樊振宏　何姿　陳如山

(南京理工大學(xué)通信工程系,南京 210094)

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介質(zhì)散射的雙線性高階疊層基函數(shù)矩量法分析

樊振宏何姿陳如山

(南京理工大學(xué)通信工程系,南京 210094)

摘要提出了一種基于雙線性思想的高階基函數(shù)降低矩量法分析介質(zhì)目標(biāo)電磁散射問(wèn)題時(shí)的未知量.論文給出了雙線性高階疊層基函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程,并將其應(yīng)用于介質(zhì)的面積分方程分析中. 數(shù)值算例比較了不同階數(shù)時(shí)所需未知量以及計(jì)算精度,表明該高階疊層基函數(shù)在滿足相同積分方程的計(jì)算精度時(shí)能比低階基函數(shù)節(jié)省未知量.

關(guān)鍵詞電磁散射;高階基函數(shù);矩量法

DOI10.13443/j.cjors.2015040301

MoM analysis on the electromagnetic scattering of dielectric object by using high order bilinear basis function

FAN ZhenhongHE ZiCHEN Rushan

(DepartmentofCommunicationEngineering,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

Abstract High order hierarchical bilinear basis function is proposed to reduce the number of unknowns for the method of moments(MoM) analysis on the electromagnetic scattering of dielectric objects. It combines higher-order vector basis function with bilinear basis function, and is employed to solve the Poggio-Miller-Chang-Harrington-Wu-Tsai (PMCHWT) equation. The number of unknowns and the accuracy are compared between the new basis functions with different orders. Numerical examples show that the proposed method requires relatively less unknowns than the conventional method, and can obtain the same precision.

Keywords electromagnetic scattering; higher order basis function; method of moments

引言

近年來(lái),由于隱身技術(shù)以及電磁防護(hù)的需要,非導(dǎo)體材料在工程中得到大量應(yīng)用,介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射特性分析受到越來(lái)越多的重視. 對(duì)于介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射分析,目前主要是利用矩量法分析介質(zhì)表面Poggio-Miller-Chang-Harrington-Wu-Tsai (PM-CHWT)方程. 傳統(tǒng)的矩量法使用定義在子區(qū)域的低階線性基函數(shù)來(lái)逼近待求的表面電流密度和磁流密度,比如平面Rao-Wilton-Glisson (RWG)基函數(shù)[1]．在分析電大尺寸目標(biāo)電磁散射特性時(shí),需要的基函數(shù)個(gè)數(shù)比較多,消耗較多的計(jì)算機(jī)資源. 高階基函數(shù)技術(shù)可以緩解這一困難,近年來(lái)得到大量研究. 高階基函數(shù)技術(shù)主要分為兩類(lèi):插值型高階基函數(shù)與疊層型高階基函數(shù)[2-4]．前者每一個(gè)組成基函數(shù)的階次都一樣高,而對(duì)于后者,任意的第M階基函數(shù)都是第M+l階基函數(shù)的子集,它是通過(guò)低階和高階的混合來(lái)構(gòu)造出與插值型高階基函數(shù)同樣空間模擬能力的基函數(shù). 后者由于具有疊層性在分析中有更多的靈活性. 現(xiàn)階段采用的高階基函數(shù),通常對(duì)于一個(gè)M階的基函數(shù)系統(tǒng),基函數(shù)法向分量的階數(shù)為M階,切向分量為M-1階. 比如RWG基函數(shù),它屬于法向線性/切向常量(Linear Norm/Constant Tangential, LN/CT)基函數(shù),即法向分量為1階,切向分量為0階,所以有些文獻(xiàn)將它稱為0.5階基函數(shù)[2]. 文獻(xiàn)[5-6]提出了一種平面剖分的法向線性/切向線性(Linear Norm/Linear Tangential, LN/LT)基函數(shù),稱為L(zhǎng)L基函數(shù),本文又稱之為雙線性基函數(shù). LL基函數(shù)在所定義的棱邊上切向分量與法向分量對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式階數(shù)一樣高,均為1階.它比RWG基函數(shù)的優(yōu)勢(shì)在于其對(duì)復(fù)雜函數(shù)的逼近能力更強(qiáng),三角形剖分形狀對(duì)其分析精度影響小.文獻(xiàn)[6]發(fā)現(xiàn)LL基函數(shù)能高精度分析磁場(chǎng)積分方程. 本論文將這一思想推廣到高階情況,即對(duì)于一個(gè)M階的疊層基函數(shù)系統(tǒng),所構(gòu)造的基函數(shù)的法向分量和切向分量的最高階數(shù)均為M階. 下面將介紹這一基函數(shù)的構(gòu)造及其在PMCHWT積分方程中的應(yīng)用. 給出的數(shù)值算例表明采用雙線性思想的高階疊層基函數(shù)能夠在滿足相同計(jì)算精度的同時(shí)減少未知量.

