周兵

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)以小學(xué)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中擅長(zhǎng)形象思維，初中數(shù)學(xué)教學(xué)在原有知識(shí)基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)以促進(jìn)有效的活動(dòng)體驗(yàn)，并在此基礎(chǔ)上借助邏輯推理生成數(shù)學(xué)認(rèn)知，是重要的教學(xué)思路. 三角形內(nèi)角和定理是初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性內(nèi)容. 在體驗(yàn)之后讓學(xué)生經(jīng)過(guò)邏輯推理，可以發(fā)現(xiàn)任意三角形的內(nèi)角和均為180°. 這是一個(gè)邏輯推理結(jié)果為真的陳述. “定理”是本課可以實(shí)施認(rèn)知教學(xué)的數(shù)學(xué)概念.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)體驗(yàn)；邏輯推理；數(shù)學(xué)認(rèn)知

人教版初中數(shù)學(xué)教材中，將三角形安排在七年級(jí)下冊(cè)，這樣的安排顯然是從知識(shí)本身來(lái)考慮的. 一方面，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過(guò)了三角形的相關(guān)知識(shí)；另一方面，初中階段又對(duì)此知識(shí)提出了新的要求. 如何在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，將三角形這一“冷飯”炒出新味，是數(shù)學(xué)教師需要認(rèn)真考慮的問題. 筆者分析了學(xué)生在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)情況（主要依據(jù)教材設(shè)計(jì)與對(duì)學(xué)生的口頭調(diào)查），感覺初中階段的設(shè)計(jì)思路既要依靠學(xué)生原來(lái)的知識(shí)，同時(shí)又不能忽視基本的體驗(yàn)，更重要的是要促成數(shù)學(xué)認(rèn)知的形成，這樣才能使三角形的知識(shí)在學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中成為一個(gè)堅(jiān)實(shí)的結(jié)點(diǎn)，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì). 本文試以“三角形的內(nèi)角”這一知識(shí)點(diǎn)為例，談?wù)劰P者的教學(xué)思路.

關(guān)注已有認(rèn)知基礎(chǔ)

三角形的內(nèi)角在小學(xué)數(shù)學(xué)中已有涉及，對(duì)其內(nèi)角和為180°也已經(jīng)有了測(cè)量、剪紙等方法證明，也就是說(shuō)初中階段這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)結(jié)果，學(xué)生是已知的. 這就對(duì)實(shí)際教學(xué)提出了一個(gè)挑戰(zhàn)，如何讓學(xué)生在初中階段這一知識(shí)的學(xué)習(xí)中有新的收獲，將直接決定著學(xué)生在這一階段的學(xué)習(xí)狀態(tài)，也關(guān)系到學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).

實(shí)際上，這里涉及了兩個(gè)層面：一是知識(shí)層面；二是學(xué)生的學(xué)習(xí)心理層面. 這也是以“認(rèn)知基礎(chǔ)”這一概念來(lái)界定的重要原因. 知識(shí)層面自不待言，結(jié)果都已經(jīng)知道了，似乎就沒有什么好學(xué)的了；心理層面除了關(guān)系到學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)之外，對(duì)教師的挑戰(zhàn)在于應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)什么樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，以將學(xué)生吸引到學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái). 仔細(xì)研究學(xué)生已有的學(xué)習(xí)過(guò)程，會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生原有的學(xué)習(xí)過(guò)程有兩個(gè)重點(diǎn)：一是在教師指導(dǎo)下的剪紙活動(dòng)；二是教師要求下的結(jié)果記憶. 而這樣導(dǎo)致的結(jié)果就是學(xué)生到了初中之后，一般只記得結(jié)果而忘記了過(guò)程. 于是教學(xué)思路也就相對(duì)明晰了：初中階段對(duì)三角形的內(nèi)角的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)重在學(xué)習(xí)過(guò)程的設(shè)計(jì)，應(yīng)當(dāng)重在學(xué)生體驗(yàn)的設(shè)計(jì)，應(yīng)當(dāng)努力讓學(xué)生在自主性發(fā)揮的基礎(chǔ)上，能夠?qū)θ切蝺?nèi)角和產(chǎn)生更為深刻的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí).

宏觀思路已定，那下面的重點(diǎn)就是教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)了.

