吳岱芩,黃文韜，2 ,吳燕蘭

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004；2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 賀州 542800)

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一類四次Kolmogorov系統(tǒng)的極限環(huán)分支

吳岱芩1,黃文韜1，2,吳燕蘭1

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004；2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 賀州 542800)

摘要：研究了一類四次Kolmogorov系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)(1,1)處的極限環(huán)分支問題。運(yùn)用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica計(jì)算其伴隨復(fù)系統(tǒng)的前5個(gè)奇點(diǎn)量，并給出正平衡點(diǎn)(1,1)成為五階細(xì)焦點(diǎn)的條件，再利用雅克比行列式方法證明正平衡點(diǎn)(1,1)處可分支5個(gè)小振幅極限環(huán)。

關(guān)鍵詞：Kolmogorov系統(tǒng)；正平衡點(diǎn)；極限環(huán)；奇點(diǎn)量

0引言

Kolmogorov系統(tǒng)被廣泛運(yùn)用于生態(tài)學(xué)，用來描述兩種群之間相互作用的關(guān)系。對該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為特別是極限環(huán)問題的研究越來越引起數(shù)學(xué)和生態(tài)學(xué)工作者的興趣。文獻(xiàn)[1]研究了一類三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到三次Kolmogorov系統(tǒng)可分支出4個(gè)極限環(huán)的結(jié)論。文獻(xiàn)[2]發(fā)現(xiàn)了一類三次Kolmogorov系統(tǒng)從1個(gè)正平衡點(diǎn)可分支出3個(gè)極限環(huán)。文獻(xiàn)[3]也研究了一類三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到6個(gè)極限環(huán)。文獻(xiàn)[4]研究了三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到5個(gè)極限環(huán)。文獻(xiàn)[5]研究了一類具有2個(gè)正平衡點(diǎn)的三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到可分支出6個(gè)極限環(huán)的結(jié)論。文獻(xiàn)[6]把研究Kolmogorov系統(tǒng)極限環(huán)問題推廣至三維系統(tǒng)。而四次Kolmogorov系統(tǒng)的小振幅極限環(huán)分支問題，因其偶數(shù)次系統(tǒng)在計(jì)算上的困難性，僅有文獻(xiàn)[7]討論了一類四次Kolmogorov系統(tǒng)3個(gè)正平衡點(diǎn)極限環(huán)問題。本文在文獻(xiàn)[1-10]的基礎(chǔ)上，研究如下四次Kolmogorov系統(tǒng)：

(1)

1基礎(chǔ)知識

考慮一類多項(xiàng)式實(shí)系統(tǒng):

(2)

其中：Xk(x,y),Yk(x,y)是關(guān)于x,y的k次齊次多項(xiàng)式。當(dāng)δ=0時(shí)，系統(tǒng)(2)通過變換

(3)

化為復(fù)系統(tǒng)：

(4)

其中：

(5)

z,w,T,aα,β,bα,β均為復(fù)變量。

引理1對系統(tǒng)(4)，可逐項(xiàng)確定形式級數(shù):

(6)

使得

(7)

其中：當(dāng)α=β=0時(shí)，即cαβ=c00，取c00=1；當(dāng)α<0，或β<0，或α=β>0時(shí)，置cαβ=0，其他情形cαβ由遞推公式

(8)

確定。對任意正整數(shù)m,μm由遞推公式

(9)

確定。其中：μm為系統(tǒng)(4)的第m個(gè)奇點(diǎn)量[12]。

又由系統(tǒng)(2)的首個(gè)非零焦點(diǎn)量v2m+1(2π)與其伴隨復(fù)系統(tǒng)的首個(gè)非零奇點(diǎn)量μm滿足[13]：

v2m+1(2π)=iπμm，

(10)

因此，系統(tǒng)(2)焦點(diǎn)量的計(jì)算可以化為系統(tǒng)(4)奇點(diǎn)量的計(jì)算。

2伴隨復(fù)系統(tǒng)的奇點(diǎn)量

系統(tǒng)(1)有正平衡點(diǎn)(1,1)，要討論該點(diǎn)處極限環(huán)分支問題，作變換u=x-1,v=y-1，系統(tǒng)(1)化為如下系統(tǒng)：

(11)

如此，可研究系統(tǒng)(11)的焦點(diǎn)量與極限環(huán)分支情況。如果直接計(jì)算系統(tǒng)(11)的焦點(diǎn)量，比較復(fù)雜，可將實(shí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的伴隨復(fù)系統(tǒng)，用與焦點(diǎn)量等價(jià)的奇點(diǎn)量進(jìn)行計(jì)算。作變換(3),系統(tǒng)(11)化為以下系統(tǒng)：

(12)

系統(tǒng)(12)稱為系統(tǒng)(11)的伴隨系統(tǒng)，其中：

a20=18((1-i)-2iA15+2iA16-2B15+2B16); a11=14((-1-i)-2iA15-2iA16+2B15+2B16);

運(yùn)用式(8)和式(9)，用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica進(jìn)行計(jì)算和化簡可得下面的定理。

