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領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦， 感受數(shù)學(xué)魅力

文/常青

中學(xué)生在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應(yīng)用，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂。不管是數(shù)學(xué)概念的建立，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)問題的解決，乃至整個“數(shù)學(xué)大廈”的構(gòu)建，核心問題在于數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)和建立。數(shù)學(xué)家喬治·波利亞說過，完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。課堂教學(xué)在教給學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的同時，更重要的是讓學(xué)生真正領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問題探索中的數(shù)學(xué)思想方法。

基本的數(shù)學(xué)思想是指從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點，它在后繼認(rèn)識中被反復(fù)證實其正確性，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征。它包括符號思想、集合思想、對應(yīng)思想、建模思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、極限思想等。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的升華與結(jié)晶。數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的解決數(shù)學(xué)問題過程中所運用的具體手段（或途徑）。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，因此，兩者必須結(jié)合在一起。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要求教師鉆研教材時，挖掘數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)過程時，滲透數(shù)學(xué)思想方法；突破難點時，運用數(shù)學(xué)思想方法；練習(xí)反思時，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法；歸納總結(jié)時，提升數(shù)學(xué)思想方法。使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，懂得數(shù)學(xué)的價值，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考和解決問題，能把知識的學(xué)習(xí)與培養(yǎng)能力、發(fā)展智力有機地統(tǒng)一起來。下面就談?wù)勗谄匠５慕虒W(xué)中如何加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透：

分析教材，挖掘數(shù)學(xué)思想方法

例如在研究“可能性”時，展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想；研究“三角形內(nèi)角和”時，滲透化歸思想；在研究“分類”時，挖掘分類思想；研究“運算定律”時，滲透符號、轉(zhuǎn)化思想；研究“平面圖形之間的關(guān)系”時，滲透集合思想、轉(zhuǎn)化思想；在挖掘“循環(huán)小數(shù)”時，滲透極限思想等等。教師要認(rèn)真分析和研究教材，理清教材的體系和脈絡(luò)，高屋建瓴，建立各類概念、知識點之間的聯(lián)系，歸納和揭示其蘊含在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法。特別要學(xué)會根據(jù)教材特點和學(xué)生實際研究教學(xué)方法，創(chuàng)造如何把數(shù)學(xué)思想方法滲透到具體的數(shù)學(xué)知識中的條件，設(shè)計出便于學(xué)生學(xué)習(xí)知識、掌握方法，形成思想的課堂教學(xué)。

呈現(xiàn)過程，滲透數(shù)學(xué)思想方法

在知識形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法呈隱蔽形式，滲透在學(xué)生獲得知識和解決問題的過程中，如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，讓學(xué)生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，看到知識背后蘊涵的思想，那么學(xué)生所掌握的知識才是可遷移的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)才能得到質(zhì)的飛躍。

如圓的面積教學(xué)，重點是化歸思想的滲透，難點是極限思想的滲透。因此，筆者是這樣設(shè)計的：第一，能不能用數(shù)方格的方法推導(dǎo)圓面積計算？第二，能不能用幾個相同圓拼成已學(xué)圖形？第三，能不能把圓剪拼割補成已學(xué)圖形？前兩個問題學(xué)生異口同聲：不能！而第三個問題一提出，學(xué)生有的說行，有的說不能，這時老師就與學(xué)生完成實驗。學(xué)生有的拼成近似長方形，有的拼成近似三角形，近似梯形等。然后讓學(xué)生閉上眼睛想，如果分的份數(shù)再多呢，這條線將怎么樣？這個圖形將怎么樣？越來越多……無限多呢？這樣的教學(xué)雖然練習(xí)做得很少，但學(xué)生對極限思想，化歸思想領(lǐng)悟較深。

在解題過程中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是最基本的活動形式之一。教師在數(shù)學(xué)解題過程中注意引導(dǎo)學(xué)生運用轉(zhuǎn)化、符號化、數(shù)形結(jié)合等思想方法，優(yōu)化解題技巧，提高解題效率。要在解題過程中揭示后續(xù)解題活動中解決類似問題的通用思想方法。讓數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程，既是數(shù)學(xué)思想方法親身體驗和獲得的過程，也是通過運用加深認(rèn)識的過程。

