陳晨，王自勤，田豐果，陳家兌，徐玉梁

(貴州大學(xué)現(xiàn)代制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州貴陽(yáng)550003)

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基于MATLAB汽車發(fā)動(dòng)機(jī)配氣凸輪的型線設(shè)計(jì)與接觸應(yīng)力分析*

陳晨，王自勤，田豐果，陳家兌，徐玉梁

(貴州大學(xué)現(xiàn)代制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州貴陽(yáng)550003)

摘要：在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)配氣凸輪的型線設(shè)計(jì)過(guò)程中，通過(guò)選用合適型線函數(shù)，設(shè)定預(yù)期從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)邊界條件，推導(dǎo)凸輪接觸應(yīng)力計(jì)算公式，進(jìn)而通過(guò)MATLAB編程，可生成預(yù)設(shè)的從動(dòng)件升程、速度、加速度和凸輪接觸應(yīng)力曲線。文中所涉及的MATLAB程序以期快速完成凸輪設(shè)計(jì)和分析凸輪接觸應(yīng)力為目的，應(yīng)用此方法可顯著提高配氣凸輪設(shè)計(jì)的速度和精度，并為凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)化提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：配氣凸輪型線設(shè)計(jì)MATLAB接觸應(yīng)力

0引言

凸輪機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、可精確實(shí)現(xiàn)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)規(guī)律等特點(diǎn)而被廣泛用于在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)配氣機(jī)構(gòu)中[1]。配氣機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)在很大程度上取決于它的主動(dòng)件,配氣凸輪的型線[2]。而在配氣機(jī)構(gòu)中，配氣凸輪與從動(dòng)件之間的摩擦是一對(duì)重要的摩擦副，若兩者接觸應(yīng)力過(guò)大，容易導(dǎo)致磨損、擦傷和劈裂等故障，進(jìn)而影響配氣機(jī)構(gòu)的正常工作。在設(shè)計(jì)凸輪型線時(shí)，需要計(jì)算并校核凸輪與從動(dòng)件之間的接觸應(yīng)力[3]，然而由于凸輪輪廓的曲率半徑隨凸輪轉(zhuǎn)角的變化而改變，將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題考慮進(jìn)去將致使接觸應(yīng)力計(jì)算量加大，要得到凸輪轉(zhuǎn)角與凸輪接觸應(yīng)力的關(guān)系，用傳統(tǒng)計(jì)算手段難以在工程中實(shí)現(xiàn)。

目前已有的研究多集中在凸輪型線設(shè)計(jì)或凸輪接觸應(yīng)力計(jì)算分析的單方面研究上，兩者同時(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算較少。本文作者示例了一種通過(guò)MATLAB編程，應(yīng)用其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力，在設(shè)計(jì)凸輪型線的同時(shí)也完成了凸輪與從動(dòng)件的接觸應(yīng)力的計(jì)算，并可直觀的得到凸輪從動(dòng)件位移、速度、加速度曲線以及凸輪各轉(zhuǎn)角處的接觸應(yīng)力曲線圖像，便于對(duì)氣門(mén)的狀態(tài)和凸輪與從動(dòng)件之間接觸應(yīng)力進(jìn)行分析，在為凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)化提供理論依據(jù)同時(shí)，也可顯著提高配氣凸輪設(shè)計(jì)的速度和精度。

1凸輪型線函數(shù)的確定

凸輪型線由緩沖段和工作段兩部分組成[4]。緩沖段曲線種類很多，本文以等加速-等速型為例。

與凸輪設(shè)計(jì)常用的其他型線相比，高次多項(xiàng)式凸輪型線因具有良好的整體連續(xù)性和升程曲線高階連續(xù)性等特點(diǎn)，使發(fā)動(dòng)機(jī)的配氣機(jī)構(gòu)獲得良好的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性和動(dòng)力學(xué)特性[5]，而被廣泛的應(yīng)用。在設(shè)計(jì)時(shí)，高次多項(xiàng)式常取五至七項(xiàng)，而第六項(xiàng)以后對(duì)動(dòng)力性能指標(biāo)的影響已經(jīng)很小，且隨著高次多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的增加，凸輪豐滿系數(shù)減小，加速度的絕對(duì)值變大，凸輪機(jī)構(gòu)的工作性能下降[6]。鑒于上述原因，本文中的凸輪工作段的型線以五次多項(xiàng)式為例進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算。

2從動(dòng)件升程函數(shù)與邊界條件

文中的凸輪型線采用對(duì)稱形式，只設(shè)計(jì)上升段，再將上升段函數(shù)對(duì)稱得出下降段。

凸輪緩沖段從動(dòng)件升程曲線函數(shù)表示為：

(1)

凸輪工作段從動(dòng)件升程曲線函數(shù)表示為：

s(α)=C4α5+C5α4+C6α3+C7α2+C8α+C9

α2≤α≤α3

(2)

