徐　芳,　張衛(wèi)國,　余志先

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上?！?00093)

?

一類具有時滯的反應(yīng)擴(kuò)散Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)行波解的存在性

徐芳,張衛(wèi)國,余志先

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

摘要：研究了一類具有時滯的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)行波解的存在性.應(yīng)用具有時滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)行波解存在性理論,將所研究系統(tǒng)行波解存在性的問題轉(zhuǎn)化為尋找該系統(tǒng)的一對上、下解.給出了該系統(tǒng)在無窮遠(yuǎn)處的漸進(jìn)衰減行為,完善并改進(jìn)了同類系統(tǒng)行波解存在性的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：時滯; Lotka-Volterra競爭系統(tǒng); 行波解; 存在性; 上下解

1問題的提出

反應(yīng)擴(kuò)散方程在描述時空模式方面起著很重要的作用,其行波解可以用來解釋自然界中的有限速度傳播現(xiàn)象、有限震動現(xiàn)象等,從而備受關(guān)注[1-16].行波解的概念是1937年Kolmogorov在文獻(xiàn)[1]中提出的,用來解釋一維無窮動物棲息地上優(yōu)良基因的傳播過程.而具有空間擴(kuò)散項的兩個種群的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)是生物數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中比較典型且比較重要的模型之一,其模型為

(1)

許多學(xué)者對系統(tǒng)(1)的行波解作了廣泛的研究[2-8],文獻(xiàn)[2,5,8]分別利用相平面分析法、指數(shù)同倫法、度理論的技巧得到了系統(tǒng)(1)的行波解的存在性.

物種的繁殖由于受到妊娠、環(huán)境及成熟過程等各方面因素的影響,物種密度在時間上的滯后是在所難免的,所以,具有時滯的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)得到了學(xué)者們的關(guān)注.

(2)

式中,τ1,τ2,τ3,τ4表示反饋時滯.

但是,先前的一些方法不能夠運用到類似系統(tǒng)(2)這樣具有時滯的反應(yīng)擴(kuò)散Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)中去.于是,Lü等[9]利用單調(diào)迭代方法和上下解的技巧研究了系統(tǒng)(2)的行波解;Li等[10]利用Shauder不動點定理和新的交叉迭代的方法得出了系統(tǒng)(2)的行波解的存在性.

在自然界中,兩個物種的種群數(shù)量受到各自的固有增長率的影響,與此同時,在時間t,t-τi(i=1,2,3,4)自身的以及競爭物種的種群密度增加時,兩個物種的種群密度增長率都會下降,這表明兩個競爭物種的種群密度均分別受到自身在時間t,t-τi(i=1,3)以及競爭物種在時間t,t-τi(i=2,4)時種群密度的影響.受到學(xué)者們對式(1)和式(2)的研究的引導(dǎo),以及文獻(xiàn)[10-11]的結(jié)論的啟發(fā),本文研究以下的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)：

(3)

式中:a1,b1,a2,b2表示物種內(nèi)部的擁擠系數(shù);c1,d1,c2,d2表示兩個物種之間的競爭系數(shù).

綜合考慮現(xiàn)實物種的生長受到多方面內(nèi)部及外部因素的影響,系統(tǒng)(3)這個模型具有更強(qiáng)的現(xiàn)實生物意義.

2預(yù)備知識

具有時滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的一般形式為

(4)

式中:D1,D2>0;fi:2→,i=1,2,且fi是連續(xù)函數(shù).

系統(tǒng)(4)的行波解是一對形如u1(x,t)=φ(x+ct),u2(x,t)=ψ(x+ct)的特解,其中,(φ,ψ)∈C2(,2),c>0,c是波速.將u1(x,t)=φ(x+ct),u2(x,t)=ψ(x+ct)代入系統(tǒng)(4)且仍然用t來代替x+ct,則系統(tǒng)(4)的行波解滿足下面的泛函微分方程:

(5)

(6)

的解.

現(xiàn)給出一些假設(shè):

A2存在2個常數(shù)L1,L2>0,使得

A3(文獻(xiàn)[10,12]中的WQM*條件),存在β1,β2>0,使得

定義集合

(7)

(8)

(9)

文獻(xiàn)[13-14]進(jìn)一步將具有時滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)(4)的行波解的存在性推廣到具有時滯的n個方程組和時空時滯的方程組的行波解的存在性.

