宋俊紅，宋申民，徐勝利

（1. 哈爾濱工業(yè)大學 控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150001；2. 上海航天技術研究院 上海機動工程研究所，上海 201109）

帶有攻擊角約束的多導彈協同制導律

宋俊紅1，宋申民1，徐勝利2

（1. 哈爾濱工業(yè)大學 控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150001；2. 上海航天技術研究院 上海機動工程研究所，上海 201109）

針對帶有攻擊角約束的多導彈同時攻擊機動目標問題，提出了一種帶有攻擊角約束的協同制導律。首先基于平面內的導彈-目標相對運動方程，建立了帶有攻擊角約束的協同制導模型；其次，把協同制導律的設計過程分離為兩個部分：一是基于圖論的有關內容，運用有限時間一致性理論設計沿著視線方向上的加速度指令來保證所有導彈與目標的相對距離在有限時間內到達一致，進而保證所有的導彈同時擊中機動目標；二是利用非齊次干擾觀測器對機動目標的加速度進行估計，并運用滑?？刂圃O計視線法向上的加速度指令來保證每枚導彈與目標間的視線角速率收斂到零和視線角收斂到期望的終端視線角，即每枚導彈以期望的終端視線角成功擊中目標；最后，對三枚導彈同時打擊同一機動目標的情況進行仿真，仿真結果表明本文設計的帶有攻擊角約束的協同制導律的有效性和正確性。

協同制導律；攻擊角約束；非齊次干擾觀測器；滑?？刂疲煌ㄐ磐負?；有限時間一致性

多導彈協同攻擊以調整作戰(zhàn)理念、適應未來環(huán)境為目的，打破作戰(zhàn)過程中各導彈之間沒有任何聯系與合作的傳統思想，將所有導彈看作一個整體，多導彈之間通過信息共享實現配合、協作，共同完成打擊任務，極大地提高了導彈的殺傷力和突防能力，而且能夠完成單枚導彈無法完成的任務，因此研究多導彈協同攻擊具有非常重要的實際意義。

文獻[1]提出了一種攻擊時間可控的多導彈時間協同制導律，該制導律是在比例制導律基礎上附加攻擊時間的誤差反饋，但是該制導律需要事先指定攻擊時間，然后各枚導彈單獨采用該制導律進行指導，完成同時攻擊的目的。文獻[2]提出了一種基于虛擬領彈的帶有時間限制的多導彈協同制導的方法，是將攻擊時間同時達到問題轉化為各枚導彈-虛擬領彈的彈目相對距離和前置角的跟蹤問題，從而使各枚被領彈都按照虛擬領彈的指定攻擊時間同時攻擊目標，實現多導彈時間協同導引。文獻[3]基于動態(tài)面控制理論和干擾觀測器技術研究了制導與控制一體化的多導彈協同打擊目標問題。文獻[4-5]基于滑模控制方法提出帶有攻擊時間控制的制導律。以上文獻所提出的協同制導方法針對的都是靜止的目標，而且需要人為地事先指定攻擊時間，還有在制導過程中各導彈之間沒有動態(tài)的信息交互，不能實現真正意義上的導彈協同。

為了實現真正意義上導彈協同，文獻[6]基于分布式協同制導方法，分別設計了分散化協同制導律和分布式自適應協同制導律，實現多導彈協同攻擊。文獻[7]研究了固定拓撲和切換拓撲兩種情況下同時存在通信時延和拓撲結構不確定的多導彈協同齊射攻擊問題。文獻[8]研究了切換拓撲下存在通信時延的基于領彈-從彈的多導彈協同制導的一致性問題。以上多導彈協同攻擊的目標也都是靜止的。針對多導彈協同攻擊機動目標的研究還比較少[9-12]，文獻[9-10]在各導彈之間不存在信息交互下的情況下設計的多導彈協同制導律，文獻[11-12]研究了在以通信拓撲結構形式來表示導彈之間的信息交互下，提出攻擊機動目標的協同制導律。

目前，國內外學者針對多導彈存在信息交互并協同攻擊機動目標的問題研究還非常有限，尤其是帶有攻擊角約束[13]的多導彈協同攻擊機動目標問題。在多導彈同時攻擊目標時以不同或相同的攻擊角擊中目標，不僅能夠提高導彈的突防能力，而且還有進一步提高導彈的殺傷力和全方位的攻擊能力。所以，本文基于有限時間一致性理論和滑模控制理論，提出了帶有攻擊角約束的多導彈協同攻擊機動目標的協同制導律，同時滿足各導彈之間具有動態(tài)的信息交互和各導彈以所期望的攻擊角同時擊中目標?；趨f同制導模型，文中設計的協同制導律分為兩個部分：一是基于非齊次干擾觀測器和滑?？刂圃O計視線法向上的加速度指令來保證每枚導彈與目標間的視線角速率收斂到零，即每枚導彈成功攔截，并且滿足指定的攻擊角約束；二是運用有限時間一致性理論設計沿著視線方向上的加速度指令來保證所有導彈同時擊中機動目標。最后進行仿真驗證協同制導律的有效性。