其中：Ci，i=1-9，為待定系數(shù)；α0為緩沖段起始點(diǎn)；α1為緩沖段分界點(diǎn)；α2為緩沖段終點(diǎn)(工作段起始點(diǎn))；α3為工作段終點(diǎn)；α為凸輪轉(zhuǎn)角，單位：°。

根據(jù)從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律確定升程函數(shù)的邊界條件，現(xiàn)取α0=0°、α1=10° 、α2=15°、α3=80°。

當(dāng)α=0°時(shí)：

當(dāng)α=10°時(shí)：s(α)=0.06

當(dāng)α=15°時(shí)：

當(dāng)α=80°時(shí)：

3接觸應(yīng)力公式推導(dǎo)

對(duì)于平底從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)，平底從動(dòng)件與凸輪輪廓理論上為線接觸，但在受載情況下，由于材料的彈性變形，實(shí)際上為很小的面接觸，且最大接觸應(yīng)力發(fā)生在接觸區(qū)中線上[7-8]。接觸面上的最大接觸應(yīng)力按彈性理論中的赫茲公式計(jì)算：

(3)

式中：Fn為凸輪與平底從動(dòng)件接觸處法向載荷，N；

ρ1、ρ2分別為凸輪實(shí)際輪廓線的曲率半徑和平底從動(dòng)件曲率半徑，mm；

b為凸輪與平底從動(dòng)件的接觸線長(zhǎng)度，mm；

μ1、μ2分別為凸輪與從動(dòng)件材料的泊松比；

E1、E2分別為凸輪與從動(dòng)件材料的彈性模量，MPa。

由于平底從動(dòng)件的曲率半徑趨于無(wú)窮大，即ρ2→∞，本文中凸輪與平底從動(dòng)件采用同種材料制成，故赫茲公式變?yōu)椋?/p>

(4)

式中：E為凸輪與平底從動(dòng)件采用同種材料的彈性模量，MPa；

ρ為凸輪實(shí)際輪廓線的曲率半徑，mm；

μ為凸輪與平底從動(dòng)件采用同種材料泊松比。

4接觸應(yīng)力所需參數(shù)確定

圖1　頂置配氣凸輪機(jī)構(gòu)

頂置配氣凸輪機(jī)構(gòu)如圖1所示。某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣門(mén)質(zhì)量m1=48.2g，平底從動(dòng)件質(zhì)量m2=17.3g，氣門(mén)彈簧質(zhì)量m3=32.2g，氣門(mén)彈簧剛度K=50N/mm，預(yù)緊力F0=260N，接觸線長(zhǎng)度為b=12mm。本文所示例的為常見(jiàn)的鋼制凸輪機(jī)構(gòu)，則有：μ=0.3，E=206GPa。由于該機(jī)構(gòu)的從動(dòng)件是平底的，可知壓力角為0，則彈簧作用于凸輪上的力即為凸輪與平底從動(dòng)件接觸處法向載荷，即：

Fn=K·s+F0+m·a

(5)

m=m1+m2+m3/3

(6)

式中：a為從動(dòng)件的加速度(m/s2)。

而凸輪實(shí)際輪廓線的曲率半徑ρ，為凸輪轉(zhuǎn)角α的函數(shù)。由高等數(shù)學(xué)可知，凸輪輪廓理論廓線曲率半徑用極坐標(biāo)形式表示為：

(7)

式中：R為矢徑。

5編輯MATLAB程序

利用MATLAB軟件編輯凸輪工作段函數(shù)系數(shù)求解、從動(dòng)件升程曲線、不同轉(zhuǎn)速下的從動(dòng)件速度曲線、不同轉(zhuǎn)速下的從動(dòng)件加速度曲線以及不同轉(zhuǎn)速下凸輪轉(zhuǎn)角α與凸輪接觸應(yīng)力σH的關(guān)系曲線的程序[9]。部分程序代碼如下：

clc

clear

syms x C4 C5 C6 C7 C8 C9

format long

s=C4*x^5+C5*x^4+C6*x^3+C7*x^2+C8*x+C9;

s1=diff(s,x);

s2=diff(s,2,x);

s11=subs(s,x,15);

s12=subs(s1,x,15);

s13=subs(s2,x,15);

s14=subs(s,x,80);

s15=subs(s1,x,80);

s16=subs(s2,x,80);

A=[s11;s12;s13;s14;s15;s16];

B=double([subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[1,0,0,0,0,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,1,0,0,0,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,0,1,0,0,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,0,0,1,0,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,0,0,0,1,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,0,0,0,0,1])]);

D=[0.12;0.012;0;8;0;-0.012];

rank(B,D)

..........

aa33=(xx(1)*20*w22^2*n3.^3+xx(2)*12*w22^2*n3.^2+xx(3)*6*w22^2*n3+...

