王雪，曾建奎，李作進

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誤差理論與數(shù)據(jù)處理課程教學改革探索

王雪，曾建奎，李作進

摘要：《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》是測控專業(yè)的核心課程之一。進行課程內(nèi)容和教學方法的改革探索。課程內(nèi)容方面，進行適當?shù)膭h除、調整和增強，以應對測控專業(yè)的實際需要；在教學方法上，通過精確定位教學難點，提出進行針對性預習、優(yōu)化教學方案和加強課堂練習的具體思路。經(jīng)過我校測控專業(yè)3年連續(xù)的改革探索，本門課的教學效果得到明顯提高。同時，在課程設計和畢業(yè)設計中，本課程理論也得到了更為廣泛和深入的應用。

關鍵詞：測控專業(yè)；誤差理論；應用型本科；教學法

測控技術及儀器專業(yè)是儀器科學與技術和控制科學與技術交叉融合而形成的綜合性學科。盡管不同的院校的測控專業(yè)側重點不同，但關注的都是自動化系統(tǒng)上的信號采集、整理、處理、顯示和控制過程的學科。信號的處理會大量利用《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》的理論，因此該課程是測控專業(yè)重要的專業(yè)平臺課程［1-2］。

《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》的知識點主要涵蓋了科學測量中對測量數(shù)據(jù)的處理方法，達到對測量結果的正確表達，可靠估計和科學預測的效果?！墩`差理論與數(shù)據(jù)處理》的相關理論不僅廣泛地應用到工科各學科的課程設計和畢業(yè)設計中，更直接地應用到傳感器的定標、誤差分析和精密測試等實際的工程應用中。因此，該門課具有重要工程應用特性。

應用型本科的教學不僅重視理論教學，更加注重課程的應用特性。由于《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》課程理論較多，應用較廣泛，在教學中一直存在學生學習困難、實踐動手不足等若干問題?；趹眯捅究平虒W的要求，全面分析了當前教學中面臨的困難，提出了基于教學內(nèi)容和方法的多項改革思路。經(jīng)過多年探索，教學成果初見成效。

一、課程教學的現(xiàn)狀及存在的問題

（一）應用型本科對本門課程的要求

應用型本科院校是當前我國高教改革的一個方向。以技術應用為導向，是介于以科研為主的重點高校和以就業(yè)為導向的職業(yè)院校之間的，其課程分布和要求都與這兩種高校不同［5-7］。

對于《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》這門課而言，應用型本科教學的具體要求為：

需要學生認識測量誤差的含義，了解誤差產(chǎn)生過程，熟悉誤差判別條件，認識誤差消除方法和途徑；

需要學生認識測量不確定的概念和含義，以及測量不確定評價的A/B類方法。學會工程實際中怎么進行不確定的合成與不確定報告的制作；

需要學生掌握組合測量的最小二乘法求解以及線性回歸的原理和應用，主要是一元線性回歸的分析。

從課程的上述要求來看，應用型本科對《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》這門課要求學生具有一定的高等數(shù)學、基礎概率統(tǒng)計和矩陣的知識；具有傳感器、測量等其他相關學科基礎等。

（二）課程教育現(xiàn)狀及存在的問題

本門課為測控專業(yè)的主要專業(yè)基礎課，教學中存在的主要問題有：

課程教學的理論課時偏少。由于本科課程的改革［8］，很多專業(yè)課/專業(yè)平臺課進行了調整。很多院校的《誤差理論和數(shù)據(jù)處理》由原來為48課時，調整為現(xiàn)在的32課時。對于應用型本科而言，有院校甚至調整到24課時。由于課程里面的理論較多、較深，應包含至少2個課帶實驗，這使得理論教學課時嚴重偏少。

學生數(shù)學知識的匱乏和遺忘，使得理論教學較為困難?！墩`差理論與數(shù)據(jù)處理》這門課從開始就涉及到概率及數(shù)理統(tǒng)計的基本內(nèi)容，如概率密度、概率積分和二項式定理和或然定理等；此外，教學中會大量涉及到偏微分和求極值這樣的應用；也涉及到求解逆矩陣等矩陣方面的知識。因此，總的來看數(shù)學要求難度并不高但面寬。很多學生大一學習的高等數(shù)學已經(jīng)遺忘了很多，某些同學也沒有選擇《線性代數(shù)》，使得理論教學困難。

沒有規(guī)范典型的課帶實驗。應用本科中的專業(yè)基礎課都會配以較多的實驗或實踐環(huán)節(jié)，這些實驗是典型和規(guī)范的，無需調整能直接采用。本課程的教材本身沒有提供這樣的實驗實踐內(nèi)容，要靠授課教師自行研究設計。從全國的應用型本科院校來看，特色方向各不相同。因此如何根據(jù)本學校的實際情況設計出與本門課聯(lián)系緊密的實驗也是需要教學中解決的問題。