1PMCHWT積分方程

根據(jù)均勻介質(zhì)目標(biāo)內(nèi)外表面的散射場(chǎng)、總場(chǎng)及入射場(chǎng)的關(guān)系,可建立PMCHWT方程:

[L1(J)+K1(M)]-[L2(-J)+K2(-M)]|tan

=Einc(r)|tan,

(1)

[P1(J)+Q1(M)]-[P2(-J)+Q2(-M)]|tan

=Hinc(r)|tan.

(2)

式中: Einc,Hinc表示入射波的電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度； J和M表示介質(zhì)表面等效電、磁流； 下標(biāo)tan表示取切向分量； 下標(biāo)1和2表示介質(zhì)外空間和介質(zhì)內(nèi)區(qū)域； 算子L,K,P,Q的表達(dá)式如下：

Lm(X)=jωμm∫T′Gm·XdS′-

Km(X)=∫T′Gm×XdS′，

Pm(X)=-∫T′Gm×XdS′，

Qm(X)=jωεm∫T′Gm·XdS′-

Gm為對(duì)應(yīng)區(qū)域空間格林函數(shù),

(3)

εm、μm和km分別表示對(duì)應(yīng)區(qū)域空間介質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和波數(shù),ω表示入射電磁波的角頻率，R=|r-r′|表示觀察點(diǎn)r與源點(diǎn)r′之間的距離.

2雙線性高階疊層基函數(shù)

選取曲面三角形對(duì)目標(biāo)表面進(jìn)行幾何建模[7],為了方便計(jì)算,將之轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)空間坐標(biāo)系中,如圖1所示. 圖1中左邊圖形表示實(shí)際空間坐標(biāo)系下的曲面三角形,數(shù)字1、2、3表示曲面三角形的3個(gè)頂點(diǎn),4、5、6表示三條曲線邊的中點(diǎn), ri(i=1, 2, …, 6)分別表示它們的坐標(biāo). 右邊圖形表示對(duì)應(yīng)的參數(shù)空間坐標(biāo)系三角形,ξ1,ξ2為參數(shù)空間坐標(biāo)系中的兩個(gè)參量,ξ3=1-ξ1-ξ2. 空間中的任意一點(diǎn)r可用參數(shù)坐標(biāo)表達(dá)為

(4)

式中φi(ξ1,ξ2)是形函數(shù),其表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[7].

圖1　曲面三角形及其投影的參數(shù)空間

在觀察曲三角形單元內(nèi),第1,2類(lèi)1階曲面雙線性基函數(shù)的表達(dá)式如下:

(5)

(6)

J為轉(zhuǎn)換過(guò)程的雅可比因子(Jacobian),表達(dá)式為

(7)

表1三角形單元上基于棱邊的和面的3階多項(xiàng)式

基于棱邊的多項(xiàng)式基于面的多項(xiàng)式E1β=3P1(ξβ+1-ξβ+2)F0,1β=23ξβE2β=5P2(ξβ+1-ξβ+2)F0,2β=23ξβ(5ξβ-3)F1,1β=65ξβ(ξβ+1-ξβ+2)E3β=7P3(ξβ+1-ξβ+2)F0,3β=230ξβ(7ξ2β-8ξβ+2)F1,2β=230(7ξ2β-3ξβ)(ξβ+1-ξβ+2)F2,1β=2210ξβ(ξ2β+1-4ξβ+1ξβ+2+ξ2β+2)

(8)

矩量法分析時(shí)首先將介質(zhì)表面等效電磁流J和M用基于雙線性思想的高階基函數(shù)展開(kāi)為:

(9)

(10)

(11)