3系統(tǒng)(3)的行波解的存在性

將u1(x,t)=φ(x+ct),u2(x,t)=ψ(x+ct)代入系統(tǒng)(3)且仍然用t來代替x+ct,得

(10)

本文將研究系統(tǒng)(3)連接平衡點E1,E4的行波解的存在性,即研究系統(tǒng)(10)滿足邊值條件

(11)

的解的存在性.

對φ,ψ∈([-τ,0],),其中,τ=max{τ1,τ2,τ3,τ4},記

(12)

易得f1,f2滿足假設(shè)A1和A2.

3.1系統(tǒng)(10)滿足WQM*條件

證明令Φ(s)=(φ1(s),φ2(s)),Ψ(s)=(ψ1(s),ψ2(s)),Φ(s),Ψ(s)∈C([-τ,0],2),且

b.eβ1s[φ1(s)-φ2(s)]，eβ2s[ψ1(s)-ψ2(s)]不減,s∈[-τ,0].

于是

f1(φ1,ψ1)-f1(φ2,ψ1)=r1φ1(0)[1-

a1φ1(0)-b1φ1(-τ1)-c1ψ1(0)-

d1ψ1(-τ2)]-r1φ2(0)[1-a1φ2(0)-

b1φ2(-τ1)-c1ψ1(0)-d1ψ1(-τ2)]=

r1[φ1(0)-φ2(0)]-r1d1ψ1(-τ2)·

r1b1[φ1(0)φ1(-τ1)-φ2(0)φ2(-τ1)]-

r1c1ψ1(0)[φ1(0)-φ2(0)]≥(r1-

r1d1M2-2r1a1M1-r1c1M2)[φ1(0)-

φ2(0)]-r1b1φ2(0)[φ1(-τ1)-

φ2(-τ1)]-r1b1φ1(-τ1)[φ1(0)-φ2(0)]≥

r1(1-2a1M1-b1M1-c1M2-d1M2)·

[φ1(-τ1)-φ2(-τ1)]≥r1(1-2a1M1-

b1M1-c1M2-d1M2-b1M1·

eβ1τ1)[φ1(0)-φ2(0)]

當(dāng)τ1>0且充分小,則存在β1>0,使得

因此

同理可得,當(dāng)τ3>0且充分小,則存在β2>0,使得

另外

引理1得證.

3.2系統(tǒng)(10)的一對弱上、下解

又因為a1+b1>c2+d2,a2+b2>c1+d1,則存在ε0,ε1,ε3>0,使得

(13)

對以上的常數(shù)以及適當(dāng)?shù)某?shù)t2,t4>0,定義以下連續(xù)函數(shù):

(14)

(15)

b. 當(dāng)t≥t2+cτ1時,有t-cτ2≥t3,

r1(k1+ε1e-λt)[1-a1(k1+ε1e-λt)-

b1(k1+ε1e-λ(t-cτ1))-c1(k2-ε4e-λt)-

c. 當(dāng)t2

于是

類似地,對任意的t∈,存在>0,使得對時,有

a. 當(dāng)t≤t1時,有t≤t4,

因此

b1(eλ1(t-cτ1)-qeηλ1(t-cτ1))+c1eλ3t+d1eλ3(t-cτ2)]=

cηλ1+r1)-r1(eλ1t-qeηλ1t)[a1(eλ1t-

qeηλ1t)+b1(eλ1(t-cτ1)-qeηλ1(t-cτ1))+c1eλ3t+

r1eλ1t[a1eλ1t+b1eλ1(t-cτ1)+c1eλ3t+

r1eλ1t[(a1+b1)eλ1t+(c1+d1)eλ3t]=

b. 當(dāng)t≥t1+cτ1時,

且對任意的t∈,有.于是,

從而

c. 當(dāng)t1

對任意的t∈,有.則

同理可證,對任意的t∈,存在>0,使得對有

引理2得證.

結(jié)合定理1、引理1和引理2，可得定理2.

參考文獻(xiàn)：

[1]Kolmogorov A N.A study of the equation of diffusion with increase in the quantity of matter,and its application to a biological problem[J].Moscow University Bulletin of Mathematics,1937(1):1-25.

