洪三球

1.問(wèn)題的提出

江蘇科學(xué)技術(shù)出版社編著的義務(wù)教育教科書，《數(shù)學(xué)》（九年級(jí)上冊(cè)）4.1等可能性，有這樣一道例題：

一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，會(huì)出現(xiàn)哪些可能的結(jié)果？摸出白球與紅球的可能性一樣嗎？

在強(qiáng)調(diào)讓實(shí)驗(yàn)走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂的大背景下，如何準(zhǔn)確處理這道例題才是恰當(dāng)?shù)哪兀?/p>

2.問(wèn)題的分析解決

2015年9月筆者參加了昆山及蘇州大市的百節(jié)優(yōu)秀課評(píng)比，課題恰好就是《等可能性》。隨著比賽層次的提高，對(duì)這道例題的認(rèn)識(shí)也在不斷深化。

2.1片級(jí)初賽——對(duì)本例題進(jìn)行了簡(jiǎn)單的解讀和講評(píng)。

由于初賽是在昆山市南片幾所學(xué)校之間進(jìn)行，筆者對(duì)這道例題并未做深入解讀，在學(xué)習(xí)了等可能性的條件后，直接按等可能性的四條要點(diǎn)進(jìn)行逐一分析：因?yàn)榇杏袃蓚€(gè)紅球和一個(gè)白球，摸到紅球的可能性要大一些，所以摸到白球與摸到紅球不是等可能的。但是在課后反思中，筆者覺得在對(duì)這道例題的處理過(guò)程中過(guò)分強(qiáng)調(diào)了形式化的邏輯推導(dǎo)和形式化的結(jié)果，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的展示和數(shù)學(xué)直觀性的背景關(guān)注較少，所以講解得很吃力，可能部分學(xué)生也只是機(jī)械地了解了答案而已。

2.2縣市決賽——初步引入實(shí)驗(yàn)思想解讀本例。

由于以第一名的成績(jī)從南片出現(xiàn)，因此還得參加昆山市級(jí)決賽，課題還是《等可能性》。

新的課程理念要求教師在概念教學(xué)中注重知識(shí)的生成，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提供給學(xué)生大量操作、思考與交流的機(jī)會(huì)，讓他們經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流與反思等過(guò)程，進(jìn)而在增加感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念。基于這一教學(xué)理念，本輪在對(duì)這道例題的處理上嚴(yán)謹(jǐn)深刻了很多。

筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過(guò)程：

首先讓學(xué)生討論小明和小麗兩位同學(xué)的看法，并形成了初步的意見：小麗同學(xué)說(shuō)法正確。

然后設(shè)計(jì)了摸球?qū)嶒?yàn)：

實(shí)驗(yàn)分成A、B兩大組，每個(gè)大組分六個(gè)小組。A組依據(jù)小明同學(xué)看法設(shè)計(jì)，盒中兩個(gè)紅球（沒有編號(hào)）和一個(gè)白球。B組依據(jù)小麗同學(xué)看法設(shè)計(jì)，盒中兩個(gè)紅球（編號(hào)為紅球1、紅球2）和一個(gè)白球。

組長(zhǎng)拿盒子，組織好游戲，書記負(fù)責(zé)記錄（畫正字）組員負(fù)責(zé)輪流摸球，摸球次數(shù)20次，要求安靜、迅速、守秩序。

各小組完成下列表格數(shù)據(jù)，最后小組匯總到總表格：

分析所得數(shù)據(jù)，此處只采用定性分析的方法（因?yàn)橄抻跁r(shí)間和實(shí)驗(yàn)次數(shù)實(shí)際結(jié)果同理想結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偏差）。

由A組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可看出紅球的次數(shù)要遠(yuǎn)多一些，可見小明同學(xué)的說(shuō)法是不恰當(dāng)?shù)摹Ｓ葿組數(shù)據(jù)可得白球，紅球1、紅球2的次數(shù)比較靠近，因此如果把紅球編號(hào)為紅球1、紅球2則抽出的結(jié)果有三個(gè)：白球，紅球1、紅球2。而且這三個(gè)事件是等可能的，從而證實(shí)了同學(xué)們的猜想。

