劉惠敏，劉繁明，荊 心，夏琳琳

（1. 哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，青島 266109；3. 東北電力大學(xué) 自動化工程學(xué)院，吉林 132012）

淺地表地下質(zhì)量異常重力與磁探測數(shù)值模擬方法

劉惠敏1,2，劉繁明1，荊 心1，夏琳琳3

（1. 哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，青島 266109；3. 東北電力大學(xué) 自動化工程學(xué)院，吉林 132012）

提出一種重磁觀測值數(shù)值模擬方法，用于地下空穴測量數(shù)據(jù)的解釋和反演算法研究。采用更具結(jié)構(gòu)靈活性的旋轉(zhuǎn)橢球體作為地下空穴模型，在重力異常和重力梯度異常計算表達(dá)式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)其磁異常計算表達(dá)式，實現(xiàn)空穴重磁異常信號的分析計算；借助擾動位的功率譜密度函數(shù)實現(xiàn)重力異常譜和重力梯度異常譜的計算，經(jīng)傅立葉逆變換到空間域?qū)崿F(xiàn)背景場統(tǒng)計學(xué)模擬；采用高斯白噪聲模擬測量儀器或其它隨機噪聲信號。將三部分?jǐn)?shù)據(jù)疊加并進(jìn)行數(shù)值仿真，證明該方法合理有效。

重力異常；重力梯度異常；磁異常；地下空穴；重磁背景場；數(shù)值模擬

地下空穴是威脅城市、交通、礦區(qū)、大壩和核電站等重要設(shè)施安全、穩(wěn)定運行的重要因素之一。作為地下質(zhì)量異常存在的一種形式，地下空穴相對于周圍環(huán)境存在負(fù)密度差和負(fù)磁化強度差，引起重力異常、重力梯度異常和磁異常。這些信號可由高靈敏度重磁儀器測量，是一種有效且非破壞性地表探測方法。

目前，高精度重磁測量技術(shù)、探地雷達(dá)技術(shù)等已經(jīng)成功用于地下空穴的探測和圈定過程中[1-5]。其中，對于已測得的重磁數(shù)據(jù)，探索和發(fā)展適用于地下空穴的數(shù)據(jù)解釋理論和反演算法已經(jīng)成為判斷空穴存在狀態(tài)和物性參數(shù)的迫切需要，決定測量工作的成效。然而，由于測量設(shè)備、測區(qū)環(huán)境、測量人員、改正算法等因素的影響，實際工作中很難得到大量準(zhǔn)確的、足夠精度的測量結(jié)果用于數(shù)據(jù)解釋和反演算法研究。

Moritz指出，在一個平面或是球體上，重力場可以看作是一個隨機過程，在去除長波長的情況下，可以保證該隨機過程的平穩(wěn)性[6]。Jekeli指出，在統(tǒng)計學(xué)中心極限定理的基礎(chǔ)上，若局部重力場可以看成多個隨機場的疊加，則可以假設(shè)其在局部區(qū)域范圍內(nèi)滿足高斯性[7]。盡管學(xué)術(shù)界對于采用模擬測量值的有效性存在不同觀點，但在大地測量學(xué)領(lǐng)域，多個應(yīng)用已經(jīng)證明采用數(shù)值模擬技術(shù)是一種合理可行的近似方法[8-9]。如Jekeli采用零均值的高斯平穩(wěn)隨機過程作為重磁背景場的模擬模型[10]，并驗證了該模型的正確性[11,14-15]。Abt等采用數(shù)值模擬模型討論了匹配濾波器在地下質(zhì)量異常探測中的有效性[11]。本文針對天然地下空穴在測量數(shù)據(jù)解釋和反演算法研究中的需要，采用統(tǒng)計學(xué)方法構(gòu)建重磁模擬背景場和隨機儀器噪聲信號，提出采用更具結(jié)構(gòu)靈活性的旋轉(zhuǎn)橢球體取代棱柱體或球體作為地下空穴的模型，滿足重磁觀測的數(shù)值模擬要求。

1 重磁觀測模擬值的組成

假設(shè)測量區(qū)域位于零高程水平面上，如圖1所示。測區(qū)下方存在三個以P(x1,y1,z1)、Q(x2,y2,z2)和R(x3,y3,z3)為中心點的空穴。某測點的觀測值Z(x,y,z)由三個部分組成：

式中：S(x,y,z)表示地下空穴產(chǎn)生的重磁異常信號；B(x,y,z)表示重磁背景場信號；N(x,y,z)表示儀器或其他隨機噪聲信號。

圖1 地下空穴在觀測區(qū)域的位置分布Fig.1 Distribution of underground voids in observation area

2 地下空穴產(chǎn)生的重磁異常信號模擬

采用旋轉(zhuǎn)橢球體作為地下空穴模型，通過任意改變長、短軸的長度可以得到不同的旋轉(zhuǎn)橢球體以匹配真實存在的空穴，與常采用的棱柱體和球體相比更具有結(jié)構(gòu)靈活性。文獻(xiàn)[12]將旋轉(zhuǎn)橢球體分為繞短軸旋轉(zhuǎn)型和繞長軸旋轉(zhuǎn)型兩種，并分別給出詳細(xì)的重力異常、重力梯度異常的計算表達(dá)式（中心位于(0,0, h)(h＜0)處），可直接用于地下空穴產(chǎn)生的重力異常和重力梯度異常信號S(x,y,z)的計算。