1 協同攔截的問題描述

針對平面攔截問題，導彈與目標的相對運動幾何關系如圖1所示，其中M和T分別表示導彈和目標的質心，r代表導彈和目標之間的相對距離，q代表視線角， φm、 φt分別代表導彈和目標的速度方向角，Vm、Vt分別代表導彈和目標的速度。由圖1可導出導彈與目標的相對運動方程[14]為

圖1 單枚導彈與目標的相對運動關系Fig.1 Relative motion of a single missile and the target

對式(1)和(2)分別對時間求導，得到：

式中：ur和wr分別是導彈加速度和目標加速度在視線方向上的分量；uq和wq分別是導彈加速度和目標加速度在視線法向上的分量。在末制導過程中，目標主要在視線法向上進行機動，因此，可以假設目標加速度在視線方向的分量為零，即wr=0。

其中，qd是期望的終端視線角，可獲得：

圖 2給出了多枚導彈與目標的相對運動幾何關系，每枚導彈的初始條件可以不同。帶有角度約束的協同攔截目地是針對每枚導彈設計制導律，使得所有的導彈在分布式的通信拓撲下同時擊中機動的目標，并且視線角達到期望的終端視線角。正如圖 2所示的，每枚導彈的狀態(tài)用對應下標i(i=1,2,…,n)表示，第i枚導彈與目標的相對運動方程表示為

基于以上分析，由式(6)可知，在多導彈攻擊單一目標的協同制導問題中，協同制導律的設計過程可以分成兩部分：通過設計視線法向上的加速度指令uqi使彈目相對距離收斂，即使得每枚導彈的視線角收斂到期望的終端視線角和視線角速率收斂到零；通過設計視線方向上的加速度指令uri，使得多枚導彈與目標的相對距離在有限時間內到達一致，即ri→rj，進而保證多導彈同時擊中目標。

圖2 多枚導彈與目標的相對運動關系Fig.2 Relative motion of the missiles and the target

注 1 傳統的末制導律設計只是通過設計視線法向的加速度指令保證視線角速率收斂到零。這是因為導彈目標相對速度的變化率是很小的，并且初始的相對速度比零小很多，沿著視線方向的加速度指令通常被設定為零。但是，為了使得導彈與目標的相對距離在有限時間內到達一致，來達到同時攻擊目標的目的，視線方向的加速度指令應該被設計。

注 2 設計視線方向上的加速度指令需要考慮有限時間一致性，而不是漸進一致性，這是因為每枚導彈相對于目標的相對距離應該在導彈目標碰撞時間前達到一致。

2 協同制導律設計

2.1 視線方向上的加速度指令設計

在本小節(jié)中，基于二階多智能體系統有限時間一致性原理設計了視線方向上的加速度指令，來保證所有的導彈同時擊中機動目標。

在多導彈協同制導中，導彈通過信息交互獲得其它導彈的狀態(tài)信息以完成多導彈協同一致性問題，這種信息交互可以通過圖論來描述。下面簡單介紹一下圖論的基礎知識。

在本文中，用無向圖G=(v,ζ,C)來代表多導彈之間的通訊拓撲關系，其中v描述圖中節(jié)點組成的集合，ζ代表節(jié)點之間的連線，矩陣C=[cij]∈Rn×n代表權系數矩陣，節(jié)點vi代表第i枚導彈。圖G中的任意邊可以描述為(vi,vj)，其中(vi,vj)代表無序節(jié)點對，若第i枚導彈和第 j枚導彈之間能夠進行信息交換，則，否則cij=0，特別的cii=0, i∈{1,2,…,n}，由于G是無向圖，有cij=cji。若節(jié)點vi和節(jié)點vj之間存在一條通道，則通路上連續(xù)的節(jié)點都是相鄰的。如果無向圖中任意兩個節(jié)點間都存在至少一條通路，則整個圖是連通的。

