郭付陽(yáng)　張子敬　楊林森

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

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線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)/頻差估計(jì)算法

郭付陽(yáng)張子敬楊林森

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

摘要提出了一種新的快速估計(jì)線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)/頻差的算法．該算法將抽取的自模糊函數(shù)與Radon變換結(jié)合估計(jì)線性調(diào)頻信號(hào)的調(diào)頻率,通過(guò)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換估計(jì)出模糊函數(shù)脊線與頻率軸交點(diǎn)位置,應(yīng)用解調(diào)頻沿脊線搜索模糊函數(shù)峰值．對(duì)于接收信號(hào)中存在多分量的情況,根據(jù)其模糊函數(shù)脊線位置的不同,該算法能夠分辨各分量信號(hào),并分別精確估計(jì)出各分量的時(shí)/頻差．由于只需一維搜索模糊函數(shù)峰值,并可用快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn),該算法大大減少了運(yùn)算量．仿真實(shí)驗(yàn)表明,隨著信噪比的提高,該算法估計(jì)的時(shí)/頻差均方誤差逐漸逼近克拉美-羅下界.

關(guān)鍵詞分?jǐn)?shù)階傅里葉變換;抽取的模糊函數(shù);時(shí)/頻差估計(jì);解調(diào)頻;線性調(diào)頻信號(hào)

DOI 10.13443/j.cjors.2015031501

TDOA/FDOA estimation algorithm for linear frequency modulated signals

GUO FuyangZHANG ZijingYANG Linsen

(NationalLabofRadarSignalProcessingXidianUniversity,Xi’an710071,China)

Abstract A novel efficient algorithm for time difference of arrival (TDOA) and frequency difference of arrival (FDOA) estimation between two linear frequency modulated (LFM) signals is proposed in this paper. The proposed approach combines decimated ambiguity function and Radon transform to estimate the chirp rate of the LFM signal; then fractional Fourier transform (FrFT) is used to estimate the point of intersection between the ridge and Doppler axis; finally the peak of ambiguity function is searched efficiently along the ridge by using of dechirping. For the multi-component LFM signal, since different LFM signals have different ridges, the proposed approach can successfully distinguish each LFM signal from the received signal, and both the TDOA and FDOA of each LFM signal can be estimated precisely. Due to fast Fourier transform-based processing and the use of only one-dimensional searches, the proposed approach is computationally efficient. Simulation results show that with the increase of signal noise ratio (SNR), the variances of the estimates are gradually close to the Cramer-Rao lower bound.

Keywordsfractional Fourier transform (FrFT); decimated ambiguity function; TDOA/FDOA estimation; dechirping; LFM signal

引言

兩路信號(hào)間的時(shí)延差和多普勒頻差的估計(jì)是信號(hào)處理的基本問(wèn)題之一,在目標(biāo)定位和跟蹤等領(lǐng)域有重要應(yīng)用[1-4].線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulated,LFM)信號(hào)是雷達(dá)中常見(jiàn)的發(fā)射信號(hào)[5-7],研究LFM信號(hào)的時(shí)/頻差快速精確估計(jì)對(duì)雷達(dá)輻射源的精確定位有著重要意義.

常用的時(shí)/頻差估計(jì)方法主要基于模糊函數(shù)[8-10].模糊函數(shù)的峰值位置對(duì)應(yīng)真實(shí)的時(shí)/頻差,然而二維搜索模糊函數(shù)的峰值,需要巨大的運(yùn)算量,難以滿(mǎn)足實(shí)時(shí)處理的要求.為此,Stein在文獻(xiàn)[8]中提出了先粗估計(jì)再精估計(jì)的算法,并給出了連續(xù)信號(hào)時(shí)/頻差估計(jì)的克拉美-羅界.根據(jù)現(xiàn)實(shí)中多普勒頻率遠(yuǎn)小于采樣頻率這一信息,文獻(xiàn)[9]采用濾波抽取的方法將模糊函數(shù)計(jì)算區(qū)域限定在感興趣的區(qū)域,避免了計(jì)算完整的模糊函數(shù).根據(jù)LFM信號(hào)模糊函數(shù)存在一條過(guò)峰值的脊線的特點(diǎn),Sharif在文獻(xiàn)[10]中提出了沿著模糊函數(shù)脊線方向搜索峰值的算法,但是其對(duì)調(diào)頻率的估計(jì)需要計(jì)算完整的模糊函數(shù),并且其在沿脊線搜索的過(guò)程中采用逐點(diǎn)搜索,運(yùn)算量較大.文獻(xiàn)[11]提出了抽取的模糊函數(shù),并給出了基于二維快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)的快速算法,它保留了模糊函數(shù)的輪廓,但不能保證模糊函數(shù)真實(shí)峰值在抽取后的點(diǎn)陣上,因而不能有效估計(jì)時(shí)/頻差.