Poission指出磁場與重力場具有相似結(jié)構(gòu)。當(dāng)磁力位和引力位由同一地質(zhì)體產(chǎn)生，地質(zhì)體具有均勻的磁化強度和密度且二者之比為常數(shù)時，磁位與重力位之間滿足泊松關(guān)系式[13]。Abt等在局部小范圍區(qū)域采用相對重力儀進(jìn)行了重力梯度初步測量，利用泊松關(guān)系得到模擬磁力圖，與質(zhì)子旋進(jìn)磁力儀實測的磁力圖進(jìn)行比較顯示二者具有明顯相關(guān)性[14]。這是因為在局部小范圍區(qū)域內(nèi)容易滿足泊松關(guān)系式所需的兩個條件。地下空穴探測往往在淺地表局部小范圍區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，可假設(shè)滿足泊松關(guān)系式成立的兩個條件，因此，在文獻(xiàn)[12]給出的旋轉(zhuǎn)橢球體重力梯度異常計算表達(dá)式的基礎(chǔ)上，在不考慮剩磁影響的條件下，通過泊松關(guān)系式可以推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)橢球體在中心正上方的磁異常計算表達(dá)式。

繞短軸旋轉(zhuǎn)型旋轉(zhuǎn)橢球體磁異常計算表達(dá)式：

繞長軸旋轉(zhuǎn)型旋轉(zhuǎn)橢球體磁異常計算表達(dá)式：

式(2)～(9)中：Hax、Hay和Za分別表示磁異常在X、Y、Z各方向上的分量；ΔT表示總磁異常；μ0為真空中的磁導(dǎo)率，m為磁矩（磁化強度與橢球體體積之積）；i為磁化傾角；δ為X軸正方向與磁化方向的水平分量的夾角；I0為地磁場傾角；A′ 為X軸正方向與地磁場北方向的夾角；式中的其他參數(shù)滿足的條件見文獻(xiàn)[12]。

3 重磁背景場信號的模擬

在整個觀測值中，重磁背景場信號B(x,y,z)占最主要的部分。對重磁背景場的模擬基于擾動位T的協(xié)方差模型：

式中：dx、dy為平面兩點X和Y坐標(biāo)的差值；z和z′表示兩點的垂直高度，由于忽略各測量點的垂直坐標(biāo)；r表示平面上兩點距離；αj和 σj為經(jīng)驗參數(shù)。對式(10)進(jìn)行傅立葉變換，可以得到頻域中擾動位T對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)：

式中：μ1、μ2為周期頻率，μ1=x/(ΔxM)，μ2=y/(ΔyN)，Δx、Δy和M、N分別表示X方向和Y方向的網(wǎng)格間距和測點個數(shù)，且x=0,…,M-1，y=0,…,N-1。擾動位的譜T0可由下式計算得到：

為產(chǎn)生隨機重磁背景場，引入隨機數(shù)組變量Λ和Θ，其組成元素為零均值、正態(tài)分布且標(biāo)準(zhǔn)差分別為σΛ、σΘ的隨機數(shù)。顯然，在空間域中T0、Λ和Θ的維數(shù)與觀測網(wǎng)格維數(shù)相同，都是 N×M維。重力和重力梯度的譜分別等于擾動位的譜的一階和二階導(dǎo)數(shù)，故可得重力和重力垂直梯度的譜為：

對各個譜分量求傅立葉逆變換，可以得到空間域中重力gx、gy、gz和重力梯度Γxx、Γyy、Γzz、Γxy、Γyz、Γxz分量，再利用泊松關(guān)系式得到空域中磁場背景場，從而得到不同數(shù)據(jù)類型的背景場信息。

4 儀器或其他隨機噪聲信號的模擬

用零均值高斯白噪聲信號來模擬儀器或其他隨機噪聲信號N(x,y,z)，不同觀測量類型取不同的標(biāo)準(zhǔn)差，如表1所示。

表1 儀器噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Standard deviations for instrument noise

5 數(shù)值仿真

假設(shè)測量區(qū)域為零高程水平面上 N×M的方形區(qū)域。取測點個數(shù)N=M=101，間距1 m。測區(qū)下方存在三個旋轉(zhuǎn)橢球體結(jié)構(gòu)的空穴，具體參數(shù)如表2。

空穴相對周圍巖石的密度差Δρ= -2.67 kg/m3，磁化強度差為ΔM= -28 nT，真空中磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7N/A2，萬有引力常數(shù)G=6.673×10-11m3/(kg·s2)。假設(shè)磁異常源在地磁場中被磁化，即磁化方向與地磁場方向一致，磁傾角i=I0=68°，磁偏角δ=A′= -7o（具體到特定日期的角度值可查詢美國國家海洋和大氣管理局網(wǎng)站）。