在設計視線方向上的加速度指令之前，先給出了一個關于二階多智能體系統有限時間一致性收斂的引理?？紤]如下二階多智能體系統：

式中，xi表示位移，vi表示速度，ui表示控制輸入，初始條件為xi(0)=xi0，vi(0)=vi0。

引理 1[15]考慮具有n個個體的多智能體系統(7)，在其通信拓撲結構圖G無向且連通時，設計有如下控制輸入：

上述引理給出了二階多智能體系統有限時間一致性收斂的充分條件?；谏鲜鲆?，針對式(6)中前兩個方程描述的子系統：

通過設計uri來控制所有的導彈與目標的相對距離在有限時間內到達一致，即 ri→rj，以實現多導彈同時攔截。下面以定理的形式給出視線方向上的制導律設計。

定理 1 針對系統(9)，在其通信拓撲結構圖G無向且連通時，那么視線方向上的加速度指令uri設計為

證明：定理1的證明很容易由引理1得到。

2.2 視線法向上的加速度指令設計

在本小節(jié)中，基于滑?？刂坪头驱R次干擾觀測器來設計視線法向上的加速度指令，使每枚導彈的視線角收斂到期望的終端視線角和視線角速率收斂到零，既保證每枚導彈能夠以期望的視線角成功攔截目標。

考慮式(6)中后兩個方程描述的子系統如下：

針對式(11)所示的帶有角度約束的制導系統，通過對每枚導彈的視線法向上的加速度指令uqi進行設計來保證每枚導彈與目標間的視線角速率收斂到零和視線角收斂到期望的終端視線角。

注 1[16]在制導過程中，彈目相對距離 r滿足

iri0≤ri≤ri(0)，其中ri0是導引頭存在的最小作用距離，ri(0)代表彈目相對距離的初始值。

在實際的制導過程中，如果目標進行機動，其機動加速度是個很難獲得量，把它視為系統的外界干擾，但在制導過程中是有界量。于是有下面的假設：

為了消除帶有角度約束的制導子系統(11)中由于目標機動帶來的外界總干擾di(t)，利用文獻[17]提出的有限時間收斂的非齊次干擾觀測器來估計系統(11)式中的外界總干擾。針對制導子系統(11)，通過設計以下形式的非齊次干擾觀測器(12)來估計外界總干擾。

對于帶有角度約束的制導子系統(11)，在外界干擾存在的情況下，設計視線法向上加速度指令uqi使得視線角速率漸進收斂到零和終端視線角漸進收斂到期望的攻擊角。同一般的滑模控制方法設計相似，首先是設計滑模面，來獲得所期望的控制效果。則選取如下線性滑模面：

式中，ki＞0為設計常數。

為了讓制導系統狀態(tài)快速地從初始狀態(tài)收斂到滑模面(13)，選取以下的快速冪次趨近律：

式中，k1i,k2i＞0，0＜ρi＜1。

在描述定理之前，先給出如下的引理。

引理2[18]假設存在連續(xù)、正定函數V(t)滿足如下的微分不等式：

式中，α,β＞0，0＜γ＜1均為常數，那么系統狀態(tài)將在有限時間內收斂到平衡點。到達平衡點的時間tf滿足下面不等式：

下面給出視線法向上的制導律設計。

定理2 針對帶有角度約束的制導子系統(11)，如果滑模面設計為式(13)，趨近律選為式(14)，以及利用非齊次干擾觀測器(12)式對子系統(11)中外界總干擾進行估計，在以下設計的視線法向上的加速度指令(17)的作用下，滑模面在有限時間內收斂到零。進而可得視線角速率指數收斂到零，視線角qi指數收斂到期望的終端視線角qdi，即實現導彈以期望的攻擊角精確命中目標。

證明：選取如下Lyapunov 函數

對Vi求導，并將式(11)(13)(17)代入其中，可得：

由引理2可得，滑模面si在有限時間內收斂到零。

在滑模面si=0上，，即解得，從而即視線角qi(t)指數收斂到期望的終端視線角qdi，且

即視線角速率也指數收斂到零，證畢。

3 仿真分析

為了驗證本文所提出的帶有角度約束的協同制導律(10)和(17)的有效性，下面考慮三枚導彈同時攻擊一個機動目標的情形，進行仿真驗證。目標的初始位置為(0m,0m)，速度為1700 m/s，初始航向角0°，目標加速度為2

30cos(t)m/s。三枚導彈的初始條件如表 1所示，各導彈可用過載為30g，g=9.8 m/s2。仿真步長取0.001 s。

三枚導彈之間的通信網絡如圖 3所示，該通信網絡是連通的，且對應的權系數矩陣可以描述為

圖3 三枚導彈之間的通信拓撲Fig.3 Communication topology among three missiles

非齊次干擾觀測器(12)的參數取為： λ0i=1.1，λ1i=1.5，λ2i=2，μ0i=3，μ1i=6，μ2i=8， Li=100，其中，i=1,2,3。

沿視線方向的加速度指令(10)的參數選取如下：函數φk取為φk(x)=x，(k =1,2)；γ1=0.6，γ2=3/4。

視線法向上的加速度指令(17)參數取為：ki=1，k1i=6，k2i=2，ρi=2/3。

表1 導彈的初始條件Tab.1 Initial conditions of the missile

本文所設計的帶有角度約束的協同制導律(10)和(17)作用下的仿真結果如圖4～圖8和表2所示。

表2 脫靶量、制導時間和角度誤差Tab.2 Miss distance, guidance time and angle error

由表2可見，三枚導彈都以較小的脫靶量0.0774 m精確命中目標，并且制導時間一致，從而保證了三枚導彈同時擊中目標，并且都以期望的末端視線角打擊目標，角度誤差不超過0.002°。

