徐　磊，陳曉懷

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

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蒙特卡洛法評(píng)定坐標(biāo)測量機(jī)直徑測量不確定度

徐磊，陳曉懷

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

摘要：工件完整的測量結(jié)果由測量估計(jì)值和測量不確定度組成，而坐標(biāo)測量機(jī)在實(shí)際應(yīng)用過程中，通常僅提供一個(gè)被測參數(shù)的估計(jì)值。以坐標(biāo)測量機(jī)測量工件直徑為例，闡述了測量過程中影響測量結(jié)果的不確定度來源，并討論了坐標(biāo)測量機(jī)面向任務(wù)的不確定度評(píng)定模型，給出基于測量不確定度表示指南和蒙特卡洛法的不確定度評(píng)定方法。最后，用某工件直徑測量的不確定度評(píng)定實(shí)例驗(yàn)證所述方法的可行性。通過比較發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測量模型為非線性模型或輸入量服從多種分布類型時(shí)，蒙特卡洛法更加準(zhǔn)確、便捷。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)測量機(jī)；直徑測量；蒙特卡洛法；不確定度評(píng)定

0引言

在進(jìn)行工件測量時(shí)，完整的測量結(jié)果應(yīng)包含測量估計(jì)值和測量不確定度。測量不確定度是表征被測量值分散性的非負(fù)參數(shù)。測量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其測量不確定度的大小[1]。文獻(xiàn)[2]依據(jù)測量不確定度表示指南(guide to the expression of uncertainty in measurement,GUM)對(duì)測量模型較為簡單的測量系統(tǒng)進(jìn)行測量不確定度的評(píng)定，簡單有效，但對(duì)于坐標(biāo)測量機(jī)(coordinate measuring machine,CMM)而言，該方法評(píng)定難度較大。這是由于CMM是一種復(fù)雜的幾何量測量儀器，其測量策略的多樣性使得不同測量任務(wù)的不確定度評(píng)定過程和結(jié)果大相徑庭，且影響CMM測量不確定度的誤差源因素很多，誤差源與測量結(jié)果的傳遞關(guān)系難以確定[3-4]。文獻(xiàn)[5]基于產(chǎn)品幾何規(guī)范對(duì)CMM測量結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)定，該方法雖具可行性，但其復(fù)現(xiàn)性試驗(yàn)的合理規(guī)劃是難點(diǎn)，測量人員需要有深厚的專業(yè)功底，且該方法需要大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)，工作量較大。因此，CMM的測量結(jié)果通常只提供被測參數(shù)的估計(jì)值，不能給出測量任務(wù)的測量不確定度[6-7]。本文在CMM直角坐標(biāo)系下，采用最小二乘法擬合圓，對(duì)工件直徑測量的不確定度進(jìn)行分析評(píng)定。分別采用GUM法和蒙特卡洛法(Monte Carlo method,MCM)對(duì)測量不確定度進(jìn)行評(píng)定，并對(duì)兩種方法進(jìn)行了比較。研究內(nèi)容對(duì)提高CMM測量不確定度評(píng)定的可靠性與可操作性，以及提升CMM的應(yīng)用價(jià)值和空間，都具有一定的參考價(jià)值。

1測量模型

對(duì)應(yīng)擬合圓時(shí)所采的測量點(diǎn)Pi(xi,yi)，則有正規(guī)方程組：

(1)

求解方程組(1)即可得到a、b、c，表示為：

(2)

CMM在圓的實(shí)際測量和評(píng)定過程中，一般會(huì)對(duì)采樣點(diǎn)附加約束條件，即測量采樣點(diǎn)數(shù)量為偶數(shù)，且在被測圓周上等間距分布。在此約束條件下最小二乘圓的圓心坐標(biāo)[9]為：

(3)

(4)

求解式(4)，可得直徑表達(dá)式為：

(5)

2測量不確定度評(píng)定模型

CMM測量直徑時(shí)，影響測量結(jié)果的主要誤差源包括儀器自身的21項(xiàng)機(jī)構(gòu)誤差、測量重復(fù)性誤差、熱變形誤差、力變形誤差、探測系統(tǒng)誤差和動(dòng)態(tài)測量誤差等。因此，CMM測量直徑D的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式[10]為：

D=d+d(αW-αM)δθ+δres+δt+δv，

(6)