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FrFT)作為傅里葉變換的推廣,處理LFM信號(hào)具有天然的優(yōu)勢(shì),目前廣泛應(yīng)用于LFM信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)[12-15].一個(gè)LFM信號(hào)在適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)階傅里葉變換域上為一個(gè)沖擊函數(shù),表現(xiàn)為L(zhǎng)FM信號(hào)在該階上的能量聚集性．由于信號(hào)的時(shí)延和頻移會(huì)引起其分?jǐn)?shù)域上幅度譜的平移,文獻(xiàn)[16]通過(guò)在不同分?jǐn)?shù)域上模相關(guān),提出了一種基于FrFT的時(shí)/頻差聯(lián)合估計(jì)算法．然而,該算法由于采用模相關(guān),在低信噪比下,當(dāng)變換階次非最優(yōu)階時(shí),估計(jì)效果不佳．

為了實(shí)現(xiàn)時(shí)/頻差的快速精確估計(jì),本文提出了一種沿脊線快速搜索峰值的算法．首先,聯(lián)合Radon變換和抽取的模糊函數(shù)快速估計(jì)調(diào)頻率,并且利用FrFT精確估計(jì)出模糊函數(shù)脊線與頻率軸交點(diǎn)．在沿脊線搜索峰值時(shí),應(yīng)用解調(diào)頻將逐點(diǎn)搜索轉(zhuǎn)化為一次相關(guān),由相關(guān)峰的位置估計(jì)出時(shí)/頻差．該方法能快速實(shí)現(xiàn)模糊函數(shù)的一維峰值搜索過(guò)程,并能精確分辨出多分量LFM信號(hào)．

1信號(hào)模型

假設(shè)y1(t)為第一路接收信號(hào),由單分量LFM信號(hào)s(t)和噪聲ω1(t)構(gòu)成,y2(t)為第二路接收信號(hào),包含了R個(gè)分量信號(hào)和噪聲ω2(t)為

(1)

式中:

(2)

2抽取的模糊函數(shù)與FrFT

2.1抽取的模糊函數(shù)

信號(hào)f(t)和g(t)的模糊函數(shù)(AmbiguityFunction,AF)[8]定義為

(3)

當(dāng)f(t)=g(t)時(shí),稱(chēng)χfg(τ,v)為自模糊函數(shù)．

信號(hào)f(t)和g(t)抽取的模糊函數(shù)(DecimatedAmbiguityFunction,DAF)[11]為兩信號(hào)模糊函數(shù)時(shí)間和頻率經(jīng)D倍抽取后的值:

DAFfg(ξ,η)=χfg(ξD,ηD),

(4)

ξ和η分別為時(shí)間和頻率D倍抽取后的變量．圖1仿真了LFM信號(hào)的模糊函數(shù)及抽取的模糊函數(shù),由仿真圖可以看出,LFM信號(hào)抽取的模糊函數(shù)基本保留了完整模糊函數(shù)脊線的位置信息．

(a) 模糊函數(shù)

(b) 32倍抽取的模糊函數(shù)圖1　LFM信號(hào)模糊函數(shù)和抽取的模糊函數(shù)

2.2分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

定義信號(hào)x(t)在α角度上的FrFT[17]為

(5)

式中,Kα(t,u)為核函數(shù),

Kα(t,u)=

(6)

