黃和平

摘 要：只要找到生活原型，類似于■（1-■）的極限問題，小學(xué)生也能順利理解。實(shí)踐證明：再抽象的內(nèi)容，都能用最形象的方法講給每一個(gè)學(xué)生。

關(guān)鍵詞：循環(huán)小數(shù)；商；極限問題

人教版五年級(jí)上冊“用計(jì)算器探究規(guī)律”：用計(jì)算器計(jì)算1÷11，2÷11，3÷11，4÷11，想一想它們的得數(shù)有什么規(guī)律。你能不用計(jì)算直接寫出下面各題的得數(shù)嗎？

5÷11，6÷11，7÷11，8÷11，9÷11

首先學(xué)生用計(jì)算器算出被除數(shù)是1、2、3、4的商：

1÷11=0.0909…

2÷11=0.1818…

3÷11=0.2727…

4÷11=0.3636…

然后請學(xué)生觀察上述算式，說說你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：商都是循環(huán)小數(shù)。

生1：我發(fā)現(xiàn)第二個(gè)算式的商是第一個(gè)算式的2倍。

生2：我發(fā)現(xiàn)第三個(gè)算式的商是第一個(gè)算式的3倍。

生3：我發(fā)現(xiàn)第四個(gè)算式的商是第一個(gè)算式的4倍。

師：誰能說說這是為什么呢？

生3：因?yàn)槌龜?shù)都是11，而被除數(shù)分別是第一個(gè)算式的2倍、3倍、4倍，所以商就是第一個(gè)算式的2倍、3倍、4倍。

生4：每個(gè)商的循環(huán)節(jié)末位與被除數(shù)相加都是10。

生5：我只需要算出1÷11的商就能寫出下面的商，被除數(shù)是1的幾倍，商就是0.0909…的幾倍。

生6：這些商都是循環(huán)小數(shù)，它們的每個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字和都是9。

生7：我還發(fā)現(xiàn)從上到下循環(huán)節(jié)的第一位一個(gè)比一個(gè)大1，第二位一個(gè)比一個(gè)小1，但每個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字和是9。

師：根據(jù)這些規(guī)律，你能不用計(jì)算直接寫出下面算式的商嗎？

5÷11，6÷11，7÷11，8÷11，9÷11

學(xué)生興致勃勃，很快完成，交流時(shí)有根有據(jù)。我當(dāng)時(shí)看見學(xué)生學(xué)得比較輕松，就將此題一個(gè)即興發(fā)揮：你還能直接寫出10÷11、11÷11嗎？

“能！”學(xué)生一起回答。不一會(huì)兒有學(xué)生就寫出了：

10÷11=0.9090…11÷11=1

這時(shí)一個(gè)學(xué)生舉起了手：黃老師我有一個(gè)問題，我利用除數(shù)不變、被除數(shù)擴(kuò)大幾倍商就擴(kuò)大幾倍，11÷11的商就等于0.0909…的11倍，把它的每個(gè)循環(huán)節(jié)乘11得11÷11=0.99…但是11÷11=1，不等于0.99…，這是怎么回事？

全班一下子寂靜下來。我也一愣，很快我反應(yīng)過來——這個(gè)問題已經(jīng)涉及類似于■（1-■）的極限問題。

我知道對于1和0.999…在小學(xué)生看來絕對不等。情急之下，我做了如下處理：

師：你們認(rèn)為1和0.999…之間是什么關(guān)系？

生齊答：1>0.999…

師：剛才×××同學(xué)根據(jù)11是1的11倍，所以11÷11的商也應(yīng)該是1÷11的商的11倍這個(gè)推理過程對不對呢？

少部分學(xué)生：也對。

（看來很多同學(xué)不敢確信這個(gè)商的變化規(guī)律了。）

師：肯定沒有錯(cuò)的。這樣一來1和0.999…都是11÷11的商了。這樣就推得1=0.999…（那少部分人帶著懷疑的表情點(diǎn)著頭）

師：對于這個(gè)等式同學(xué)們肯定無法理解（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭），但它確實(shí)是正確的。你們現(xiàn)在理解不了就不用管它，這是高中數(shù)學(xué)里的極限問題，你們進(jìn)了高中之后就明白了。

無獨(dú)有偶，在當(dāng)天下午數(shù)學(xué)第二課堂活動(dòng)中，一個(gè)學(xué)生遞給我一道數(shù)學(xué)趣味題，我隨手把題目放在展示臺(tái)上呈現(xiàn)給大家并請大家一起思考：在公元前五世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾提出了數(shù)學(xué)史上一道著名的難題：