表2 旋轉(zhuǎn)橢球體結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural parameters of rotational ellipsoids

將上述參數(shù)帶入旋轉(zhuǎn)橢球體重力異常、重力梯度異常及磁異常計算表達(dá)式，得到圖2所示異常信號分量。

圖2 地下空穴產(chǎn)生的異常信號Fig.2 Anomaly signals generated by underground voids

取隨機數(shù)組變量Λ和Θ的標(biāo)準(zhǔn)差σΛ=σΘ=12。經(jīng)驗參數(shù)αj和σj取值參照文獻(xiàn)[15]附錄A。相關(guān)參數(shù)代入式(10)～(19)求取重力和重力梯度各分量的譜，傅立葉逆變換后得到空間域中重力和重力梯度背景場值，代入泊松關(guān)系式得到磁力背景場值，如圖3所示。

圖3 模擬背景場Fig.3 Simulated background field

將地下空穴產(chǎn)生的重磁異常信號 S(x,y,z)與背景場信號B(x,y,z)及儀器噪聲信號N(x,y,z)疊加，得到總重磁觀測模擬值Z(x,y,z)，如圖4所示。可以看出，各測量數(shù)據(jù)在合理區(qū)間范圍，空穴產(chǎn)生的影響在圖中有所體現(xiàn)。

取空穴產(chǎn)生的重磁異常信號、模擬背景場信號、隨機儀器噪聲信號以及合成觀測值信號中 y=30 m處的一行數(shù)據(jù)匯總在同一曲線圖中，如圖5所示，可更加直觀地看出各部分?jǐn)?shù)據(jù)所占比重。顯然，模擬背景場所占數(shù)據(jù)比重最高，這與事實相符。另外，由于擾動位的譜與隨機數(shù)組變量Λ和Θ有關(guān)，因此不同的隨機數(shù)組變量會得到不同的隨機背景場，產(chǎn)生不同的觀測模擬值，有利于形成多個重磁背景場數(shù)據(jù)來驗證數(shù)據(jù)解釋和反演算法的正確性。

圖4 總模擬觀測值Fig.4 Total simulated observations

圖5 模擬觀測值各分量剖面曲線Fig.5 Profiles of simulated observation components

6 結(jié) 論

在地下質(zhì)量異常探測中，科學(xué)、合理的重磁觀測數(shù)值模擬方法是驗證數(shù)據(jù)解釋和反演算法正確性的重要前提。本文提出采用更具有結(jié)構(gòu)靈活性的旋轉(zhuǎn)橢球體作為地下空穴模型，在重力異常和重力梯度異常計算表達(dá)式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)出磁異常計算表達(dá)式，實現(xiàn)空穴重磁異常信號的計算。借助擾動位的功率譜密度函數(shù)實現(xiàn)頻域中重力異常譜和重力梯度異常譜的計算，實現(xiàn)背景場的統(tǒng)計學(xué)模擬。通過添加高斯白噪聲信號模擬測量產(chǎn)生的儀器或其他隨機噪聲信號。

數(shù)值仿真給出了實現(xiàn)效果，顯示出該方法的合理性和有效性，為研究天然地下空穴的存在狀態(tài)和物性參數(shù)提供了保障。

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Numerical simulation method for gravity and magnetic observations of mass anomaly in shallow subsurface

LIU Hui-min1,2, LIU Fan-ming1, JING Xin1, XIA Lin-lin3
(1. College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. College of Mechanical and Electrical Engineering, Qingdao Agricultural University, Qingdao 266109, China; 3. School of Automation Engineering, Northeast Dianli University, Jilin 132012, China)

A numerical simulation method for gravity and magnetic observations of mass anomaly in shallow subsurface is proposed for studying the data interpretation and inversion algorithm of underground voids, assuming that the gravity and magnetic anomaly signals generated by the underground voids can be described by the signals of rotational ellipsoids. One important aspect of the study is to derive the magnetic anomaly expressions of rotational ellipsoids with the known formulas of gravity and gravity gradient. The power spectral density function of disturbing potential is used to calculate the gravity anomaly spectrum and gravity gradient anomaly spectrum. The inverse Fourier transformation of the above spectra provides the gravity and magnetic background filed signals in the space domain. Furthermore, the random instrument noise signals are simulated by Gaussian white noise. Superposing these three parts of data and then carrying out numerical simulation for them with specific parameters, the results show that the method is reasonable and effective.

gravity anomaly; gravity gradient anomaly; magnetic anomaly; underground voids; gravity and magnetic background field; numerical simulation

P312.1

：A

2016-04-14；

：2016-07-29

國家自然科學(xué)基金（60834005）；國家自然科學(xué)基金青年基金項目（61503073）

劉惠敏（1983—），女，博士研究生，從事微弱信號測量與處理技術(shù)方向研究。E-mail: lhmgct@126.com

聯(lián) 系 人：劉繁明（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: Hrblfm407@126.com

1005-6734(2016)04-0490-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.04.013