對(duì)于一個(gè)有限時(shí)長(zhǎng)的線性調(diào)頻信號(hào),其維格納-威利分布(Wigner-VilleDistribution,WVD)在時(shí)頻圖上呈現(xiàn)為斜刀刃型的分布,如圖2所示．當(dāng)角度α垂直于LFM信號(hào)時(shí)頻圖的脊線,即α=-arccotm時(shí),信號(hào)在該分?jǐn)?shù)域上投影出一個(gè)峰值,稱(chēng)該角度α為最優(yōu)的角度，記為αopt,對(duì)應(yīng)的階數(shù)稱(chēng)為最優(yōu)階，記為popt．對(duì)于式(1)中的y1(t),其初始頻率為κ,在最優(yōu)階popt上的峰值位置記為u0,由圖2中幾何關(guān)系可知:

(7)

對(duì)于y2(t),各分量的初始頻率f0k分別為

f0k=κ+Δfdk-mΔtdk,

(8)

與式(7)類(lèi)似,同樣可得

(9)

圖2　FrFT與WVD投影關(guān)系示意圖

3LFM信號(hào)快速時(shí)/頻差估計(jì)

3.1聯(lián)合抽取的模糊函數(shù)與Radon變換估計(jì)調(diào)頻率

Radon-Ambiguity變換(Radon-Ambiguity Tra-

nsform,RAT)[18]常用于LFM信號(hào)的檢測(cè)和估計(jì),其定義為

(10)

3.2利用FrFT估計(jì)模糊函數(shù)脊線與頻率軸交點(diǎn)

第k個(gè)分量y2,k(t)與y1(t)的互模糊函數(shù)脊線為過(guò)峰值點(diǎn)(Δtdk,Δfdk),斜率為m的直線,脊線交頻率軸于(0,Δfdk-mΔtdk)點(diǎn)．聯(lián)立2.2節(jié)中式(7)、(8)和(9),可得

(11)

根據(jù)式(11),由兩路信號(hào)在最優(yōu)階上峰值的位置差u0k-u0即可求解出互模糊函數(shù)脊線與頻率軸交點(diǎn)坐標(biāo)．

3.3利用解調(diào)頻沿脊線一維搜索模糊函數(shù)峰值

(12)

(13)

將解調(diào)頻后的信號(hào)代入式(3),有

(14)

可見(jiàn),新的模糊函數(shù)的脊線方程為

v=Δfdk-m′Δtdk+(m-m′)(τ-Δtdk),

(15)

圖3　解調(diào)頻對(duì)LFM信號(hào)模糊函數(shù)脊線的影響示意圖

3.4多分量信號(hào)分辨性能分析

多分量信號(hào)間的干擾會(huì)降低參數(shù)估計(jì)的性能．為了抑制多分量的影響,在估計(jì)第k個(gè)分量信號(hào)的時(shí)/頻差時(shí),可對(duì)其他分量的最優(yōu)階FrFT進(jìn)行峰值遮隔處理[13],實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域?yàn)V波,再將濾波后的信號(hào)逆變換回時(shí)域處理．顯然,該方法必須先分辨出各分量信號(hào)才能完成以上處理過(guò)程,在本節(jié)分析了算法對(duì)多分量信號(hào)的分辨性能．

式(1)中的各分量信號(hào)是LFM信號(hào)s(t)經(jīng)不同時(shí)延和頻移后的結(jié)果,因此各分量信號(hào)具有相同的最優(yōu)階．由文獻(xiàn)[15]可知,有限長(zhǎng)LFM信號(hào)s(t)在最優(yōu)階popt的分?jǐn)?shù)階幅度譜為一個(gè)sin c函數(shù),且有

|S(u)|=|Fαopt(s(t))|

=AαoptT|sin c(πTcscαoptu)|．

(16)

根據(jù)FrFT的時(shí)延和頻移性質(zhì),各分量的分?jǐn)?shù)階幅度譜表現(xiàn)為s(t)分?jǐn)?shù)階幅度譜|Spopt(u)|的平移,即

|Y2,k(u)|=|S(u-Δtdkcosαopt-Δfdksinαopt)|．

(17)