古希臘神話中跑步英雄阿基里斯，他跑得再快也追不上他前面100米的烏龜。他的理由是：假設(shè)英雄的速度是烏龜?shù)?0倍，當(dāng)英雄追了100米來到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)時(shí)，烏龜已經(jīng)向前走了100÷10=10（米）當(dāng)英雄再追10米時(shí)烏龜又前進(jìn)了10÷10=1（米）；當(dāng)英雄再追1米時(shí)，烏龜又前進(jìn)了1÷10=0.1（米）…這樣阿基里斯和烏龜永遠(yuǎn)相距一段距離，所以總也追不上。你認(rèn)為阿基里斯能追上烏龜嗎？

看完題目學(xué)生議論紛紛。

有學(xué)生說：照這樣看來英雄永遠(yuǎn)追不上烏龜。

有學(xué)生說：按題目講是追不上，但按照實(shí)際講，應(yīng)該追得上，跑步英雄追不上烏龜？不可能。

由于題目有趣，所以學(xué)生的討論自然熱烈，各種觀念互不相讓，好幾分鐘過去了，一女生站起來大聲說：“我認(rèn)為阿基里斯能追上烏龜，因?yàn)樗谧窞觚數(shù)倪^程中他們的距離由100米縮短到10米，再由10米縮短到1米，再由1米縮短到0.1米，再由0.1米縮短到0.01米，這樣他們的距離就越來越近，越來越近，到后來就近得我們的眼睛都看不出間隔了，那還叫距離嗎？那時(shí)就追上了?！保ㄈ嘁魂嚐崃业恼坡暎?/p>

我大吃一驚：“怎么解釋得這么到位呀！”這道題不又是一道極限問題的生活原型嗎？

通過這兩道極限問題的教學(xué)引發(fā)了我如下思考：

1.學(xué)生的探究潛力是無法估量的。

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：通過改變教學(xué)方式讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體。在內(nèi)容合適的情況下，放手讓學(xué)生自主探究往往會(huì)取得意想不到的效果。但不少教師往往不愿放手讓學(xué)生去探究，一是因?yàn)檫@些探究知識(shí)不考，二是擔(dān)心學(xué)生不行，會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度和效果。實(shí)踐證明，只要內(nèi)容合適——屬于最近發(fā)展區(qū)的內(nèi)容、給足探究的時(shí)間和空間，適時(shí)點(diǎn)撥，學(xué)生不僅能自主探究，而且探究的潛能巨大，發(fā)現(xiàn)同樣驚人，更有助于培養(yǎng)學(xué)生自主探究、自主思考、勇于創(chuàng)新的人格。

2.讓“安徒生”參與編寫小學(xué)數(shù)學(xué)課本

上下午兩道極限問題，顯然下午的題目有童話般的情境，更能激發(fā)孩子的探究熱情，更能激發(fā)他們的思維潛能。把小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)貫穿于一個(gè)個(gè)童話、故事中，或用趣味數(shù)學(xué)、“某某猜想”等形式出現(xiàn)，就能把小學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)賦予有趣的情境，數(shù)學(xué)就不再枯燥，也許學(xué)生會(huì)像喜歡信息技術(shù)課那樣喜歡上數(shù)學(xué)課。

3.再抽象的內(nèi)容，都能用最形象的方法教給每一個(gè)學(xué)生

受“英雄追不上烏龜”的原理啟發(fā)，下午我又提出上午1與0.999…的關(guān)系問題。

師：結(jié)合“英雄追不上烏龜”的道理，想一想，1與0.9相差多少？（0.1），1與0.99的差是多少？（0.01），1與0.999的差是？（0.001），1與0.9999的差是？（0.0001）……你發(fā)現(xiàn)什么？

生：隨著小數(shù)點(diǎn)后面9的個(gè)數(shù)增多，它與1的差小數(shù)點(diǎn)后面的0就越來越多。

師：當(dāng)小數(shù)點(diǎn)后面9的個(gè)數(shù)無限個(gè)呢？

生：差的小數(shù)點(diǎn)后面0的個(gè)數(shù)就是無限個(gè)。

師：閉著眼睛想一想，零點(diǎn)幾的小數(shù)點(diǎn)后面是無限個(gè)0，……

師：這不就意味著1與0.999…的差是0了嗎？所以1=0.999…現(xiàn)在能理解嗎？（很多學(xué)生點(diǎn)頭）

讓小學(xué)五年級(jí)的學(xué)生理解類似于■（1-■）的極限問題很難想象。通過這次教學(xué)活動(dòng)，我深感再深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)只要找到了它的生活原型，或者將其轉(zhuǎn)變成小學(xué)生看得見、摸得著、理解得了的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生不僅易于接受，而且樂于學(xué)習(xí)、探究，難怪新課標(biāo)一再強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)問題生活化，生活現(xiàn)象數(shù)學(xué)化。

參考文獻(xiàn)：

單新秋.“循環(huán)小數(shù)”教學(xué)實(shí)錄及評析[J].湖南教育，1999.

編輯 段麗君