郭龍先， 胡曉飛

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 云南 昭通 657000)

●數(shù)學(xué)研究

自然數(shù)與無限性思想的歷史透視

郭龍先， 胡曉飛

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 云南 昭通 657000)

無窮一直是詩人、藝術(shù)家、哲學(xué)家、神學(xué)家、科學(xué)家關(guān)注的焦點，它有著極為豐富的內(nèi)涵，在不同的思想領(lǐng)域中有著不同的表現(xiàn)形式.自然數(shù)引出的無限多、無窮大等概念，打開了人類認識無限性的大門.對自然數(shù)序列“不可窮盡”的不同理解，產(chǎn)生了“實無限”與“潛無限”的數(shù)學(xué)哲學(xué)爭論.

自然數(shù)； 有限； 無窮； 實無限； 潛無限

無窮！這是一個既使人迷惑，又令人興奮的話題.數(shù)千年來，它始終刺激著人類永不枯竭的想象力，至今依然魅力不減.無窮一直是詩人、藝術(shù)家、哲學(xué)家、神學(xué)家、科學(xué)家關(guān)注的焦點，它有著極為豐富的內(nèi)涵，在不同的思想領(lǐng)域中有著不同的表現(xiàn)形式.

1 生有涯，知無涯——心靈的震撼與思想的困惑

詩人抒發(fā)“人生代代無窮已，江月年年只相似”的情感；愚公堅信：“子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫.子子孫孫，無窮匱也”的信念；莊子有“吾生也有涯，而知也無涯.以有涯隨無涯，殆已”的感慨.個人的生命短暫即逝，而人類的存在則是綿延不絕.以有限的人生叩問無窮的底蘊，古今中外不知有多少文人墨客、哲人學(xué)士為之驚嘆與恐懼、興奮和困惑.“前不見古人，后不見來者；念天地之悠悠，獨愴然而涕下.”陳子昂一曲《登幽州臺歌》，表達了人類面對無窮時空的千古浩嘆.

西方哲人畢達哥拉斯說：“無限標志著‘惡’，它令人望而生畏.”帕斯卡感嘆道：“這些無限空間的永恒沉默使我恐懼.”康德認為無限“有著令人恐怖的崇高”.康托爾說：“所有這些特殊類型的無限，都是永恒的，它們都具有神性.”希爾伯特指出：“無限這個概念既是我們最偉大的朋友，也是我們心靈寧靜的最大敵人……”

面對無窮，智者惠施的結(jié)論是：“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一”；希臘哲人阿拉克薩哥拉同樣認為：“在小的當中沒有最小的，在大的當中沒有最大的；但是總有某個東西最小，也總有某個東西最大.”這一東西交映，合若符契的思想，正如錢鐘書先生所言：“東海西海，心理攸同；南學(xué)北學(xué)，道術(shù)未裂.”從中國先秦名家學(xué)派“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的命題，到古希臘“芝諾悖論”所涉及的無窮大量、無限可分性、運動和連續(xù)性等深奧而復(fù)雜的內(nèi)容，不知吸引了多少天才和智者的目光.

不管用什么方法考察無窮，最終都將回到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，因為正是在這里才有無窮概念最深的根基.丹齊克寫到(著重號為原作者所加)：

無限的概念既不是實驗的天然物，也不是邏輯的必然物；而是數(shù)學(xué)的必然物.頭腦知道它能想象出一種可能的動作的無限次的重復(fù)，我們對頭腦的能力的這種肯定也許是一種純粹的幻想，然而它卻是一種方便的，從而就是必要的幻想了.[1]

從遠古結(jié)繩記事，到19世紀末無窮大數(shù)學(xué)的建立，其間經(jīng)歷了數(shù)百代人，上萬年的探索與奮斗.外爾(Weyl，1885—1955年)認為數(shù)學(xué)就是關(guān)于無窮的科學(xué).幾何學(xué)和微積分中面積和體積的確定；e，π和其它無理數(shù)的近似計算；三角學(xué)、微積分、半衰期、無窮集；極限、級數(shù)、動態(tài)對稱還有無窮生成的分形、混沌理論、大素數(shù)的連續(xù)搜索、超限數(shù)等等.確實，數(shù)學(xué)對無窮的認識是人類最偉大的成就之一.因而那些思想深邃，本領(lǐng)高強的數(shù)學(xué)家們，為了不斷拓展人類認識的視野，依然雄心勃勃地在“無限”問題上大做文章.