當(dāng)兩個(gè)分量的最優(yōu)階FrFT峰值間隔小于其最優(yōu)階幅度譜主瓣3 dB寬度時(shí),我們就認(rèn)為分辨出了這兩個(gè)分量信號(hào)．因此,本方法對(duì)多分量信號(hào)的分辨率為

(18)

Width(sinc)為sinc函數(shù)主瓣的3dB寬度,約為0.44．

4仿真實(shí)驗(yàn)及分析

4.1調(diào)頻率的估計(jì)

調(diào)頻率的估計(jì)直接影響到時(shí)/頻差估計(jì)的精度,算法聯(lián)合Radon變換和抽取的模糊函數(shù)來(lái)估計(jì)調(diào)頻率,本節(jié)仿真了抽取因子對(duì)調(diào)頻率估計(jì)的影響．圖4為不同抽取倍數(shù)所估計(jì)到的調(diào)頻率的均方誤差,信號(hào)調(diào)頻率為m=3.125×107Hz/s．由圖4可以看出,信噪比為-10dB時(shí),無(wú)抽取和4倍抽取能夠準(zhǔn)確估計(jì)出調(diào)頻率,而8倍抽取獲得了錯(cuò)誤的估計(jì),這是因?yàn)殡S著抽取倍數(shù)的提高,抽取的模糊函數(shù)脊上的點(diǎn)在減少,Radon變換積累出的峰值能量降低,更容易湮沒(méi)在強(qiáng)噪聲中．然而,在信噪比滿(mǎn)足三種抽取都能夠估計(jì)出調(diào)頻率時(shí),三者估計(jì)出調(diào)頻率的均方誤差基本一致．這說(shuō)明適當(dāng)倍數(shù)的抽取對(duì)調(diào)頻率估計(jì)的影響很小,本文所提出的聯(lián)合Radon變換和抽取的模糊函數(shù)來(lái)估計(jì)調(diào)頻率是可靠的．

圖4　調(diào)頻率估計(jì)的均方誤差

對(duì)于多分量信號(hào),調(diào)頻率相同導(dǎo)致Radon變換無(wú)法將其分辨．由3.4節(jié)可知,多分量LFM信號(hào)在最優(yōu)階的幅度譜位置不同．由于LFM信號(hào)在最優(yōu)階表現(xiàn)出能量聚集性,各分量的峰值主瓣很窄,且FrFT為線性變換,多分量信號(hào)的FrFT不會(huì)產(chǎn)生交叉項(xiàng)干擾,因此算法對(duì)多分量信號(hào)具有很強(qiáng)的分辨能力．圖5給出了0dB信噪比下調(diào)頻率相同的三分量LFM信號(hào)在最優(yōu)階FrFT的歸一化幅度譜,從圖5可以清晰分辨出這3個(gè)分量信號(hào)．

圖5　三分量LFM信號(hào)最優(yōu)階幅度譜

4.2時(shí)/頻差的估計(jì)

選取LFM信號(hào)帶寬B=1MHz,信號(hào)持續(xù)時(shí)間為80μs,調(diào)頻率m=1.25×1010Hz/s,y1(t)的初始頻率κ=0,采樣率fs=4MHz,觀測(cè)時(shí)間為100μs,抽取因子D=8．y2(t)為單分量信號(hào),時(shí)頻差為(Δtd,Δfd)=(-0.5μs,-3 200Hz)．圖6仿真了本文方法和文獻(xiàn)[10]的單切片RAT(SingleSliceRadonAmbiguityTransform,SSRAT)方法對(duì)單分量LFM信號(hào)時(shí)/頻差估計(jì)的均方誤差．可以看出,兩種方法所估計(jì)到的時(shí)/頻差均方誤差基本一致,隨著信噪比的提高,時(shí)差和頻差的均方誤差逐漸逼近克拉美-羅界,在40dB信噪比下,時(shí)/頻差均方誤差比克拉美-羅界高約3dB．