xx(4)*2*w22^2)/1000；

f33=k*s3+f0+m*aa33；

q33=sqrt(f33*E./(2*pi*b.*p3*(1-u^2)))；

plot(n3,q33,′-.k′)；

hold on

legend(′800r/min′,′1500r/min′,′3500r/min′);

set(gca,′xtick′,0∶10∶160,′ytick′,240∶10∶330);

xlabel(′凸輪轉(zhuǎn)角 /alpha(度)′);

ylabel(′接觸應(yīng)力/sigma_H(MPa)′);

6從動(dòng)件的升程、速度、加速度和凸輪接觸應(yīng)力分析

圖2　從動(dòng)件升程曲線

運(yùn)行上述編輯的MATLAB程序，生成從動(dòng)件升程曲線，如圖2所示；發(fā)動(dòng)機(jī)在轉(zhuǎn)速變化時(shí)，不同轉(zhuǎn)速下的從動(dòng)件速度曲線，如圖3所示；不同轉(zhuǎn)速下的從動(dòng)件加速度曲線，如圖4所示；不同轉(zhuǎn)速下凸輪轉(zhuǎn)角α與凸輪接觸應(yīng)力σH的關(guān)系曲線，如圖5所示。

圖4　不同轉(zhuǎn)速下從動(dòng)件加速度曲線

從上述圖可以看出，當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行轉(zhuǎn)速分別為800 r/min、1 500 r/min、3 500 r/min時(shí)，從動(dòng)件最大速度都發(fā)生在53°處，分別為0.877 m/s、2.117 m/s和3.731 m/s；最小的速度都發(fā)生在107°處，分別為-0.877 m/s、-2.117 m/s和-3.731 m/s；最大加速度發(fā)生在31.5°和128.5°處，分別為116.13 m/s2、467.11 m/s2和2 638.16 m/s2；最小加速度發(fā)生在80°處，分別為-212.72 m/s2、-717.11 m/s2和-4 028.51 m/s2?？芍S著轉(zhuǎn)速的增加，從動(dòng)件最大速度和最大加速度越來(lái)越大；最小速度和最小加速度越來(lái)越小。

圖6　最大接觸應(yīng)力處局部放大圖

從圖5和圖6中可以發(fā)現(xiàn)，在0°和160°處，接觸應(yīng)力最小為266.45 MPa，因?yàn)榇藭r(shí)凸輪所受的載荷只有彈簧的預(yù)緊力和氣門(mén)組件較小的慣性力；最大接觸應(yīng)力發(fā)生在凸輪的桃尖處，分別為322.96 MPa、322.94MPa和322.93 MPa，可知隨著轉(zhuǎn)速的增加，最大接觸應(yīng)力有減小的趨勢(shì)，但趨勢(shì)并不明顯。

7結(jié)論

本文通過(guò)應(yīng)用MATLAB強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理功能，示例了一種配氣凸輪型線設(shè)計(jì)和接觸應(yīng)力分析的方法，得出以下結(jié)論：

選擇適當(dāng)?shù)耐馆喰途€函數(shù)，將預(yù)期的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)參數(shù)設(shè)置為邊界條件，并設(shè)置從動(dòng)件的質(zhì)量與剛度和不同轉(zhuǎn)速參數(shù)，應(yīng)用MATLAB編程，可快速生成從動(dòng)件的位移和不同轉(zhuǎn)速下從動(dòng)件速度、加速度和凸輪接觸應(yīng)力曲線；通過(guò)改動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)值，可再次快速的完成設(shè)計(jì)計(jì)算，顯著提高配氣凸輪設(shè)計(jì)的速度和精度，并為凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)化提供理論依據(jù)。

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Profile design and contact stress analysis of automotive engine valve cam based on MATLAB

CHEN Chen，WANG Ziqin，TIAN Fengguo，CHEN Jiadui，XU Yuliang

Abstract:In the process of the profile design for automotive engine valve cam, by selecting appropriate profile function, setting the boundary conditions of expected follower motion, deriving cam contact stress formula, and then through MATLAB programming, the curves of pre-follower lift, velocity, acceleration, and the cam contact stress can be generated. The MATLAB program involved in this paper is projected to quickly complete the design and analysis of cam contact stress. Application of this method can significantly increase the speed and precision of valve cam design，and provide theoretical basis for the optimization of cam mechanism.

Keywords:valve cam; profile design; MATLAB；contact stress

收稿日期：2015-07-06

作者簡(jiǎn)介：陳晨(1990-)，男，河北邯鄲人，碩士，機(jī)械設(shè)計(jì)及理論專業(yè)，主要研究方向：現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。

基金項(xiàng)目：貴州省科技廳貴州大學(xué)聯(lián)合基金(黔科合LH字[2014]7626)。

中圖分類號(hào)：TH112.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1002-6886(2016)01-0023-04