從圖4可以看到，在協同制導律的作用下，各導彈的彈目相對距離由不同的初始值逐漸趨于一致，大約在7 s時達到一致，并且最后收斂到零，從而使表2中顯示的三枚導彈最終在25.77 s時同時擊中機動目標。

圖4 彈目相對距離Fig.4 Relative distance between missile and target

圖5顯示了3枚導彈視線方向的加速度指令曲線，由圖可見，三枚導彈的加速度曲線在初始階段有彎曲，這是為了調整 3枚導彈的彈目相對距離快速趨于一致，實現對機動目標的快速協同攻擊，當彈目相對距離趨于一致后，過載曲線很快趨于一致并收斂到零。

圖5 視線方向加速度指令Fig.5 Acceleration commands in line-of-sight direction

圖6為導彈的視線法向上的加速度指令曲線，為了能夠使視線角速率收斂到零，制導初期加速度值比較大，但隨著視線角速率收斂到零加速度變的平緩并趨于零附近。

圖6 視線法向加速度指令Fig.6 Acceleration commands in line-of-sight’s normal direction

由圖7可見，相應的視線角速率曲線也較彎曲，但隨著彈目距離的接近，視線角速率曲線快速變小趨于零，這保證了導彈能精確命中目標。

圖8為三枚導彈相應的視線角曲線，可見都收斂到相應的期望值。

從圖4～圖8和表2可以看出，本文所提出的帶有攻擊角約束的協同制導律能夠產生非常好的制導性能，而且應該指出設計視線方向上加速度指令來實施協同攻擊是很有必要的。

圖7 視線角速率Fig.7 Line-of-sight angle rate

圖8 視線角Fig.8 Line-of-sight angle

4 結 論

本文針對多導彈同時攻擊同一機動目標，并且以一定的期望攻擊角擊中目標問題進行了研究，基于帶有角度約束的協同制導模型，設計了一種帶有角度約束的協同制導律。協同制導律的設計過程分為兩方面分別設計：一是運用有限時間一致性理論設計了沿著視線方向上的加速度指令來保證所有的導彈同時擊中機動目標；二是利用非齊次干擾觀測器和滑?？刂评碚撛O計視線法向上的加速度指令來保證每枚導彈都能以期望的攻擊角成功擊中目標。針對三枚導彈同時打擊同一目標機動目標情況，仿真結果驗證了所設計的帶有角度約束的協同制導律的有效性。

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Cooperative guidance law for multiple missiles with impact angle constraints

SONG Jun-hong1, SONG Shen-min1, XU Sheng-li2
(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Institute of Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai Electro-mechanical Engineering Institute, Shanghai 201109, China)

To solve the problem in multiple missiles attacking a maneuvering target simultaneously, a novel cooperative guidance law with impact angle constraints is proposed. At first, based on missile-target relative motion equation in plane, the cooperative guidance model with impact angle constraints is constructed. Then, the process of cooperative guidance law design is divided into two parts. In the first part, with the use of the graph and finite-time consensus theory, the acceleration command on the LOS direction is developed to guarantee that all relative distances from the missile to the target reach the agreement in finite time, and all missiles reach the maneuvering target simultaneously. In the second part, based on the sliding mode control and the non-homogeneous disturbance observer employed to estimate the acceleration of the maneuvering target, the acceleration command along the normal direction of the line-of-sight (LOS) is designed to guarantee that the LOS angular rate between each missile and the target converges to zero and the LOS angle converges to the desired terminal LOS angle. Thus every missile can successfully hit the target with the desired terminal LOS angle. Finally, simulation results for the interception scenario of three missiles intercepting a maneuvering target are provided, which demonstrate the effectiveness and superiority of the proposed cooperative guidance law with impact angle constraints.

cooperative guidance law; impact angle constraints; non-homogeneous disturbance observer; sliding mode control; communication topology; finite-time consensus

V448.133

：A

2016-04-12；

：2016-07-27

航空科學基金（20140177002）；上海航天科技創(chuàng)新基金（SAST201402）；國家自然科學基金創(chuàng)新群體項目（61021002）

宋俊紅（1987—），女，博士研究生。E-mail: hitsjh@163.com

聯 系 人：宋申民（1968—），男，教授，博士生導師，研究方向為非線性系統的穩(wěn)定性分析、魯棒控制、導彈制導與飛行器控制。E-mail: songshenmin@hit.edu.cn

1005-6734(2016)04-0554-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.04.023