張　瓊，王天軍

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 洛陽 471023)

?

全直線上熱傳導(dǎo)方程廣義Hermite 譜方法

張瓊，王天軍

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 洛陽 471023)

摘要：以帶伸縮因子的廣義Hermite函數(shù)為基函數(shù)展開全直線上熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解，逼近熱傳導(dǎo)方程的正確解。給出算法格式和收斂性分析，數(shù)值例子表明所提算法格式具有有效性和高精度。所用方法也可用于求解其他同類問題。

關(guān)鍵詞：熱傳導(dǎo)方程；初值問題；廣義Hermite譜方法；全直線

0引言

過去30年來,利用譜方法數(shù)值求解無界區(qū)域上的偏微分方程的研究有了很大進(jìn)展[1-5]，該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是高精度和無需強(qiáng)加人工邊界條件。文獻(xiàn)[1-2]考慮了權(quán)函數(shù)為e-x2的Hermite多項(xiàng)式作為基函數(shù)的逼近問題。文獻(xiàn)[3]考慮了權(quán)函數(shù)為ex2的Hermite函數(shù)作為基函數(shù)的逼近問題。但上述文獻(xiàn)中許多工作所用權(quán)函數(shù)都是非一致的,使理論分析和數(shù)值計(jì)算更加復(fù)雜。所以,文獻(xiàn)[4-6]利用權(quán)函數(shù)為1的Hermite函數(shù)作為基函數(shù)的逼近方法。為了提高逼近精度，文獻(xiàn)[7-9]考慮了帶伸縮因子的廣義Hermite函數(shù)作為基函數(shù)來逼近[7-9]，值得關(guān)注的是，文獻(xiàn)[8]將該基函數(shù)用于求解關(guān)于種群問題的Ginzburg-Landau方程的數(shù)值解。文獻(xiàn)[10]用Legendre譜配置方法求解熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解。但關(guān)于無界區(qū)域上熱傳導(dǎo)問題的高精度方法的研究較少。本文利用帶伸縮因子的廣義Hermite函數(shù)求解全直線上熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解，通過選取適當(dāng)伸縮因子，可以更好地使數(shù)值解匹配正確解的漸進(jìn)行為，達(dá)到提高數(shù)值逼近精度的目的。

1廣義Hermite 正交逼近

令Hn(x)為通常的Hermite多項(xiàng)式,廣義Hermite函數(shù)定義為:

其中：α是一個常數(shù)，且α>0。

∫,

(1)

其中:δm,n為Kronecker函數(shù)。

(2)

∫；

(3)

∫；

(4)

∫,當(dāng)n≠m,n≠m±2。

(5)

對于整數(shù)N>0,PN()表示次數(shù)小于等于N的所有多項(xiàng)式，令

為了得到逼近結(jié)果，需要引進(jìn)下面的范數(shù)空間。對于任意的整數(shù)r≥0,

L2()正交投影記為PN,α,:L2()→QN,α()，定義：

(PN,α,Ru-u,φ)=0,φ∈QN,α()。

(6)

其中：常數(shù)c與任意函數(shù)以及N無關(guān)。

2全直線上線性熱傳導(dǎo)方程的廣義Hermite譜方法

tU(x,t)-2xU(x,t)+U(x,t)=f(x,t), x∈?,0

(7)

式(7)的一個弱形式為求U∈L∞(0,T;L2())∩L2(0,T;H1()),使得：

(8)

式(8)的譜格式為求uN∈QN,α(),使得：

(9)

現(xiàn)在分析式(9)的收斂性。令UN=PN,α,U,再由式(8)和PN,α,的定義,可以得到：

(10)

(11)

(12)

為了簡便，令

(13)

則式(12)為：

(14)

(15)

由式(6)、式(13)和式(15)得：

(16)

3數(shù)值結(jié)果

對時間方向用Crank-Nicolson格式離散，其步長為τ，得到全離散格式為：

在實(shí)際的計(jì)算中，將數(shù)值解展開成如下形式:

(18)

定義向量

X(t)=(a0(t),a1(t),…,aN(t))T；F(t)=(f0(t),f1(t),…,fN(t))T,

(19)

由式(1)、式(3)、式(4)和式(5)可知：

ak'k=πα, k'=k;0,k'≠k,ì?í???? bk'k=-α2πk(k-1), k'=k-2, 0≤k,k'≤N。πα(k+12),k'=k,0≤k,k'≤N。-α2π(k+1)(k+2),k'=k+2,0≤k,k'≤N。0,k'≠k,k±2,0≤k,k'≤N。ì?í??????????