其中：d為測量模型的輸出直徑；αW為工件的熱膨脹系數(shù)；αM為CMM光柵尺的熱膨脹系數(shù)；δθ為實(shí)際測量溫度與標(biāo)準(zhǔn)溫度(20 ℃)的差值；δres為示值誤差對(duì)測量結(jié)果的影響；δv為測量力對(duì)測量結(jié)果的影響;δt為動(dòng)態(tài)誤差對(duì)測量結(jié)果的影響。

直徑D是關(guān)于輸入量d、δθ、δres、δv、δt的函數(shù)，即：

D=f(d,δθ,δres,δv,δt)。

輸入量之間互不相關(guān)，根據(jù)GUM法可得各傳遞因數(shù)[11]為：

于是，CMM測量直徑D的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

四是運(yùn)行環(huán)境方面的問題。任何一項(xiàng)工作機(jī)制的運(yùn)行，都需要一定的環(huán)境作為支撐?！耙徽臼健彼痉ù_認(rèn)機(jī)制得以建立，其根本原因是黨和政府關(guān)于完善矛盾糾紛多元化解機(jī)制的基本要求。在這種條件下，完善工作機(jī)制、化解矛盾糾紛、維護(hù)社會(huì)穩(wěn)定成為各級(jí)黨委、政府和相關(guān)部門的一項(xiàng)重要任務(wù)，也就為“一站式”司法確認(rèn)機(jī)制的建立創(chuàng)造了條件。該機(jī)制的運(yùn)行，不僅需要司法機(jī)關(guān)、司法行政機(jī)關(guān)創(chuàng)造條件予以保障，同時(shí)也需要各級(jí)黨委、政府、相關(guān)部門和組織，在思想理念、工作目標(biāo)、工作機(jī)制等方面提供支持和保障，為該機(jī)制的運(yùn)行創(chuàng)造良好環(huán)境。

(7)

同理，可分析得到u(d)。由式(5)知：

d=g(xi,yi,x0,y0)。

則各傳遞因數(shù)為：

(8)

于是，

(9)

將u(d)代入式(7)即得到被測直徑D的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC(D)。

3蒙特卡洛法

蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度是基于分布傳播的原理，適用于具有任意多個(gè)可由概率密度函數(shù)表征的輸入量和單一輸出量的測量模型，即需要已知模型中各輸入量的概率分布，由評(píng)定模型計(jì)算出輸出量的分布[12-14]。

圖1　基于蒙特卡洛法的不確定度評(píng)定流程圖

基于蒙特卡洛法的不確定度評(píng)定步驟如下：(Ⅰ)建立公式Y(jié)=f(xi)，即確定輸出量與輸入量之間的數(shù)學(xué)模型和測量不確定度的來源；(Ⅱ)分析確定各輸入量的概率密度函數(shù)g(xi)和蒙特卡洛模擬次數(shù)M；(Ⅲ)通過計(jì)算機(jī)技術(shù)產(chǎn)生M組偽隨機(jī)輸入量，代入評(píng)定方程，得到輸出量的M個(gè)值與分布函數(shù)的離散表示。將輸出量的期望作為測量結(jié)果的估計(jì)值，輸出量的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，結(jié)合包含概率P，確定測量結(jié)果的包含區(qū)間，得出擴(kuò)展不確定度。蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度的流程如圖1所示。

4實(shí)例分析

采用?？怂箍礛H3D-DCC型三坐標(biāo)測量機(jī)對(duì)車載空壓機(jī)上殼體的直徑進(jìn)行測量，并評(píng)定其測量不確定度。試驗(yàn)所用坐標(biāo)測量機(jī)空間長度測量精度MPEE≤(3+4L/1 000) μm，光柵尺的分辨率為0.1 μm。被測工件和機(jī)器光柵尺的熱膨脹系數(shù)以及變化范圍分別為：

αW=23.2×10-6℃-1；△αW=±4×10-6℃-1；

αM=10.5×10-6℃-1；△αM=±2×10-6℃-1。

將工件擺放在工作平面的中央，記錄測量環(huán)境，采取自動(dòng)測量的方法，鎖定Z軸。在同一圓截面上等間距采樣8個(gè)點(diǎn)來評(píng)價(jià)被測圓的直徑。

