張尚榮， 譚 平， 杜永峰， 周福霖， 包 超

(1.蘭州理工大學(xué)防震減災(zāi)研究所 蘭州，730050) (2.廣州大學(xué)工程抗震研究中心 廣州，510405) (3.寧夏大學(xué)土木與水利工程學(xué)院 銀川，750000)

層間隔震體系可靠度的靈敏度分析*

張尚榮1,3， 譚 平2， 杜永峰1， 周福霖2， 包 超1

(1.蘭州理工大學(xué)防震減災(zāi)研究所 蘭州，730050) (2.廣州大學(xué)工程抗震研究中心 廣州，510405) (3.寧夏大學(xué)土木與水利工程學(xué)院 銀川，750000)

考慮層間隔震體系(上部隔震結(jié)構(gòu)、中間層隔震結(jié)構(gòu)、下部隔震結(jié)構(gòu))隨機參量和地震激勵的不確定性，利用隨機響應(yīng)面方法，結(jié)合基于線性無關(guān)原則的概率配點方法，將隱式的結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成顯式函數(shù)，在此基礎(chǔ)上利用Monte-Carlo分別對3種隔震結(jié)構(gòu)形式可靠度進行分析，并分析了其對應(yīng)的可靠度靈敏度。結(jié)果表明：層間隔震體系中，各隨機變量均值變化對體系的可靠度將會產(chǎn)生不同的影響，各隨機變量方差的增加都將降低體系的可靠度；可通過優(yōu)化設(shè)計變量，嚴格控制施工質(zhì)量(控制變量方差)，降低其對體系可靠度的影響?？煽慷褥`敏度的分析結(jié)果可以提供體系的可靠度指標對隨機參量變化的重要性排序，從而提高大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度分析和優(yōu)化設(shè)計的效率,同時為層間隔震體系可靠度靈敏度的進一步研究奠定基礎(chǔ)。

層間隔震體系； 隨機響應(yīng)面法； 線性無關(guān)概率配點； 首超破壞準則； 可靠度靈敏度

引 言

工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的安全可靠是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計的主要目的之一。層間隔震結(jié)構(gòu)體系作為一種新型的結(jié)構(gòu)體系，其結(jié)構(gòu)物理參數(shù)具有分散性，承受的載荷帶有隨機變化的性質(zhì)，從而導(dǎo)致了具有隨機參數(shù)的隨機層間隔震結(jié)構(gòu)體系。因此，研究這種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性和可靠性靈敏度問題有重要的意義[1]。通過靈敏度分析，可以確定調(diào)整何種設(shè)計參數(shù)最為有效，從而選取盡量少的優(yōu)化變量，幫助工程技術(shù)人員合理地建立結(jié)構(gòu)系統(tǒng)安全容限和控制隨機參數(shù)。

對工程結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度的研究，自文獻[2]提出特征值和特征向量靈敏度以來，已有很多學(xué)者對機電工程領(lǐng)域的靈敏度問題進行了研究[3-4]。傳統(tǒng)的多項式響應(yīng)面法在結(jié)構(gòu)可靠性分析中占有重要的地位，但其結(jié)果容易受到擬合函數(shù)形式及擬合點位置的影響，限制了響應(yīng)面法對極限狀態(tài)函數(shù)的近似程度[5]。文獻[6]提出隨機響應(yīng)面法(stochastic response surface method, 簡稱SRSM)，并將其用于環(huán)境和生物學(xué)等領(lǐng)域中的概率分析。層間隔震體系作為一種新型的結(jié)構(gòu)體系，隔震層位置設(shè)置的不同，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出不同的工作機理，影響結(jié)構(gòu)可靠度的主要參量也不同，因此研究隔震層位置變化而影響結(jié)構(gòu)可靠度的主要參量對層間隔震體系的經(jīng)濟性和安全性具有重要意義。筆者將隨機結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析引入層間隔震結(jié)構(gòu)體系，研究體系中各隨機變量或其參數(shù)變化對可靠度的影響規(guī)律，從而為各隨機變量或參數(shù)之間的重要性程度提供橫向?qū)Ρ?，對層間隔震體系的可靠性設(shè)計、修改、優(yōu)化等方面具有指導(dǎo)意義。