[2]Van Vuuren J H.The existence of traveling plane waves in a general class of competition-diffusion systems [J].IMA Journal of Applied Mathematics,1995,55(2):135-148.

[3]Tang M M,File P C.Propagating fronts for competing species equations with diffusion[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis,1980,73(1):69-77.

[4]Gourley S A,Ruan S.Convergence and travelling fronts in functional differential equations with nonlocal terms:a competition model [J].Siam Journal on Mathematical Analysis,2003,35(3):806-822.

[5]Conley C,Gardner R.An application of the generalized Morse index to travelling wave solutions of a competitive reaction-diffusion model[J].Indiana University mathematics Journal,1984,33(3):319-343.

[6]Gardner R A.Existence and stability of travelling wave solutions of competition models:a degree theoretic approach[J].Journal of Differential Equations,1982,44(3):343-364.

[7]Kanon Y.Parameter dependence of propagation speed of travelling waves for competition-diffusion equations[J].Siam Journal on Mathematical Analysis,1995,26(2):340-363.

[8]Kanel J,I,Zhou L.Existence of wave front solutions and estimates of wave speed for a competition-diffusion system[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,1996,27(5):579-587.

[9]Lü G Y,Wang M X.Traveling wave front in diffusive and competitive Lotka-Volterra system with delays[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010,11(3):1323-1329.

[10]Li W T,Lin G,Ruan S G.Existence of traveling wave solutions in delayed reaction-diffusion systems with applications to diffusion-competition systems[J].Nonlinearity,2006,19(6):1253-1273.

[11]Xia J,Yu Z X,Traveling wave solutions in temporally discrete reaction-diffusion systems with delays [J].Zamm-Journal of Applied Mathematics and Mechanics,2011,91(10):809-823.

[12]Yu Z X,Yuan R.Traveling waves for a Lotka-Volterra competition system with diffusion [J].Mathematical and Computer Modelling,2011,53(5/6):1035-1043.

[13]Yu Z X,Yuan R.Traveling waves of delayed reaction diffusion systems with applications [J].Nonlinear Analysis Real World Applications,2011,12(5):2475-2488.

[14]Yu Z X,Zhao H K.Traveling waves for competitive Lotka-Volterra systems with spatial diffusions and spatio-temporal delays [J].Applied Mathematics and Computation,2014,242:669-678.

[15]劉藝昕,余志先.格上時滯單種群模型的行波解的漸近性[J].上海理工大學(xué)學(xué)報,2015,37(4):322-326.

[16]夏靜,余志先,袁榮.一類具有非局部擴(kuò)散的時滯Lotka -Volterra競爭模型的行波解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2011,34(6):1082-1093.

(編輯:石瑛)

Existence of Traveling Wave Solutions for Reaction-Diffusion Lotka-Volterra Competitive System with Delays

XU Fang,ZHANG Weiguo,YU Zhixian

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：The existence of traveling wave solutions for two species Lotka-Volterra competitive system with delays was investigated.Based on the theory of the existence of traveling wave solutions for reaction-diffusion systems with delays,the main problem was transfered to look for a pair of upper and lower solutions for the system.And the asymptotic behavior of the system was given as an attenuated motion tending to the infinity.The study makes up and improves the results of the existence of traveling wave solutions of a class of systems.

Keywords：delay; Lotka-Volterra competitive system; traveling wave solution; existence; upper and lower solution

中圖分類號：O 175.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

通信作者：張衛(wèi)國(1957-),男,教授.研究方向:非線性系統(tǒng)的理論與應(yīng)用.E-mail:zwgzwm@126.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11071164,11101282,11271260);上海市教委科研創(chuàng)新項目(13ZZ118,14YZ096);上海市一流學(xué)科(系統(tǒng)科學(xué))建設(shè)項目(XTKX2012);滬江基金資助項目(B14005)

收稿日期：2014-08-27

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.01.001

文章編號：1007-6735(2016)01-0001-07

第一作者： 徐芳(1989-),女,碩士研究生.研究方向:非線性系統(tǒng)的理論與應(yīng)用.E-mail:sipangzixu@163.com