表1　采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值傳遞因數(shù)

重復(fù)測量10次獲得各采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值，計(jì)算單點(diǎn)坐標(biāo)的不確定度u(xi)、u(yi)，為安全起見，選取其中的最大值作為最終的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)。通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算知u(xi)≈u(yi)≤1.60 μm，則由式(3)計(jì)算可得u(x0)≈u(y0)≤0.57 μm。通過式(8)計(jì)算各傳遞因數(shù)，結(jié)果如表1所示。

根據(jù)式(9)計(jì)算得u(d)=1.10 μm。試驗(yàn)采用自動(dòng)測量，測速較慢，測量力所引起的誤差和動(dòng)態(tài)誤差可忽略不計(jì)。根據(jù)被測工件的標(biāo)稱尺寸計(jì)算知u(δres)=1.89 μm。試驗(yàn)室溫度控制在(20±1) ℃，考慮均勻分布，則δθ=1 ℃，計(jì)算得：

根據(jù)式(7)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

uC(D)=2.20 μm。

GUM法指出當(dāng)輸出量服從或近似服從正態(tài)分布時(shí)：

(Ⅰ)若自由度小，則根據(jù)韋爾奇-薩特思偉特(Welch-Satterthwaite)公式計(jì)算出自由度v，并由t分布表得到包含因子k。

(10)

該法需要計(jì)算出所有不確定度分量的自由度。

(Ⅱ)若自由度大，則當(dāng)包含概率P=95%時(shí)，包含因子k默認(rèn)取2.00;當(dāng)P=99%時(shí)，k默認(rèn)取3.00。在實(shí)際應(yīng)用中，通常無法確定輸出量的分布類型與自由度，但在不確定度報(bào)告中又需要給出擴(kuò)展不確定度，此時(shí)包含因子k根據(jù)包含概率取2.00或3.00，即假設(shè)輸出量服從正態(tài)分布。

若取P=95%，則k=2.00。GUM法獲得測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度為U=k·uC(D)=4.40 μm，包含區(qū)間為(67.064 0，67.073 8)。

4.2MCM評(píng)定結(jié)果

圖2　蒙特卡洛法直徑測量結(jié)果的分布圖

方法D/mmU/μmk包含區(qū)間(P=95%)GUM67.06844.802.00(67.0636,67.0732)GUM67.06843.801.72(67.0646,67.0722)MCM67.06863.501.75(67.0651,67.0721)

4.3評(píng)定結(jié)果對(duì)比

由圖2可以看出：輸出量近似服從梯形分布，與GUM法默認(rèn)的服從正態(tài)分布不符。所以當(dāng)包含概率P=95% 時(shí)，GUM法所采用的包含因子k不可取2.00，此時(shí)由梯形角參數(shù)與包含概率可得：k=1.72。則U=k·uC(D)=3.80 μm，包含區(qū)間為(67.064 6，67.072 2)。基于GUM法與MCM評(píng)定出的CMM直徑測量的擴(kuò)展不確定度，如表2所示。

對(duì)比評(píng)定結(jié)果可知：當(dāng)包含因子k在不考慮輸出量的分布，默認(rèn)取2.00時(shí)的擴(kuò)展不確定度比實(shí)際的擴(kuò)展不確定度擴(kuò)大了26%。

5結(jié)論

(1)MCM略過求解靈敏系數(shù)的過程，避免了GUM法在計(jì)算靈敏系數(shù)時(shí)忽略泰勒級(jí)數(shù)高階項(xiàng)的誤差和繁雜的計(jì)算。

(2)在測量不確定度評(píng)定模型復(fù)雜的情況下，運(yùn)用MCM可有效簡化測量不確定度的評(píng)定流程。

(3)MCM可由輸出量的離散表示得出擴(kuò)展不確定度，避免了GUM法中包含因子k的近似。

綜上所述，當(dāng)CMM測量模型為非線性等復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型或輸入量服從多種分布類型時(shí)，基于蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度更加準(zhǔn)確、便捷。

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中圖分類號(hào)：TB92

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-11-11

作者簡介：徐磊(1993-),男,安徽滁州人,碩士生;陳曉懷(1954-),女,安徽懷寧人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代精度理論與應(yīng)用.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275148)

文章編號(hào)：1672-6871(2016)03-0015-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.004