1 層間隔震體系隨機響應(yīng)分析

在線彈性情況下，圖1為層間隔震體系計算模型，其運動方程為

(1)

圖1 層間隔震體系計算模型Fig.1 Calculation mode of inter-story isolated system

層間隔震體系是典型的非經(jīng)典阻尼體系，其阻尼矩陣不能在N維主空間中解耦。筆者采用復(fù)模態(tài)方法對其進行動力特性分析。

(2)

式(2)對應(yīng)的特征矢量方程為

(3)

復(fù)模態(tài)質(zhì)量為

復(fù)模態(tài)剛度為

將狀態(tài)量用復(fù)模態(tài)表示并代入式(3)，經(jīng)傅里葉變化可得傳遞矩陣

(4)

(5)

結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)功率譜可表示為

(6)

結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差為

(7)

2 隨機響應(yīng)面模型的建立

隨機響應(yīng)面法[8]是基于具有平方可積概率密度函數(shù)的隨機變量可以表達為獨立標準分布隨機變量的函數(shù)形式假定，將輸入隨機變量轉(zhuǎn)換為獨立同分布的標準正態(tài)隨機變量的函數(shù)，并利用獨立標準正態(tài)隨機變量的混沌多項式來描述隨機響應(yīng)。

(8)

隨機響應(yīng)面法的結(jié)果取決于待估參數(shù)bi1,bi1i2，…，bi1i2…in的求解中概率配點的選擇。一般來說，p階隨機多項式展開配點是通過p+1階Hermite多項式的根確定[9]，且按照此方法確定的可供選擇的配點數(shù)目N遠遠大于所需配點Nc的數(shù)目。筆者采取基于線性無關(guān)原則選取概率配點，剔除了大量線性相關(guān)配點，保證混沌多項式系數(shù)矩陣按行線性無關(guān)，且系數(shù)矩陣為行滿秩矩陣，待定系數(shù)有唯一解。這樣既確保計算結(jié)果的穩(wěn)定性，又提高了計算效率。

以上的樣本點均在標準正態(tài)空間內(nèi)，根據(jù)需要將其轉(zhuǎn)換到原始空間。筆者選取變量均假定服從正態(tài)分布，其轉(zhuǎn)換形式為

(10)

其中：μi，σi分別為變量xip的均值和標準差。

轉(zhuǎn)換后的原始空間樣本點形成試驗樣本，通過動力分析方法得到結(jié)構(gòu)的真實響應(yīng)，用最小二乘法求解線性方程組得到待定系數(shù)，即得到隨機響應(yīng)面模型的顯式表達函數(shù)。

(11)

(12)

其中：B為待估參數(shù)系數(shù)矩陣；X為Hermite多項式組合矩陣；Y為響應(yīng)矩陣；k為模型驗證的樣本數(shù)量；p為隨機變量數(shù)量。

3 層間隔震體系可靠度靈敏度分析

3.1 基于首超破壞的動力可靠度

結(jié)構(gòu)受地震作用動力可靠度分析是典型的基于首次穿越破壞分析,假定地震激勵和結(jié)構(gòu)響應(yīng)為零均值平穩(wěn)隨機過程。記ye和σy分別為結(jié)構(gòu)響應(yīng)y(t)的極值(絕對最大值)和標準差，定義無量綱參數(shù)[10]為

(13)

根據(jù)水平跨越次數(shù)是Poisson過程的假定，求得極值的概率分布為

(14)

(15)

η的極值標準差為

(16)

隨機過程y(t)的極值的期望值表示為

(17)

層間隔震體系以層間位移角極限狀態(tài)表示的狀態(tài)方程為

(18)

可靠性指標定義為

(19)

若y(x)服從正態(tài)分布，得到可靠度

(20)