設(shè)計(jì)新的體驗(yàn)情境

情境對(duì)于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的意義是不言而喻的，尤其是對(duì)于初中學(xué)生而言，形象生動(dòng)的情境，往往能夠讓學(xué)生的形象思維得到充分的運(yùn)用，從而實(shí)現(xiàn)有效或高效學(xué)習(xí). 那么，對(duì)于三角形的內(nèi)角這一知識(shí)而言，可以設(shè)計(jì)什么樣的情境呢？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在描述課程設(shè)計(jì)思路的時(shí)候，有這樣的一段描述：“在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過(guò)程.” 這段描述對(duì)于初中數(shù)學(xué)的隱喻意義是深刻的，初中數(shù)學(xué)只有重視學(xué)生的體驗(yàn)，才能讓學(xué)生在構(gòu)建從生活數(shù)學(xué)到抽象數(shù)學(xué)的過(guò)程中有所依靠，也就是說(shuō)只有體驗(yàn)，才能讓擅長(zhǎng)于形象思維的初中學(xué)生思之有物，進(jìn)而思之有果. 既然如此，三角形的內(nèi)容就可以以學(xué)生的體驗(yàn)為突破口，去設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程.

幾經(jīng)思考，筆者創(chuàng)設(shè)的體驗(yàn)情境是這樣的：第一步，給出用長(zhǎng)木條構(gòu)成的三角形、四邊形、五邊形（接頭處打孔穿螺絲）等學(xué)具，每組各一個(gè)，由學(xué)生自己去擺弄. 學(xué)生自然會(huì)發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定性不同，這樣就可以通過(guò)穩(wěn)定性將學(xué)生的注意力吸引到三角形上來(lái). 這一步花費(fèi)也就一兩分鐘的時(shí)間，卻可以瞬間凝聚學(xué)生的注意力. 第二步，讓學(xué)生將給出的四邊形變形為長(zhǎng)方形，并向?qū)W生提出問題：此時(shí)長(zhǎng)方形的四個(gè)角之和為多少度？學(xué)生稍加盤算就知道是360°（因?yàn)樗膫€(gè)角都是90°）. 第三步，讓學(xué)生觀察三角形，并提出問題：三角形的內(nèi)角和為多少度？這一步需要給出充分的時(shí)間讓學(xué)生去觀察思考. 教學(xué)實(shí)踐表明，此時(shí)學(xué)生觀察的對(duì)象就是三角形與長(zhǎng)方形，他們會(huì)下意識(shí)地將兩者進(jìn)行比較. 而這種下意識(shí)的行為，正是本情境需要的關(guān)鍵——只有在這種狀態(tài)下，學(xué)生的體驗(yàn)才是真實(shí)的、自然的，也才能為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 如果不出意外，此時(shí)會(huì)有數(shù)個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生有新的點(diǎn)子出來(lái)，比如說(shuō)有學(xué)生會(huì)用一支筆充當(dāng)長(zhǎng)方形的對(duì)角線，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其變成了兩個(gè)三角形. 由于長(zhǎng)方形的四個(gè)角是360°，那兩個(gè)三角形的內(nèi)角就分別應(yīng)當(dāng)是180°了.

體驗(yàn)至此，本環(huán)節(jié)似乎也就結(jié)束了，而這樣的設(shè)計(jì)似乎也看不出什么新的創(chuàng)意. 事實(shí)并非如此，因?yàn)楣P者發(fā)現(xiàn)新的驚喜常常會(huì)悄然而生.

引向數(shù)學(xué)邏輯途徑

就在大部分人以為問題已經(jīng)解決了的時(shí)候，筆者拋出一個(gè)問題：三角形的內(nèi)角一定是180°嗎？會(huì)不會(huì)這個(gè)三角形與那個(gè)三角形的內(nèi)角和不一樣？

應(yīng)當(dāng)說(shuō)這是一個(gè)非常規(guī)的“古怪”問題，而筆者感覺這個(gè)問題看起來(lái)似乎沒有道理，但其實(shí)卻給出了一個(gè)重要命題：要求三角形的內(nèi)角和，那實(shí)際上有一個(gè)前提，即所有三角形的內(nèi)角和應(yīng)當(dāng)是一樣的，只有這樣，這個(gè)問題才有意義；反之，如果三角形的內(nèi)角和不具有固定結(jié)果的特征，那本問題就沒有價(jià)值了.

事實(shí)上，在教學(xué)中，這個(gè)問題也確實(shí)讓原本柳暗花明的課堂又進(jìn)入了山重水復(fù)的狀態(tài). 學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，剛才的體驗(yàn)已經(jīng)不能解決這個(gè)問題. 也正是在這種情況下，有學(xué)生回憶起了之前用過(guò)的剪紙法，并且當(dāng)眾給出了剪紙法的操作. 在這個(gè)學(xué)生的示范之下，絕大多數(shù)學(xué)生都回憶起了當(dāng)時(shí)的這段體驗(yàn)，并進(jìn)而否定了筆者的問題：你看，任意給出一個(gè)三角形，用剪紙法可以得到三角之和都是180°.