根據(jù)上述情況，筆者進行了長期的觀察與研究，提出了刪繁就簡、適當補充等教學內(nèi)容的方案；提出了相關的教學法的改進。

二、課程教學內(nèi)容改革

教學內(nèi)容的改革涉及到兩個方面。一方面是對選用的教材進行適當?shù)膭h除和簡化。對于難度系數(shù)較大的，或者涉及內(nèi)容過于偏僻的進行刪除；對于數(shù)學推理復雜的進行簡化；另一方面，還應該適當?shù)亟o學生展開當代技術的窗口，提高學生的興趣，指出應用的前景。

（一）教學內(nèi)容章節(jié)的刪減或簡化

在教材的選用上，一直堅持選用了費業(yè)泰先生的《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》；該教材自1981年出版以來，成為了本門課的經(jīng)典教材。也一直為我?！墩`差理論與數(shù)據(jù)處理》的授課教材。

該教材的主要授課內(nèi)容為靜態(tài)測量的誤差理論和動態(tài)測量的誤差理論。其中第七章為動態(tài)測量理論，主要以隨機過程理論作為支撐。這部分要求學生具有隨機過程的數(shù)學基礎，這對應用型本科同學要求過高。此外，由于測控專業(yè)所涉及到的測試與控制多數(shù)為靜態(tài)信號和穩(wěn)定的周期信號，因此該部分實際價值不大，需進行刪除處理。

教材第6章回歸分析中多元線性回歸和線性遞推回歸等內(nèi)容，由于涉及到數(shù)學理論較為復雜，對矩陣掌握的水平要求高，推理過程也稍顯繁雜，因此對這部分內(nèi)容進行弱化講解。也就是基本思路講明白后，直接使用Matlab里面的工具函數(shù)進行講解，使得學生們明白這個理論的來源及用途。

（二）適當增加非線性回歸理論內(nèi)容

非線性回歸分析理論是當今數(shù)據(jù)挖掘的重要發(fā)展方向。教材中也有一小節(jié)論述非線性回歸，但其內(nèi)容和當代的非線性回歸內(nèi)容相差太遠。目前，基于人工智能算法，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡ANN、支持向量機SVM、邏輯回歸和自適應回歸等都是回歸的重要算法。因此，應該為廣大同學打開一個現(xiàn)代知識的天窗，要讓同學們知道回歸的發(fā)展方向和現(xiàn)代科學技術的魅力。

考慮到非線性回歸在數(shù)學上的難度，講解內(nèi)容的難度應該進行嚴格控制，主要是當前非線性回歸方法的分類，使用的算法依據(jù)以及這種算法的實際效果。

三、課程教學方法改革

教學方法改革是本門課最重要的部分。針對這部分內(nèi)容，我們提出采用問卷調查等方式和同學們進行互動，精確得出教學的難點所在。根據(jù)難點和重點，制定行之有效的教學方案。

（一）精確定位教學難點

《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》的教學難點主要是出現(xiàn)在與數(shù)學相關的一些理論分析和推導上。如果相關的理論沒有講解透徹，學生在應用這個理論時就會沒有根基，以后在工程中也無法進行更深入的分析。

在本研究中，我們采用了打分排序的方法，對本教程中出現(xiàn)的知識點進行統(tǒng)計分析。以費業(yè)泰編著的《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》第6版本為例，理論難度較高的部分如表1所示。表中的難度，以重慶科技學院測控專業(yè)2010級到2012級3級同學學習完了本門課后的問卷調查的得分來說明，如表1。

表1　知識點難度分值說明

對連續(xù)3級同學進行問卷調查，得到如表2的知識點難度得分統(tǒng)計表。

表2　知識點難度得分統(tǒng)計表

上述統(tǒng)計和我們對教程的分析是一致的。本門課的前面3章的誤差理論中，沒有太多難度的內(nèi)容；第4章測量不確定，盡管學生稍微難以理解，但涉及的數(shù)學公式不多。第5、6章，涉及了大量高等數(shù)學以及矩陣論的知識，由于距離學習數(shù)學的時間較遠，學生們難以在課堂上吸收。

（二）根據(jù)教學難點和重點優(yōu)化教學方案

本課程的教學難點和重點，仍然是對相關理論的實用化講解。由此筆者采取的方法如圖1所示。

圖1　教學難點和重點的教案設計

首先根據(jù)理論中可能涉及到的高數(shù)、概率或矩陣的相關知識，提前要求學生針對性的預習；對原理進行簡潔的講解，個別地方進行重點論述，要求簡潔但必須嚴謹；以Matlab為工具講解一道例題，讓學生明白工具軟件的解題思路；同時手工板書演算例題，和學生們互動，充分讓學生參與解題的過程，做到隨時提問、設問和回答，強化課堂練習。

比如第五章的第一和第二小節(jié)，線性參數(shù)的最小二乘處理中的最小二乘法原理和正規(guī)方程部分。給出的需要預習的部分為：（1）了解最大或然定理的背景和含義；（2）多元函數(shù)求極值和最值的方法和過程。

