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利用空間向量證明“平行”與“垂直”

■左婷

用向量法解決立體幾何問(wèn)題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想。本文就利用空間向量證明“平行”與“垂直”這一視角進(jìn)行例析。

一、利用空間向量證明平行問(wèn)題

圖1

圖2

例1如圖1所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)。求證：PB∥平面EFG。

證明:因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，所以AB，AP，AD兩兩垂直。以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)。

規(guī)律方法:(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵。

(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可。這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算。

二、利用空間向量證明垂直問(wèn)題

圖3

例2如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上。已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2。

(1)證明：AP⊥BC；

(2)若M是線段AP上一點(diǎn)，且AM=3。試證明：平面AMC⊥平面BMC。

圖4

規(guī)律方法:(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算。其中靈活建系是解題的關(guān)鍵。

(2)其一，證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直。其二，證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可，當(dāng)然也可證直線的方向向量與平面法向量平行。其三，證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可。

作者單位：江蘇省高郵市第一中學(xué)