3.2 可靠度靈敏度

可靠度靈敏度反映設(shè)計參數(shù)的改變對失效概率的影響程度，常常為結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化設(shè)計確定最優(yōu)解的搜索方向，是結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化設(shè)計的重要組成部分[11]。筆者在SRSM生成顯式函數(shù)的基礎(chǔ)上建立了基于Monte-Carlo模擬的可靠度靈敏度分析方法，基本隨機參數(shù)矢量的均值矩陣μ和方差矩陣D的靈敏度為

(21)

(22)

其中

(23)

4 仿真分析

以兩自由度等效模型通過NSGA-Ⅱ優(yōu)化分析，得到以基底剪力最小為優(yōu)化目標的層間隔震體系在不同質(zhì)量比下的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比作為算例模型。

4.1 遺傳優(yōu)化算法—NSGA-Ⅱ

NSGA-Ⅱ在選擇過程中采用非支配排序降低了計算復(fù)雜度，加快了收斂速度。形成支配集后引入的精英策略提高了結(jié)果的優(yōu)化精度與種群水平。同時加入的擁擠度處理等方法保證了種群的分布性與多樣性。經(jīng)過交叉變異等操作直到指定最大代數(shù)后終止，解集的收斂性好且易于得到全局最優(yōu)解的優(yōu)點，成為其他多目標優(yōu)化算法性能的基準。

4.2 工程算例

通過NSGA-Ⅱ優(yōu)化分析，結(jié)構(gòu)在不同質(zhì)量比下的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比的結(jié)果如表1所示，上、下部子結(jié)構(gòu)的阻尼比取為0.05；上、下部子結(jié)構(gòu)的高度分別均為2.7 m和3.3 m； 結(jié)構(gòu)的隨機激勵模

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)統(tǒng)計信息

型采用Clough-Penzien譜[12]，譜強度因子S0=9.537 cm2/s3；地基土卓越頻率和阻尼比ωf和ξf分別為ωf=17.95 rad/s，ξf=0.72；ωc和ξc分別取ωc=0.1-0.2ωf，ξc=ξf。

假定結(jié)構(gòu)隨機變量為隔震層剛度kiso，隔震層阻尼比ξiso，上、下部子結(jié)構(gòu)剛度ksup，ksub，上、下部子結(jié)構(gòu)質(zhì)量msup，msub，上部子結(jié)構(gòu)質(zhì)，且假定以上各隨機變量均服從正態(tài)分布，其均值和變異系數(shù)如表1所示。小震下，各樓層層間的位移角限值[13]取為dmax=1/550 rad；隔震層的水平位移限值不應(yīng)超過隔震支座有效直徑的0.55倍和支座橡膠總厚度3.0倍二者中的較小值(這里假定前者小于后者，即選取0.55d作為限值)。大震下，考慮到層間隔震體系的非線性問題及可靠度指標選取的復(fù)雜性，筆者僅對體系在小震下的可靠性靈敏度進行分析，為大震下體系可靠度靈敏度研究奠定基礎(chǔ)。

4.3 結(jié)果分析

根據(jù)各隨機變量在結(jié)構(gòu)中變異程度概率大小給予變量不同的變異系數(shù)，如表1所示。利用隨機響應(yīng)面方法并根據(jù)式(8)，(10)分別得到層間隔震結(jié)構(gòu)體系的層間位移角極值的隨機響應(yīng)面函數(shù)。限于篇幅，僅給出層間隔震體系質(zhì)量比μ=2.0(中間層隔震結(jié)構(gòu))的隨機響應(yīng)面函數(shù)。

(24)

其中

-0.39,774,1550 }

1.10×10- 3,3.03,-2.97,5.33×104,

3.71×105, -8.09×106, 1.78×107,

-6.72×10-5,-0.156,0.0307,

-0.0412,-0.196,310 }

對隨機響應(yīng)面函數(shù)應(yīng)用Monte Carlo模擬得到層間隔震體系狀態(tài)函數(shù)的概率統(tǒng)計參數(shù)[14]，如表2所示。結(jié)合隨機響應(yīng)面顯式函數(shù)的概率統(tǒng)計參數(shù)，兩者模擬所得數(shù)據(jù)相近。