在教學過程中，講解思路如下：首先講授測量方程、誤差方程的建立；殘余誤差平方和條件、通過極值求得正規(guī)方程的方法；正規(guī)方程的矩陣表達方式；最后給出矩陣解；以一個三待估計參數(shù)的線性測量方程為例，采用Matlab進入矩陣的輸入、求轉置、求解逆矩陣，最后得到待估計值的精度分析；最后給出m文件，讓學生明白可以通過一個函數(shù)就能得到最終解；同時，手算1、2個待估參數(shù)的線性測量。最后布置一個課堂練習，也是兩個待估參數(shù)的測量，難度不大當可以加深印象，明白解題的思路。

通過上述方法講授，學生理解本門課較難的知識點變得相對更加容易一些。對于那些得分在3分以下的知識點，教學上只要把握重點突出，配合例題講述就可以了。

（三）實驗環(huán)節(jié)的設計

考慮到本門課的工程實踐性，設計的實驗由驗證性實驗、開發(fā)性實驗、參觀和大作業(yè)構成。

實驗1：測量數(shù)據(jù)的綜合處理。事先給出一群測量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的誤差分布可能是高斯分布、均布分布等，要求學生進行綜合處理。

每個學生的數(shù)據(jù)和分布都不同。這將促使學生自己通過判斷處理。而該實驗的基本要求是誤差的分布情況，剔除粗大誤差、測量標準差、平均值的標準差，根據(jù)誤差分布，得到極限誤差。所有這些運算要求通過Matlab來實現(xiàn)。

實驗2：誤差的合成。根據(jù)我校石油冶金專業(yè)的特點，有大量該行業(yè)的儀表傳感器可以進行測量誤差合成研究。如以光學測長機為例，可以根據(jù)多次重復性誤差、讀數(shù)誤差、阿貝誤差和瞄準誤差等進行合成。學生學會自行查閱相關誤差并按照性質不同進行合成。

實驗3：組合測量的線性參數(shù)最小二乘處理。本實驗通過對3～4個電阻分別進行不同方案的線性組合測量，根據(jù)測量結果得到電阻的最小二乘結果及精度分析。

實驗4：基于傳感器靈敏度測量的綜合實驗分析。這個實驗為綜合設計型實驗，主要的實驗內(nèi)容是：針對某個傳感器，選擇測量電路，得到物理量與電量的關系，進行測量，進行一元線性回歸，多次實驗后進行回歸方差分析，最終得到傳感器靈敏度的表達式。

大作業(yè)：組織學生去重慶計量質量檢測研究院，實地參觀和學習按照國家計量技術規(guī)范（JJF 1059.1-2012/ISO10012-2013）所描述的內(nèi)容進行計量工具的定標處理過程，采用大作業(yè)的形式，完成一個實際對象的測量不確定報告。

設計的4個實驗可以根據(jù)條件進行有選擇的教學使用。大作業(yè)可以根據(jù)具體情況課外進行。

四、改革效果分析

通過對重慶科技學院2010級到2012級3屆測控專業(yè)的《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》課程的教改研究，我們認為取得了較好的教學效果。

通過對教學內(nèi)容的刪除或簡化，使得同學們在學習過程中負擔減輕，且結合自己的專業(yè)，對理論掌握得更好，同時對整個課程理論框架有了更為明確清晰的認識。增加的非線性回歸方面，給學生展開了現(xiàn)代知識的天窗，供有能力的同學為增強自己的實力給出一個路徑。通過多次的信息反饋，這個教學內(nèi)容與教學課時量匹配較好。

重點和難點更加容易掌握。通過教學方案的優(yōu)化，對系統(tǒng)誤差和隨機誤差的發(fā)現(xiàn)與剔除理論、最小二乘解和一元線性回歸的顯著性分析等理論掌握較好，能進行實際應用。

實踐環(huán)節(jié)取得較好的效果。通過設計的實驗和大作業(yè)，充分體會到了本門課的工程實用價值。尤其是大作業(yè)，使學生們親眼看到了本課程涉及的不確定報告在實際工程中的應用。除了實驗，同學們將本門課的內(nèi)容應用到了畢業(yè)設計中，使得設計中實驗數(shù)據(jù)的處理更加科學化。有些同學還直接將對誤差理論進行深入研究作為畢業(yè)課題。

除了取得上述的教學改革成果，目前還有很多問題需要進一步的研究：

（1）教學內(nèi)容上還需要進一步優(yōu)化，增加工程案例，每種理論盡量以工程實際案例來說明應用，增強應用型本科的教學特點。

（2）教學方法上鼓勵學生提高數(shù)學能力，盡量采用工具軟件Matlab等工具軟件進行輔助教學和作業(yè)完成。

（3）多搞一些專題講座，將本門課的實用化內(nèi)容向其他專業(yè)同學推廣，提高他們的實驗和設計水平。

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（編輯：張齊）

收稿日期：2015-10-29

作者簡介：王雪（1971-），男，博士，重慶科技學院（重慶401331）電氣與信息工程學院副教授；曾建奎（1978-），男，博士，重慶科技學院電氣與信息工程學院講師；李作進（1977-），男，博士，重慶科技學院電氣與信息工程學院副教授。

中圖分類號：G642.477

文獻標識碼：A

文章編號：1673-1999（2016）03-0128-04