用離散內(nèi)積

來度量問題的正確解U(x,t)和數(shù)值解uN(x,t)之間的誤差。現(xiàn)在令測試函數(shù)：

可得數(shù)值誤差EN,τ(t)的常用對數(shù)和不同N之間的關(guān)系。

圖1　不同τ時，數(shù)值誤差lg EN,τ(1)隨N的變化關(guān)系

圖1為時間t=1，基函數(shù)中的松弛因子α=1.5時，數(shù)值誤差的常用對數(shù)lgEN,τ(t)隨多項(xiàng)式次數(shù)N及時間步長τ的變化情況。由圖1可看出：固定τ=0.01，當(dāng)N≤15時，影響誤差的主要因素是空間變量，數(shù)值誤差EN,τ(t)隨著多項(xiàng)式次數(shù)N的增大而快速減小;但當(dāng)N>15時，影響誤差的主要因素是時間變量，隨著N的變大，數(shù)值誤差EN,τ(t)基本保持不變。當(dāng)τ=0.001時，情況類似。然而，對于τ=0.000 1，影響數(shù)值誤差的主要因素是空間變量，所以隨著N的增大，數(shù)值誤差EN,τ(t)迅速減小。這種情況和式(16)所給的數(shù)值誤差分析結(jié)果是一致的，而且可以很好地表明式(9)在空間方向上具有譜精度。

圖2為時間t=1，時間步長τ=0.001時，數(shù)值誤差的常用對數(shù)lgEN,τ(t)和基函數(shù)中的伸縮因子 α之間的關(guān)系。圖2表明：當(dāng) α取適當(dāng)大的值時所得的數(shù)值誤差,比 α取值小時所得的數(shù)值誤差更小些。但如何選取最恰當(dāng)?shù)?α值，還是一個未解決的問題，有待繼續(xù)研究。

圖3為伸縮因子 α=1.5, 多項(xiàng)式次數(shù)N=20，時間步長τ=0.000 1時，lgEN,τ(t)隨t的變化關(guān)系。圖3表明式(9)具有長時間穩(wěn)定性。

圖2 不同α?xí)r,數(shù)值誤差lgEN,τ(1)隨N的變化關(guān)系 圖3 數(shù)值誤差lgEN,τ(t)隨t的變化關(guān)系

4結(jié)束語

利用廣義Hermite基函數(shù)展開數(shù)值解，逼近全直線上的熱傳導(dǎo)問題的正確解，由于基函數(shù)含有因子e-(αx)2/2，使得數(shù)值解能更好地吻合正確解在無窮遠(yuǎn)處的漸進(jìn)行為。適當(dāng)選取函數(shù)e-(αx)2/2中的伸縮因子α，使得數(shù)值解更好地逼近正確解。由于算法格式中所含權(quán)函數(shù)是一致的，給理論分析和數(shù)值計(jì)算帶來了方便，在計(jì)算中可以節(jié)省大量工作。本文所提的計(jì)算方法也可用于求解全直線上非線性問題的數(shù)值解。

參考文獻(xiàn)：

[1]GUO B Y,XU C L.Hermite pseudospectral method for nonlinear partial differential equations[J].ESAIM:mathematical modelling and numerical analysis,2000,34(4):859-872.

[2]GUO B Y.Error estimation of hermite spectral method for nonlinear partial differential equations[J].Mathematics of computation of the American mathematical society,1999,68(227):1067-1078.

[3]GUO B Y,WANG T J.Mixed legendre-hermite spectral method for heat transfer in an infinite plate[J].Computers & mathematics with applications,2006,51(5):751-768.

[4]GUO B Y,SHEN J,XU C L.Spectral and pseudospectral approximations using hermite functions:application to the dirac equation[J].Advances in computational mathematics,2003,19(1/3):35-55.

[5]SHEN J,TANG T,WANG L L.Spectral methods:algorithms,analysis and applications[M].Berlin:Springer Science & Business Media,2011.

[6]黃瑜,徐承龍.無界域上一類半線性波動方程的全離散譜格式[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,40(4):635-639.

[7]TANG T.The hermite spectral method for gaussian-type functions[J].SIAM journal on scientific computing,1993,14(3):594-606.

[8]XIANG X M,WANG Z Q.Generalized hermite spectral method and its applications to problems in unbounded domains[J].SIAM journal on numerical analysis,2010,48(4):1231-1253.

[9]ZHANG C,GUO B Y.Generalized hermite spectral method matching asymptotic behaviors[J].Journal of computational and applied mathematics,2014,255:616-634.

[10]王天軍,賈麗蕊.非線性熱傳導(dǎo)方程的 Lagrange 插值逼近[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,32(2):68-71.

中圖分類號：O175.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-01-23

作者簡介：張瓊(1987-),女,河南鞏義人,碩士生;王天軍(1963-),男,通信作者，河南息縣人,副教授,博士,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371123，11171227);河南省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(14B11021);河南科技大學(xué)博士啟動基金項(xiàng)目(09001263)

文章編號：1672-6871(2016)03-0091-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.020