表2 隨機響應(yīng)面函數(shù)概率統(tǒng)計信息(極限狀態(tài)均值)

表3和圖2為考慮體系各隨機變量變異系數(shù)時，層間隔震體系可靠度靈敏度的計算結(jié)果。可以看出：層間隔震體系中，隔震層阻尼比ξiso的增加，增加了結(jié)構(gòu)的阻尼耗能，從而提高了體系的可靠度。對于中間層隔震結(jié)構(gòu)，隔震層剛度kiso和上部子結(jié)構(gòu)剛度ksup的增加，提高了結(jié)構(gòu)的可靠性，而下部子結(jié)構(gòu)剛度ksub及上、下部子結(jié)構(gòu)質(zhì)量的增加，將使結(jié)構(gòu)可靠度有所降低。從影響程度上看，中間層隔震結(jié)構(gòu)各隨機變量均值的可靠度靈敏度排序，即各參數(shù)之間重要性程度為：隔震層阻尼比、上部子結(jié)構(gòu)剛度、隔震層剛度、下部子結(jié)構(gòu)剛度、下部子結(jié)構(gòu)質(zhì)量和上部子結(jié)構(gòu)質(zhì)量。同理，得到上部隔震和下部隔震結(jié)構(gòu)各參數(shù)之間重要性程度。另外，各隨機變量方差的增加都將降低體系可靠度。因此，對于層間隔震體系，通過在設(shè)計中優(yōu)化隨機變量的均值以及施工中嚴格控制施工質(zhì)量(控制各變量方差)，降低其對可靠度的影響。

表3 層間隔震體系可靠性靈敏度分析結(jié)果

圖2 可靠性極值均值靈敏度Fig.2 Reliability sensitivity of extremum average

5 結(jié) 論

1) 層間隔震體系中，上部子結(jié)構(gòu)和下部子結(jié)構(gòu)剛度的變化對整體結(jié)構(gòu)的可靠度將產(chǎn)生不同影響，在體系設(shè)計中應(yīng)嚴格控制上、下部子結(jié)構(gòu)剛度，從而降低其對結(jié)構(gòu)可靠度的影響。

2) 隨機參量方差對層間隔震體系可靠度的靈敏度總體表現(xiàn)為各隨機變量方差的增加都將降低體系的可靠度。因此在結(jié)構(gòu)施工階段，應(yīng)嚴格控制施工質(zhì)量，降低其對體系可靠度的影響。

3) 層間隔震體系可靠度的靈敏度分析結(jié)果可以提供體系的可靠度指標對隨機參量變化的重要性排序，對影響較小的參量可以作為定量處理，可以提高大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠度分析和優(yōu)化設(shè)計的效率。

4) 僅分析了層間隔震體系“小震”下的變形能力可靠度的靈敏度，還需驗算其在“中震”和“大震”下的變形能力和極限承載能力的可靠度靈敏度，該方法為層間隔震體系可靠度靈敏度的進一步研究奠定了基礎(chǔ)。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.017

*國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(“九七三”計劃)資助項目(2012CB723300,2012CB723304)；國家科技支撐計劃子課題資助項目(2012BAJ07B02)；國家自然科學(xué)基金重點資助項目(91315301-07)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51078097,51178211)；廣州市羊城學(xué)者科技計劃資助項目(10A032D)

2014-02-20；修回日期：2014-05-22

TU352.1

張尚榮，男，1984年12月生，博士研究生。主要研究方向為結(jié)構(gòu)減震控制。曾發(fā)表《基于響應(yīng)面法的層間隔震結(jié)構(gòu)地震易損性分析》(《振動與沖擊》2014年第33卷第15期)等論文。 E-mail:confidence.5@163.com 通信作者簡介：譚平，男，1973年9月生，博士、教授。主要研究方向為結(jié)構(gòu)減振控制。 E-mail:ptan@gzhu.edu.cn