葉啟航

(德清縣高級(jí)中學(xué)　浙江 湖州　313200)

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關(guān)于一個(gè)提繩問(wèn)題中能量轉(zhuǎn)化的討論

葉啟航

(德清縣高級(jí)中學(xué)浙江 湖州313200)

摘 要：針對(duì)一道常見(jiàn)競(jìng)賽題中出現(xiàn)的動(dòng)量解答結(jié)論與能量守恒矛盾的問(wèn)題，進(jìn)行深入探討，重新審視常見(jiàn)解釋，并提出新的觀點(diǎn)，指出題目中存在的固有缺陷，并加以更正．

關(guān)鍵詞：提繩動(dòng)量?jī)?nèi)力能量轉(zhuǎn)化

在很多參考書(shū)上，常常會(huì)見(jiàn)到這樣一個(gè)問(wèn)題，一根細(xì)繩放在地上，用力F提起一端，以勻速率提起，求繩離地時(shí)的一些物理量．在這里展示兩本參考書(shū)上的原題．

文獻(xiàn)[1]：一根鐵鏈，平放在桌面上，鐵鏈每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為λ，現(xiàn)用手提起鏈的一端，使之以速度v豎直地勻速上升，試求在從離地開(kāi)始到全鏈恰離地，手的拉力的沖量，鏈條總長(zhǎng)L．

文獻(xiàn)[2]：長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為M的一根柔軟繩子盤(pán)放在水平桌面上，用手將繩子一端以恒定的速率v向上提起，求當(dāng)提起高度為x時(shí)手的提力．

在以上兩種表述中，有一個(gè)很關(guān)鍵的區(qū)別，文獻(xiàn)[1]的鐵鏈?zhǔn)瞧椒诺?，而文獻(xiàn)[2]則是盤(pán)放的．但二者給出的答案是一致的．

較為容易理解的解答如下：在繩提起x時(shí)(對(duì)于文獻(xiàn)[1]x=L)設(shè)力為F．

由動(dòng)量定理

(F-λxg)dt=λdx·v

(1)

由繩約束

(2)

由以上兩式

F=λxg+λv2=λvtg+λv2

(3)

再求沖量

(4)

但是如果進(jìn)一步討論F的做功情況會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題．利用式(3)，有

(5)

觀察式(5)前面一項(xiàng)顯然為繩的重力勢(shì)能增量，而由于繩以速度v勻速向上，后一項(xiàng)是動(dòng)能增量的兩倍，這意味著機(jī)械能是不守恒的．有人對(duì)此提出解釋說(shuō)是繩內(nèi)力做功，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．然而我們知道，內(nèi)力做功的條件是有內(nèi)力存在，且質(zhì)點(diǎn)間存在相對(duì)位移．如果說(shuō)繩確實(shí)有微小形變的話，形變量應(yīng)該與繩的一些性質(zhì)有關(guān)，計(jì)算所得的結(jié)果應(yīng)該涉及到繩的材料、內(nèi)部結(jié)構(gòu)等性質(zhì)，而文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[2]分別采用鐵鏈和柔軟細(xì)繩，計(jì)算所得結(jié)果竟是一致的，這種解釋顯然是錯(cuò)誤的．

那么為什么F做的功會(huì)“少了”一部分呢？

這就要從題目本身說(shuō)起了．文獻(xiàn)[1]中鐵鏈?zhǔn)瞧椒诺?如圖1所示.

圖1

文獻(xiàn)[2]中軟繩是盤(pán)放的,如圖2所示.

圖2

對(duì)于圖1，完全提起后繩的質(zhì)心向左移動(dòng)，則必有向左的力，那么繩在水平方向也一定有速度，則多出來(lái)的一倍動(dòng)能其實(shí)是繩的橫向擺動(dòng)動(dòng)能．而對(duì)于圖2，雖然繩是盤(pán)放但由于提起時(shí)質(zhì)點(diǎn)并不在拉力F作用點(diǎn)的正下方，仍然會(huì)發(fā)生橫向的移動(dòng)，只不過(guò)由于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的擺動(dòng)方向不一樣，繩的質(zhì)心并不發(fā)生偏移，繩會(huì)做復(fù)雜的繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)．

圖3

關(guān)于力做功后物體運(yùn)動(dòng)方向與力的方向不一致的例子有很多，下面舉一例以使討論更為形象．如圖3所示，一根輕繩兩端系有兩個(gè)質(zhì)量為m的小球，初始位置如圖3(a)，在繩中點(diǎn)處施加力恒F．容易想見(jiàn)最后小球相碰前會(huì)具有垂直于F的速度，如圖3(b)，

而顯然全過(guò)程只有F對(duì)系統(tǒng)做功．

對(duì)應(yīng)于本題討論，外力F做功，而內(nèi)力就好比是繩的張力，在繩提起后內(nèi)力將F做的功一部分轉(zhuǎn)化為繩橫向擺動(dòng)的動(dòng)能．事實(shí)上除了F那端上那個(gè)質(zhì)點(diǎn)外，其余質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能均直接來(lái)自于內(nèi)力做功，因此繩運(yùn)動(dòng)方向取決于內(nèi)力方向也就不足為奇了．

回到原題，用上述方法計(jì)算手的沖量或者提力就不那么妥當(dāng)了，原題應(yīng)改為求豎直方向上手的沖量或者提力．而且文獻(xiàn)[1]中豎直提起條件是不可能滿足的，這正是問(wèn)題的癥結(jié)所在．

參 考 文 獻(xiàn)

1沈晨.更高更妙的物理.杭州：浙江大學(xué)出版社,2012.61, 322

2程稼夫.力學(xué).合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社,2013.180,509氣體對(duì)活塞壓力變化量

(收稿日期：2015-10-11)