應(yīng)當(dāng)說(shuō)學(xué)生此前的體驗(yàn)加上此時(shí)的演示，已經(jīng)讓學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)過(guò)了一個(gè)充分體驗(yàn)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生對(duì)三角形的內(nèi)角尤其是內(nèi)角和的認(rèn)識(shí)已經(jīng)積累了大量感性的認(rèn)識(shí)，下面要做的就是理性思考. 而這一過(guò)渡應(yīng)當(dāng)由教師的問題來(lái)過(guò)渡，問題很簡(jiǎn)單：無(wú)論是剪紙法，還是用量角器去測(cè)量，或者用簡(jiǎn)單的邏輯推理，都無(wú)法得出三角形內(nèi)角和的一般規(guī)律，只有通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)且符合邏輯的數(shù)學(xué)證明，才能為問題的解決找到最佳的答案. 于是，學(xué)生的思路就被引向了數(shù)學(xué)推理.

下面的教學(xué)思路是明確的，關(guān)鍵在于教師如何引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)證明方法. 比如說(shuō)，怎樣才能讓學(xué)生想到過(guò)三角形某個(gè)頂點(diǎn)作另一邊的平行線呢？或者說(shuō)怎樣才能讓學(xué)生想到延長(zhǎng)某條邊，然后過(guò)該頂點(diǎn)作另一對(duì)邊的平行線呢？事實(shí)上，本證明中，這才是關(guān)鍵，一旦給出了這條輔助線，下面就只是平行線定理的相關(guān)應(yīng)用了. 因此，筆者設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生自主思考平行線的作出，為本環(huán)節(jié)教學(xué)的重點(diǎn). 具體的引導(dǎo)是這樣的：現(xiàn)在的基本思路是證明三角形的內(nèi)角和是180°，但在我們面前并沒有現(xiàn)成的180°的角. 但是我們心中又是有180°角的，請(qǐng)同學(xué)們構(gòu)思一下180°的角是什么樣子. 學(xué)生很快就能想到其實(shí)就是一條直線（也有學(xué)生想象成一條射線轉(zhuǎn)過(guò)180°）. 于是再給出下面的問題：怎樣才能將三角形的三個(gè)內(nèi)角與大腦中構(gòu)思的180°角聯(lián)系起來(lái)？事實(shí)上，在這個(gè)問題拋出之后，學(xué)生更多想到的是第二種思路，即確定任意一個(gè)頂點(diǎn)，然后延長(zhǎng)某個(gè)邊，再要想的辦法就是將另兩個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到這個(gè)地方來(lái). 顯然，這就要將外角分成兩個(gè)角，如果兩個(gè)角的大小恰好等于另兩個(gè)內(nèi)角，那么問題就迎刃而解了.

問題分析到這里，絕大多數(shù)學(xué)生的思路就清晰了，剛剛學(xué)過(guò)的平行線的知識(shí)，立即就在此發(fā)揮了作用. 待平行線作出，利用同位角和內(nèi)錯(cuò)角的關(guān)系，答案順利得出. 且同時(shí)能夠回答那個(gè)“古怪”的問題：任意三角形的內(nèi)角和都應(yīng)當(dāng)是180°，因?yàn)槿我馊切味伎梢酝ㄟ^(guò)此方法來(lái)證明.

實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知形成

經(jīng)過(guò)了體驗(yàn)與邏輯推理之后，學(xué)生的基本認(rèn)識(shí)已經(jīng)形成，下面要做的事情就是將體驗(yàn)認(rèn)識(shí)上升為數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 就本知識(shí)而言，“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”的語(yǔ)言可以順利獲得，因?yàn)檫@樣的描述既是生活語(yǔ)言，也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 筆者確定的重點(diǎn)在“三角形內(nèi)角和定理”這一概念上，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)“定理”這一概念的認(rèn)識(shí)并不深刻，尤其是在七年級(jí)階段，學(xué)生還只認(rèn)為其為一普通概念，因此，筆者認(rèn)為此時(shí)是一個(gè)加強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)定理概念的機(jī)會(huì).

所謂定理，即為經(jīng)過(guò)邏輯證明且為真的陳述. 在剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)加邏輯推理獲得了三角形內(nèi)角和的一般規(guī)律，結(jié)果顯然為真，于是告訴學(xué)生數(shù)學(xué)上對(duì)于此類命題，都會(huì)以定理稱之. 換句話說(shuō)，以后遇到類似的經(jīng)過(guò)邏輯推理且結(jié)果正確的，一般都可以冠之以定理之稱. 通過(guò)這樣的認(rèn)知生成，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)有本身固有的語(yǔ)言. 而這種概念性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是可以在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到催化作用的，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，正是建立在此類數(shù)學(xué)語(yǔ)言基礎(chǔ)之上的.