第二次對(duì)例題的解讀已經(jīng)有些接近課標(biāo)對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的要求，也經(jīng)歷了猜想，實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的過(guò)程。但是在教后反思中，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的安排缺少條理，為做實(shí)驗(yàn)而做實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的目的，實(shí)驗(yàn)的步驟及最后對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，實(shí)驗(yàn)最后得到了什么結(jié)論，都沒有完全科學(xué)地展示出來(lái)。

2.3地市決賽——完成用實(shí)驗(yàn)思想解讀本例。

比賽結(jié)果我以第一名的成績(jī)參加蘇州市的決賽，課題還是《等可能》。這次更是不敢掉以輕心，對(duì)每個(gè)教學(xué)程序都做了精心的策劃和安排，對(duì)本例更是做了精彩的解讀和發(fā)揮。

第一步：讓學(xué)生猜想哪位同學(xué)的說(shuō)法正確，并做簡(jiǎn)單的分析和解釋。

第二步：帶著上述猜想，進(jìn)入我設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)程序。

實(shí)驗(yàn)規(guī)則：（1）、（2）與昆山比賽設(shè)計(jì)相同，增加了以下規(guī)則：

（3）A組一次摸球只需要記錄是紅球還是白球。B組則需要記錄白球，紅球1、紅球2.

（4）每次摸完放回，搖勻再摸。

（5）摸球時(shí)不要用眼睛看。

（6）把實(shí)驗(yàn)報(bào)告單填寫完整。

小組實(shí)驗(yàn)記錄：對(duì)應(yīng)顏色的球下面畫正字。

第三步，小組匯總到總表格（表格設(shè)計(jì)同前）：

實(shí)驗(yàn)結(jié)果（A）組：我們組共摸球？搖 ？搖次，其中摸到白球？搖 ？搖次，紅球？搖 ？搖次，摸到？搖 ？搖球的次數(shù)多。實(shí)驗(yàn)證明：因?yàn)楹兄杏屑t球？搖 ？搖個(gè)白球？搖 ？搖個(gè)，所以摸到？搖 ？搖。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果（B）組：我們組共摸球？搖 ？搖次，其中摸到白球？搖 ？搖次，紅球1？搖 ？搖次，紅球2？搖 ？搖次。實(shí)驗(yàn)證明：由于紅球有2個(gè)，如果把它們編號(hào)為紅球1、紅球2，那么攪勻后從中任意摸出1個(gè)球有？搖 ？搖種可能，而且可能性？搖 ？搖。

第四步，實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

（1）由于這3個(gè)球除顏色外都相同，因此攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到每一個(gè)球的可能性是相同的。

（2）由于紅球有2個(gè)，如果把它們編號(hào)為紅球1、紅球2，那么，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球有3種可能的結(jié)果：

摸出白球，摸出紅球1，摸出紅球2。并且這3種結(jié)果是等可能的，因此摸到紅球的可能性大。

（3）由此說(shuō)明，小明的說(shuō)法是不正確的，小麗的說(shuō)法正確。

第五步，結(jié)論推廣：

像例3這樣，由于同色球數(shù)量不對(duì)稱，而導(dǎo)致摸球結(jié)果不等可能的例子，通過(guò)什么樣的方法能使實(shí)驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性？

最后，結(jié)論應(yīng)用：一只不透明的袋子裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，這些球除顏色不同外，其他都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，有哪些等可能的結(jié)果？

通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)該例題的解讀和價(jià)值完全被展示出來(lái)，而且實(shí)驗(yàn)的程序完全合乎科學(xué)的規(guī)則。

首先，從實(shí)驗(yàn)程序來(lái)說(shuō)，從猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—獲取原始數(shù)據(jù)—小組收集數(shù)據(jù)—全班收集數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—得出結(jié)論—結(jié)論的深化—深化后的挖掘運(yùn)用，是一套科學(xué)的實(shí)驗(yàn)程序，組織的有條不紊。