計(jì)算式(11)中矩陣元素需要知道基函數(shù)的面散度,可參考文獻(xiàn)[7]中的計(jì)算方式. 求解式(13)得出等效電磁流之后,可經(jīng)過(guò)后處理計(jì)算出遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)Esc,得到雷達(dá)散射截面(Radar Cross-Section, RCS):

(12)

3數(shù)值算例

算例1是一個(gè)半徑為1.0m的介質(zhì)球,介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為2.0,平面波的入射角度為θi=0°, φi=0°,頻率為300MHz. 觀察φ=0°平面隨θ變化的雙站RCS[10](VV極化). 在介質(zhì)面上建立PMCHWT方程. 圖2給出了不同階數(shù)時(shí)基于雙線性思想的高階基函數(shù)的PMCHWT方法和Mie級(jí)數(shù)解析解[11]的RCS計(jì)算結(jié)果對(duì)比,可以看出,不同階數(shù)時(shí)基于雙線性思想的高階基函數(shù)的PMCHWT方法的結(jié)果是吻合的. 表2則給出了各個(gè)階數(shù)的基函數(shù)下剖分尺寸和未知量數(shù),可以看出,階數(shù)高的時(shí)候可采用大的剖分尺寸,減少未知量,同時(shí)滿足積分方程精度.驗(yàn)證了基于雙線性思想的高階基函數(shù)方程的正確性.

圖2　算例1雙站RCS計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表2算例1各階數(shù)下方程計(jì)算時(shí)的剖分尺寸和未知量

階數(shù)剖分尺寸/m未知量10.1770420.25400030.37394840.454464

圖3　算例2雙站RCS計(jì)算結(jié)果對(duì)比

算例2是介質(zhì)的圓臺(tái),圓臺(tái)的上下底面半徑分別為0.5m和1.0m,高1.0m,介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為2.0,均勻平面波的入射角度為θi=0°, φi=0°,頻率為300MHz,觀察φ=0°平面隨著θ角變化的雙站RCS(VV極化). 在介質(zhì)面上建立PMCHWT方程,將計(jì)算結(jié)果與FEKO○R矩量法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比,如圖3所示,可以看出,不同階數(shù)的方程結(jié)果是吻合的. 表3給出了各個(gè)階數(shù)下方程的剖分尺寸和未知量數(shù),可以看出,基于雙線性思想的高階基函數(shù)在階數(shù)高的時(shí)候可以采用大的剖分尺寸,減少未知量,依然滿足積分方程精度.

表3　算例2各階數(shù)下方程計(jì)算時(shí)的剖分尺寸和未知量

4結(jié)論

本文提出了一種基于雙線性思想的高階基函數(shù)分析介質(zhì)目標(biāo)電磁散射問(wèn)題,比較了不同階數(shù)時(shí)所需未知量以及計(jì)算精度.數(shù)值算例表明該方法在高階基函數(shù)時(shí)能節(jié)省未知量而依然滿足積分方程的計(jì)算精度.

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樊振宏 (1978-),男,江蘇人,南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院副教授， 博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué)及天線分析與設(shè)計(jì).

何姿(1988-),女,河北人,南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院博士研究生,研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué)、電磁散射與目標(biāo)特性等.

陳如山(1965-),男,江蘇人,南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究領(lǐng)域包括微波毫米波集成電路與系統(tǒng)、電磁脈沖與瞬態(tài)電磁場(chǎng)、雷達(dá)與電磁兼容技術(shù)、計(jì)算電磁學(xué).

作者簡(jiǎn)介

中圖分類(lèi)號(hào)O441

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1005-0388(2016)01-0106-05

收稿日期：2015-04-03

樊振宏, 何姿, 陳如山. 介質(zhì)散射的雙線性高階疊層基函數(shù)矩量法分析[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2016,31(1):106-109+128. DOI: 10.13443/j.cjors.2015040301

FAN Z H, HE Z, CHEN R S. MoM analysis on the electromagnetic scattering of dielectric object by using high order bilinear basis function[J]. Chinese journal of radio science,2016,31(1):106-109+128. (in Chinese). DOI:10.13443/j.cjors.2015040301

資助項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金(61431006，61371037)； 南京理工大學(xué)自主科研專(zhuān)項(xiàng)計(jì)劃(30920140121004)

聯(lián)系人： 樊振宏 E-mail: zhfan@njust.edu.cn