例如，在解決“雞兔同籠”問題時，學(xué)生初讀題目，有些無從下手。這時就需要教師引導(dǎo)學(xué)生用容易探究的小數(shù)量代替原題中的大數(shù)量讓學(xué)生探究。第一，重點滲透假設(shè)思想。第二，滲透建模思想。引導(dǎo)學(xué)生掌握“雞兔同籠”問題的數(shù)量關(guān)系和求解模型，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用這一模型解決其他問題。第三，滲透化歸思想。讓學(xué)生意識到許多問題都可以化為“雞兔同籠”問題，讓學(xué)生進一步體會到這類問題在日常生活中的廣泛性。

在解決實際問題中滲透數(shù)學(xué)思想方法加強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，鼓勵學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去分析解決生活實際問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括、建立數(shù)學(xué)模型，探求問題解決的方法，使學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的過程中進一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。

例如：生活中“付整找零”的生活原型是學(xué)生熟悉的事例。教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情景：小明的爸爸原來有325元錢，這個月又可以領(lǐng)到298元獎金，讓學(xué)生扮演爸爸和發(fā)獎人，發(fā)獎人給爸爸3張100元的，爸爸要找回2元。把這樣的生活原型提煉為數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在計算325+298時，用325+298=325+300-2，從而明白“多加要減”的算理。像這樣從學(xué)生熟悉的“常識”上升為“數(shù)理”就是一個建模的過程。

突破重難點，巧妙運用數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點，往往就是需要有意識地運用或揭示數(shù)學(xué)思想方法之處。數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點，往往與數(shù)學(xué)思想方法的更新交替、綜合運用、跳躍性較大有關(guān)。因此，教師要掌握重點，突破難點，更要有意識地運用數(shù)學(xué)思想方法組織教學(xué)。

領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法為我所用

數(shù)學(xué)思想方法的獲得，不僅要求教師有意識地滲透，而更多的是要靠學(xué)生自身在練習(xí)和反思的過程中領(lǐng)悟。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)該精心設(shè)計練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生通過不斷的練習(xí)自覺地檢查自己的思維活動，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問題，運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧。只有這樣才能對數(shù)學(xué)思想方法有所認(rèn)識，由此對數(shù)學(xué)的理解一定會由量的積累發(fā)展到質(zhì)的飛躍。

例：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？此題若把五次所喝的牛奶加起來，即1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32就為所求，但這不是最好的解題策略。先畫一個正方形，并假設(shè)它的面積為單位“1”，由圖可知，1－1/32就為所求，這里不但向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想，還向?qū)W生滲透了類比的思想。

在歸納總結(jié)中提煉數(shù)學(xué)思想方法

探索數(shù)學(xué)思想方法的過程，其重要性絕不亞于結(jié)論本身。在課堂教學(xué)小結(jié)、單元復(fù)習(xí)時，適時對某種數(shù)學(xué)思想方法進行概括和強化，不僅可以使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律，而且可使學(xué)生逐步體會數(shù)學(xué)思想方法的精神實質(zhì)。

如：幾何教學(xué)中運用化歸思想，將原圖形通過割補、分割、平移、翻折等途徑加以“變形”，把未知的面積計算問題轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積計算問題，可使題目變難為易，求解也水到渠成。這樣，不僅使每個學(xué)生明確了不同圖形面積計算的相應(yīng)方法，而且領(lǐng)悟到了還有比計算公式更重要的東西。那就是：把新知轉(zhuǎn)化為舊知，再利用舊知解決新知的化歸思想方法。

在一個人的一生中，最有用的不僅是數(shù)學(xué)知識，更重要的是數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的意識。數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和升華，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。只要認(rèn)真發(fā)掘教材內(nèi)容中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，把它滲透到學(xué)生思維過程中，滲透到知識形成的過程中去，滲透到課堂小結(jié)中去，滲透到學(xué)生作業(yè)中，才能使學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中親身經(jīng)歷、感受、理解、掌握和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，才能真正地讓數(shù)學(xué)思想方法在與知識能力形成的過程中共同生成。做一個真正的“智”者，引領(lǐng)孩子揚起思想的風(fēng)帆，感受數(shù)學(xué)的無窮魅力！

（作者單位：重慶市大學(xué)城第一小學(xué)）

數(shù)學(xué)教材體系有兩條基本線索：一條是數(shù)學(xué)知識，這是明線；另一條是數(shù)學(xué)思想方法，這是蘊含在教材中的暗線。因此，作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須在備課時深入鉆研教材，認(rèn)真體會教材內(nèi)容的編排意圖，能夠從中挖掘出一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，了解它們在小學(xué)教材中是怎樣滲透的，教學(xué)應(yīng)達到怎樣的要求。