其次：對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，從小組結(jié)論——全班結(jié)論真正體現(xiàn)了收集到的數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值，A組的結(jié)論證明了（1）：由于這3個(gè)球除顏色外都相同，所以攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到每一個(gè)球的可能性是相同的。B組的結(jié)論證明了（2）：由于紅球有2個(gè)，如果把它們編號(hào)為紅球1、紅球2，那么，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球有3種可能的結(jié)果：摸出白球，摸出紅球1，摸出紅球2.并且這3種結(jié)果是等可能的，因此摸到紅球的可能性大。這樣的分析給學(xué)生提展示了一個(gè)完整的數(shù)據(jù)分析的方法，直觀明了。

再次，對(duì)結(jié)論（2）的推廣有目的地解決了本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)難點(diǎn)即會(huì)列出一些類型的隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，而這道例題的價(jià)值也正是體現(xiàn)在這里。

在教授這節(jié)內(nèi)容的過(guò)程中，大多數(shù)教師可能只是按照作者最初的想法對(duì)這道例題進(jìn)行了教學(xué)，但是現(xiàn)在看來(lái)，這樣的處理方法是沒有準(zhǔn)確理解教材提供這道例題的目的，也沒有完全認(rèn)識(shí)到這道題所體現(xiàn)的價(jià)值。所以在課堂教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出猜想，驗(yàn)證猜想和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的有效途徑，也是完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。

3.問(wèn)題的反思

經(jīng)過(guò)課改的有效宣傳，我們基本都已經(jīng)接受實(shí)驗(yàn)必須進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂的理念，但是很多課堂教學(xué)中出現(xiàn)大量為實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn)的情況。到底如何讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有效地與數(shù)學(xué)課堂緊密結(jié)合是值得廣大教師深思的問(wèn)題，可以從以下方面入手。

3.1認(rèn)真研讀教材，研讀教學(xué)大綱準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)。

只有在完全解讀了教學(xué)內(nèi)容之后才能在適當(dāng)?shù)牡胤皆O(shè)計(jì)合適的實(shí)驗(yàn)，例如對(duì)本例題的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是基于會(huì)列出一些類型的隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)設(shè)計(jì)紅球1、紅球2，然后進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)，通過(guò)數(shù)據(jù)的分析學(xué)生直觀體會(huì)到原來(lái)對(duì)于這樣的例題需要用編號(hào)的方法把不是等可能性的結(jié)果改編成具有等可能性的結(jié)果。

3.2選好實(shí)驗(yàn)對(duì)象后要精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)程序。

老師在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)程序時(shí)要認(rèn)真構(gòu)思實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的每個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的問(wèn)題、現(xiàn)象、失敗的原因要盡可能考慮得細(xì)致，不能單為做實(shí)驗(yàn)而做實(shí)驗(yàn)，要系統(tǒng)全面地分析實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、操作要求、步驟等。

在考慮本例的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，先讓學(xué)生提出猜想，然后驗(yàn)證猜想，最后分析實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，最后歸納出本例的三點(diǎn)結(jié)論，并根據(jù)教學(xué)目標(biāo)適時(shí)對(duì)第二點(diǎn)結(jié)論進(jìn)行拓展，所以實(shí)驗(yàn)的安排非常合乎科學(xué)研究的程序。

3.3對(duì)實(shí)驗(yàn)所得到的結(jié)果要進(jìn)行多維度的分析。

上述例題中，對(duì)A組的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可以得到如下結(jié)論：袋中的三個(gè)球被摸到的可能性都是一樣的，又因?yàn)橛袃蓚€(gè)紅球，所以實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)明顯偏向紅球。

對(duì)B組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可以得到如下結(jié)論：如果把紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，則袋中有三個(gè)對(duì)象，白球，紅球1、紅球2，且他們被摸到是等可能的，再由此引申就可以得到用編號(hào)的方法可以列舉等可能事件。

參考文獻(xiàn)：

[1]中國(guó)教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).北京師范大學(xué)出版社，2002.

[2]蘇科版實(shí)驗(yàn)教科書九年級(jí)（上）.江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2012.11.