎn)借貸進(jìn)行投資使得手中持有貨幣增多，刺激了消費(fèi)增長，由此可見，適度的通脹會(huì)刺激消費(fèi)．此后，隨著通脹波動(dòng)率的不斷增大，較低風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者把更多的財(cái)富（包含勞動(dòng)收入）投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，從而使得消費(fèi)水平降低．圖2同時(shí)也體現(xiàn)出，當(dāng)勞動(dòng)收入增長分別為y1＝0．4，y1＝0，y1＝－0．4時(shí)，投資者的消費(fèi)水平不同，勞動(dòng)收入越多消費(fèi)水平相對(duì)越高．

圖1　最優(yōu)投資π*（t）隨通脹波動(dòng)率ζ的變化　

圖2　最優(yōu)消費(fèi)c＊（t）隨通脹波動(dòng)率ζ的變化

4 總結(jié)

現(xiàn)實(shí)中，投資者會(huì)在不同時(shí)期面臨市場(chǎng)上不同的通脹波動(dòng)率，為了減少損失風(fēng)險(xiǎn)，投資者會(huì)根據(jù)不同的通脹波動(dòng)率來調(diào)整自己的消費(fèi)投資策略，從而獲得更大的收益．在通脹情形下研究了投資者帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入時(shí)的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上考慮通脹因素，得出了投資者在消費(fèi)籃子價(jià)格完全可觀察時(shí)的最優(yōu)消費(fèi)投資策略，并通過數(shù)值模擬討論了通脹對(duì)帶有勞動(dòng)收入投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資的影響．所得模型更加符合實(shí)際市場(chǎng)，研究結(jié)果可以為投資者的消費(fèi)投資策略選擇提供新的視角，具有一定理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義．

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Study on optimal consumption－portfolio problem based on labor income and inflation

JIANG Kui，F(xiàn)EI Wei－yin＊，DU Hong－jun
（College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Abstract：This paper considers the impact of inflation and labor income on optimal consumption and portfolio of an investor in the case of fully observed consumption basket price．Firstly，the life cycle of the investor is divided into two phases of retirement and employment，and then the corresponding stochastic control mathematical models are set up．Secondly，by using the method of stochastic control，the HJB equation is derived，an explicit expression of the valued function of the optimization problem is obtained in the case of constant relative risk aversion（CRRA）utility．Finally，the effect of inflation on an investor ＇s optimal consumption and portfolio strategy is analyzed by numerical simulation with given parameters．

Key words：inflation；labor income；optimal consumption－portfolio；CRRA utility；HJB equation

通訊作者：費(fèi)為銀（1963－），男，安徽蕪湖人，教授，博士生導(dǎo)師．

作者簡介：姜 奎（1990－），男，安徽宿州人，碩士研究生．

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71171003，71571001）

收稿日期：2015－10－15

文章編號(hào)：1672－2477（2016）01－0065－07

中圖分類號(hào)：O211．63；F224．11

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A