定理1復(fù)系統(tǒng)(12)原點(diǎn)的前5個(gè)奇點(diǎn)量如下：

μ1=i4(-3A15-3B15-2A16B15+2A15B16); μ2=i24(A16+B16)F2

20B162r +20 A16B162r-66r2-46A16r2+4A162r2+46B16r2-32A16B16r2-

24A162B16r2+4B162r2+24A16B162r2-684r3-636A16r3-144A162r3+636B16r3+

496A16B16r3+80A162B16r3-144B162r3-80A16B162r3-648r4-648A16r4-

144A162r4+648B16r4+576A16B16r4+96A162B16r4-144B162r4-96A16B162r4；

上述表達(dá)式在計(jì)算μk時(shí)，已置μ1=μ2=…=μk-1=0,k=2,3,4,5。其中,F3、F4和F5也為A16、B16和r的表達(dá)式，其式較復(fù)雜，故在此省略。

由定理1可得下面的定理。

結(jié)果顯示，患者的門診自付費(fèi)用受到就醫(yī)醫(yī)療機(jī)構(gòu)層次的顯著正向影響(P<0.05)；對患者的住院自付費(fèi)用產(chǎn)生顯著正向影響的是：醫(yī)療機(jī)構(gòu)的層次和住院天數(shù)。值得注意的是，中低收入水平的患者其年次均住院自付費(fèi)用低于低收入組，分析住院服務(wù)利用時(shí)發(fā)現(xiàn)，低收入組對住院服務(wù)的實(shí)際利用大于中低收入組。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，低收入組患者因住院而借錢的比率為6%，中低收入組的比率為2%，中高收入組和高收入組分別為1.6%和0.6%，由此可見，低收入組患者通過負(fù)債(主要是向親戚借錢)的籌資手段實(shí)現(xiàn)了更多的住院醫(yī)療服務(wù)需要。

定理2系統(tǒng)(12)原點(diǎn)的前五階奇點(diǎn)量均為0，當(dāng)且僅當(dāng)A15=-B15,A16=-B16成立。

證明由定理1不難得到充分性成立，下面證明必要性。

綜上所述：μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=0?A16=-B16,A15=-B15,必要性得證。

3系統(tǒng)的極限環(huán)分支

定理3當(dāng)μ1=μ2=μ3=μ4=0,μ5≠0時(shí)，系統(tǒng)(12)的原點(diǎn)為五階細(xì)奇點(diǎn)(對應(yīng)的系統(tǒng)(11)的正平衡點(diǎn)(1,1)為五階細(xì)焦點(diǎn))的充分必要條件為：

(13)

式(13)是系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)成為五階細(xì)焦點(diǎn)的條件，但這樣形式的條件不便在極限環(huán)的分析中應(yīng)用。下面，給出式(13)的一種具體形式。因?yàn)榉匠探MF2=F3=F4=0的精確符號解過于復(fù)雜，故本文求其近似解。用Mathematica算符NSolve[{F2==0,F3==0,F4==0},{A16,B16,r},50]來求F2=F3=F4=0近似解，得到滿足條件的多組解，取其中一組解為：

A16=-1.59982624221084548812576116452269676067;B16=-0.22655347077919503934714017334958132353;r= 0.95947681422643813797891234970925361665。ì?í????

進(jìn)而可得A15,A16,B15,B16的一組近似解為：

(14)

式(14)即為條件(13)的一種具體表示形式。

考慮到焦點(diǎn)量和奇點(diǎn)量的關(guān)系式(10)及文獻(xiàn)[14]中的定理4.7，可得下面的定理。

定理4 對系統(tǒng)(2)，當(dāng)δ=0時(shí)，伴隨復(fù)系統(tǒng)原點(diǎn)的奇點(diǎn)量μi(i=1,2，…)有k個(gè)線性無關(guān)的參數(shù)θ=(θ1，θ2，…，θk)。當(dāng)θ=θ0時(shí)，系統(tǒng)(3)的原點(diǎn)為n階細(xì)奇點(diǎn)，若雅克比行列式滿足

(15)

則系統(tǒng)(2)原點(diǎn)的充分小領(lǐng)域內(nèi)存在n個(gè)小振幅極限環(huán)。

定理5當(dāng)系數(shù)滿足式(14)時(shí)，系統(tǒng)(11)正平衡點(diǎn)(1,1)為五階細(xì)焦點(diǎn)，通過擾動(dòng)，系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)(1,1)處可分支出5個(gè)小振幅極限環(huán)。

證明由定理4，欲證明系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)鄰域可分支出5個(gè)極限環(huán)，只需證明在式(14)成立條件下，下列雅克比行列式

成立即可，由定理1，經(jīng)計(jì)算得到J≈-5.508 1×102≠0。

故通過擾動(dòng)，系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)(1,1)處可分支出5個(gè)小振幅極限環(huán)。

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中圖分類號：O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-12-25

作者簡介：吳岱芩(1992-),女,四川達(dá)州人,碩士生;黃文韜(1966-),男,廣西永福人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要從事微分方程定性理論方面的研究.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11261013);廣西高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目

文章編號：1672-6871(2016)03-0082-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.018