(a) 時(shí)差均方誤差

(b) 頻差均方誤差圖6　單分量信號(hào)時(shí)/頻差估計(jì)的均方誤差

為了檢驗(yàn)本算法對(duì)多分量信號(hào)的時(shí)/頻差估計(jì)效果,信號(hào)y2(t)中除了原有的分量(Δtd,Δfd)=(-0.5μs,-3 200Hz)外,再加入一個(gè)調(diào)頻率相同而時(shí)/頻差為(1.25μs,8 000Hz)的分量,其余參數(shù)保持不變．

圖7為分別用本文方法和SSRAT方法在以上參數(shù)條件下仿真得到的時(shí)/頻差估計(jì)均方誤差圖．由圖7可以看出,對(duì)于多分量LFM信號(hào)的時(shí)/頻差估計(jì),本文所提的方法處理要優(yōu)于SSRAT方法,這主要是由于本文方法在最優(yōu)階分?jǐn)?shù)域?qū)Χ喾至縇FM信號(hào)進(jìn)行了分離,能夠有效降低各分量信號(hào)間的干擾．

(a) 時(shí)差均方誤差

(b) 頻差均方誤差圖7　雙分量信號(hào)時(shí)/頻差估計(jì)的均方誤差

4.3算法運(yùn)算量

在調(diào)頻率已知時(shí),本文方法只需要計(jì)算兩路接收信號(hào)的最優(yōu)階FrFT和一次相關(guān),由于計(jì)算FrFT的運(yùn)算量與FFT相當(dāng)[17],本文方法的運(yùn)算復(fù)雜度為O(Nlog2N)．文獻(xiàn)[10]中給出的SSRAT算法的運(yùn)算量,是在信號(hào)調(diào)頻率已估計(jì)到的前提下的運(yùn)算量,其計(jì)算復(fù)雜度為O(N2)．

在調(diào)頻率未知時(shí),SSRAT方法需要先計(jì)算信號(hào)的自模糊函數(shù),而本文方法只需要計(jì)算信號(hào)抽取的自模糊函數(shù)．表1比較了調(diào)頻率未知時(shí)SSRAT算法和本方法的運(yùn)算量,抽取因子D=8．從表1可以看出,本文提出的算法大幅降低了運(yùn)算量,在N=1 000時(shí)其運(yùn)算量?jī)H為SSRAT算法運(yùn)算量的2.88%,運(yùn)算速度明顯優(yōu)于SSRAT算法．

表1　本文方法和SSRAT方法運(yùn)算量對(duì)比

5結(jié)論

針對(duì)LFM信號(hào),提出了一種新的快速估計(jì)其時(shí)/頻差的算法．該算法首先對(duì)抽取的自模糊函數(shù)做Radon變換估計(jì)調(diào)頻率,并利用最優(yōu)階FrFT估計(jì)出模糊函數(shù)脊線與頻率軸交點(diǎn),最后應(yīng)用解調(diào)頻沿脊一維搜索模糊函數(shù)峰值．由于抽取的模糊函數(shù)耗費(fèi)的運(yùn)算量較少,并用一次相關(guān)實(shí)現(xiàn)沿脊搜索峰值的過(guò)程,算法在運(yùn)算速度上具有明顯優(yōu)勢(shì)．本算法能夠有效分辨多分量信號(hào),并分別精確估計(jì)出各分量的時(shí)/頻差．本文給出了算法所需的一些理論推導(dǎo),仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文的結(jié)論．

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郭付陽(yáng)(1991-),男,江西人,博士研究生,研究方向?yàn)闀r(shí)頻分析、雷達(dá)信號(hào)處理．

張子敬(1967-),男,陜西人，教授,博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)闊o(wú)源定位、雷達(dá)信號(hào)處理．

楊林森(1988-),男,陜西人,博士研究生,研究方向?yàn)闀r(shí)頻分析、雷達(dá)信號(hào)處理．

作者簡(jiǎn)介

中圖分類(lèi)號(hào)TN911.72

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1005-0388(2016)01-0166-07

收稿日期：2015-03-15

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資助項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61172137)

聯(lián)系人： 郭付陽(yáng) E-mail：guofuyang@126.com