與無窮這一概念密切相關(guān)的思想方法，在許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著至關(guān)重要的作用.實數(shù)集合的無限性在現(xiàn)代科學(xué)中居于核心地位，要是我們沒有發(fā)現(xiàn)“極限”，現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展就無從談起.有了級數(shù)、序列及其極限的概念，數(shù)學(xué)家才具備理解無理數(shù)性質(zhì)的條件.在高等數(shù)學(xué)中，我們用極限概念研究連續(xù)的變化，解開了曲線、加速度和運動中蘊含的數(shù)學(xué)奧秘.即使一個孩子學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)，也要以每一個數(shù)都有一個后繼者，這一保證自然數(shù)列有無窮多項的公理為基礎(chǔ)；在幾何學(xué)中我們能夠在兩個方向上任意地延長一條直線，也是與無限性密切相關(guān)的.美國數(shù)學(xué)家克勞森說：

任何討論數(shù)的話題，如果完全不涉及無窮，那將是毫無意義的，……要理解數(shù)必須涉及無窮——它們是“無窮無盡”的，因為數(shù)學(xué)肇始于數(shù)的研究，所以，要是抓不住這個奇怪而美麗的概念，我們就別想去真正認識和欣賞數(shù)學(xué).[2]

如果離開了無窮，那么數(shù)學(xué)家的工作將顯得微不足道.例如：公式

我們可以用任一整數(shù)來代替n，如n=2或n=5，所以這個公式顯然包含著無限多個命題，這一結(jié)論成立的證明涉及自然數(shù)的無窮性質(zhì).但對于個別數(shù)字成立的等式

則可簡單地通過計算來加以驗證，數(shù)學(xué)家對此毫無興趣.

無窮有很多面孔，外行人經(jīng)常認為它是一種比所有數(shù)都大的“數(shù)”.多數(shù)人在思考無窮時，傾向于往大的方面考慮.其實，無窮的要義在于它與非常大(無窮大量)、非常小(無限可分或連續(xù)性問題)均有密切聯(lián)系.正如東晉學(xué)者張湛所言：

世咸知積小可以高大，而不悟損多可以至少.夫九層起于壘土，高岸遂為幽谷.茍功無廢舍，不期朝夕，則無微而不積，無大而不虧矣.今砥礪之與刀劍相磨不已，則知其將盡.二物如此，則丘壑消盈無所致疑.若以大小、遲速為惑者，未能推類也.[3]

“至大無外，至小無內(nèi).”無窮這一概念朝大的方向和小的方向分別引出了宇宙論和邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)等方面的問題.

無窮曾經(jīng)是許多悖論中的罪魁禍首，芝諾的阿基利斯追烏龜?shù)你Ｕ撘约岸终f悖論、伽利略所提出的關(guān)于線段、點和無窮集的悖論始終激勵著人類的好奇心.徹底弄清無窮這一概念的實質(zhì)成為維護人類智力尊嚴的一種需要.數(shù)學(xué)是“研究無限的科學(xué)”，理應(yīng)擔當起征服無窮的重任.古希臘的著名學(xué)者中還有阿拉克薩哥拉、亞里士多德、阿波羅尼奧斯等都深思和辯論過無窮中呈現(xiàn)出來的種種難題.在數(shù)學(xué)王國中發(fā)現(xiàn)或攻克一個個無窮難關(guān)的大師還有，畢達哥拉斯、埃利亞的芝諾、安提豐、歐多克斯、歐幾里得、阿基米得、惠施、劉徽、劉洪、祖沖之、伽利略、傅立葉、柯西、黎曼、羅巴切夫斯基、高斯、波爾查諾、萊布尼茲、戴德金、魯賓遜、芒德布羅等等，他們無一不是人類創(chuàng)造的數(shù)學(xué)星空中熠熠生輝的思想明星.

