葛曉艷

中圖分類號(hào)：G633.65 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 收稿日期：2015-12-02

1.豐富教學(xué)素材，訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合思維

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中應(yīng)用頻率很高的思維技巧，掌握了它，很大一部分復(fù)雜問(wèn)題便得以迎刃而解。從名稱便可以得知，在這個(gè)思維過(guò)程中，“數(shù)”與“形”兩個(gè)元素是交互使用的，因此，訓(xùn)練過(guò)程當(dāng)中，必然同時(shí)涉及二者，自然也就需要引入比較豐富的教學(xué)素材。

例如，我曾要求學(xué)生解答如下問(wèn)題：現(xiàn)有直線y=x+k和曲線x=√1-y2，

若二者恰好存在一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是什么？?jī)H從字面上對(duì)題目進(jìn)行分析，學(xué)生很難找到思路?！按嬖谝粋€(gè)公共點(diǎn)”到底應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)何種數(shù)量關(guān)系呢？與其漫無(wú)目的地進(jìn)行思考，倒不如結(jié)合圖形來(lái)尋找答案。我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生根據(jù)已知條件作出了如下圖象（圖1），直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的情形一目了然，數(shù)量關(guān)系也隨之出現(xiàn)了。這不僅簡(jiǎn)化了思維過(guò)程，更提高了解答問(wèn)題的準(zhǔn)確度。

從適用范圍來(lái)看，需要運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思維的問(wèn)題，大體上都是相對(duì)復(fù)雜一些的，這樣的問(wèn)題無(wú)法單純依靠代數(shù)或幾何的方式進(jìn)行解答，而需要將二者巧妙結(jié)合起來(lái)，在數(shù)與形的相互闡釋與補(bǔ)充過(guò)程中，完成對(duì)相關(guān)問(wèn)題的分析。為了達(dá)到有效訓(xùn)練的目標(biāo)，教師就需要在單一教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上加入一些需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維予以解決的問(wèn)題，讓學(xué)生在感知其必要性的同時(shí)，掌握思維方法。

2.重視歸納提煉，訓(xùn)練動(dòng)靜轉(zhuǎn)化思維

當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)練習(xí)當(dāng)中，加入了越來(lái)越多的動(dòng)態(tài)元素，這已逐漸成為數(shù)學(xué)練習(xí)內(nèi)容的新趨勢(shì)。數(shù)學(xué)也正是一門始終處于變化當(dāng)中的學(xué)科?？梢哉f(shuō)，只有處理好數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中的動(dòng)態(tài)元素，才是準(zhǔn)確抓住數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，把握住它的脈搏。想要有效解決動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題，就要加強(qiáng)對(duì)動(dòng)靜轉(zhuǎn)化思維的訓(xùn)練。

例如，有這樣一個(gè)問(wèn)題：已知點(diǎn)M（3，5），請(qǐng)?jiān)趛軸和直線y=x上分別找一點(diǎn)P和N，使得△MPN的周長(zhǎng)達(dá)到最小。這種帶有動(dòng)態(tài)性質(zhì)的不定問(wèn)題經(jīng)常會(huì)成為學(xué)生解題的困擾。我先請(qǐng)學(xué)生將圖形畫出來(lái)（圖2），然后從思路上進(jìn)行分析：既然要達(dá)到周長(zhǎng)最小，就要將|MP|+|PN|+|MN|取得最小。對(duì)最值進(jìn)行衡量。本題中較難找到合適的不等關(guān)系，因此，我們便應(yīng)當(dāng)考慮能否將三邊轉(zhuǎn)移到同一條直線上，則只需研究線段長(zhǎng)度即可。在這樣的思路下，學(xué)生順利找到了點(diǎn)M關(guān)于y軸和直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)M1、M2，發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)共線取值最小，P、N位置由此確定，成功將變化的動(dòng)態(tài)條件轉(zhuǎn)化為了靜態(tài)問(wèn)題進(jìn)行求解。

動(dòng)靜轉(zhuǎn)化的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)將表面上的動(dòng)態(tài)過(guò)程以靜態(tài)理論方式予以轉(zhuǎn)化呈現(xiàn)的工作。因此，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納提煉，便成了一項(xiàng)十分重要的內(nèi)容，其重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在對(duì)知識(shí)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)靈活運(yùn)用上，只有這樣，才能讓學(xué)生在動(dòng)靜轉(zhuǎn)化當(dāng)中將知識(shí)方法融會(huì)貫通。

3.開放知識(shí)邊界，訓(xùn)練聯(lián)想類比思維

高中數(shù)學(xué)的另一個(gè)顯著特點(diǎn)就是出現(xiàn)了很多開放性題目。對(duì)于知識(shí)的提問(wèn)再也不是僅僅局限于基本形式，而是以越來(lái)越多的靈活樣態(tài)出現(xiàn)。在這之中，很多都是學(xué)生沒有接觸過(guò)的，甚至?xí)?duì)既有知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行一定突破，需要學(xué)生自行挖掘探究方能求解。對(duì)于這種問(wèn)題，需要運(yùn)用聯(lián)想類比思維予以解決。

例如，在學(xué)習(xí)過(guò)橢圓知識(shí)后，我要求學(xué)生試著求出函數(shù)u=√2t+4+√6-t的最值。單純依靠之前學(xué)習(xí)過(guò)的幾種基本函數(shù)的知識(shí)是無(wú)法求解的，大家紛紛認(rèn)為超出了自己的知識(shí)范圍。然而，這個(gè)問(wèn)題卻并不是無(wú)法解決的。經(jīng)過(guò)我的不斷啟發(fā)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，函數(shù)當(dāng)中的兩個(gè)二次根式部分經(jīng)過(guò)平方變換，是可以向橢圓的解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化的。在這樣的聯(lián)想類比思路下，大家試著設(shè)x=√2t+4，y=√6-t，則u=x+y，且x2+2y2=16（0≤x≤2√2），進(jìn)而通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線與橢圓在第一象限有公共點(diǎn)（圖3）得以求解。

思維能力訓(xùn)練不僅是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)要求，也是學(xué)生高效掌握知識(shí)內(nèi)容之必需。高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的知識(shí)數(shù)量多，難度大，如果按部就班地將知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行羅列，逐個(gè)進(jìn)行記憶和訓(xùn)練，會(huì)給學(xué)生造成巨大的課業(yè)負(fù)擔(dān)。因此，我們需要?jiǎng)?chuàng)新方法。思維方式訓(xùn)練能使學(xué)生從根本上強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知，從而系統(tǒng)地掌握解決問(wèn)題的方法。