2 循環(huán)之理，豈有窮乎——對大數(shù)的認識與把握

史前的人類不可能知道真正抽象的數(shù)，更不能把計數(shù)的事物跟抽象的數(shù)相聯(lián)系，也許在原始人的心目中數(shù)都是有限的.客觀的需要和數(shù)學(xué)的發(fā)展都促使人們?nèi)フJ識和把握越來越大的數(shù).丹齊克說：“人類在極為有限的數(shù)知覺之外，學(xué)會了另一種技巧來給他幫忙，這種技巧注定了使他們未來的生活受到巨大的影響.這技巧就是計數(shù).”他說：

正是計數(shù)，才使具體的，不同質(zhì)的表達多寡的概念結(jié)合為統(tǒng)一的抽象的數(shù)概念.前者是原始人的特點，后者則是數(shù)學(xué)發(fā)展的前提.[1]5

自然數(shù)引出了無窮多、無窮大等無限性的概念，正是它們的演進，打開了人類認識無限性的大門.的確，我們不能想象計數(shù)過程會有盡頭，每一個自然數(shù)都有一個后繼數(shù)，沒有最后一位數(shù)，存在著無限多的數(shù).對此，克勞森指出：“為了理解自然數(shù)必定要對無窮有點感覺”.

“數(shù)有窮乎？”無窮的概念或?qū)蝈e地與大數(shù)相聯(lián)系.起初，對一些較大的數(shù)，人們尚能理解，還可以利用已有的記數(shù)單位去表示它.但是，隨著人們認識的發(fā)展，這些大數(shù)也在迅速地擴張，原有的記數(shù)單位難以為用.《數(shù)術(shù)記遺》中記載了漢朝時劉洪與徐岳師生之間，就大數(shù)是否有窮這一問題所作的一次精深對話.

徐岳問曰：數(shù)有窮乎？

會稽(劉洪)答曰：吾曾游天目山中，見有隱者，世莫知其名，號曰天目先生，余亦以此意問之.先生曰：世人言三不能比兩……數(shù)不識三，妄談知十.不辨積微之為量，詎曉百億于大千？黃帝為法，數(shù)有十等.……億、兆、京、垓……從億至載，終于大衍.

會稽問曰：先生之言，上數(shù)者數(shù)窮則變，既云終于大衍，大衍有限，此何得無窮？

先生答曰：數(shù)之為用，言重則變，以小兼大，又加循環(huán).循環(huán)之理，豈有窮乎！

數(shù)有窮乎？不僅包含著有限與無窮關(guān)系的哲學(xué)思考，還涉及到如何利用有限的方法來表達無窮無盡的“大數(shù)”這一現(xiàn)實問題，這的確是數(shù)學(xué)發(fā)展中需要回答的重大課題.徐岳與其老師劉洪的對話，精彩地闡明了“數(shù)窮則變”的深刻道理：天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循環(huán)之理”，用有限之法把握無窮之數(shù).而“言重則變”則是達到這一目的之重要思想，使用劉洪(約130—196年)所提出的“上數(shù)”重進制(萬萬為億，億億為兆，兆兆為京……)可以得到任意大的數(shù)，直至無窮.在《孫子算經(jīng)》中也有：“萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰穰，萬萬穰曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載”的大數(shù)之法.

我們今天仍在使用的“萬萬為億”的計數(shù)法，是20世紀40年代中期才確定下來的統(tǒng)一用法.1944年11月28日，重慶《中央日報》對此作了說明：

我國數(shù)位系十進位制，數(shù)字大者則以億、兆、京、垓四字代之，而此四字之含義有二：(一)以十萬為億，十億為兆，十兆為京，十京為垓.(二)以萬萬為億，萬億為兆，萬兆為京，萬京為垓.今人事進化，數(shù)字用途亦廣，即如人口貨幣兩端而論，如以十萬為億，即有單位太小，不足敷用之虞，宜以萬萬為億；……根據(jù)上述理由提請大會通過，請建議政府明令確定數(shù)位，以萬萬為億.

歷史上印度佛教對大數(shù)也具有特殊的興趣.東漢時期翻譯的佛經(jīng)《四十二章經(jīng)》中就有百、千、萬、百萬、千萬、億、十億、百億和千億等記載.鳩摩羅什(公元344—413年)翻譯的《大智度論》卷五中共有123個大數(shù)的名稱，如：

億，億億，阿由他億，那由他億，……無量，無量無量，……一國土微塵等.

東晉《華嚴經(jīng)》中也有115個大數(shù)的名稱.據(jù)《華嚴經(jīng)》記載“自在主言：我昔曾于文殊師利童子所，修學(xué)書、數(shù)、算、印等法，即得悟入一切工巧神通智法門.……我亦能知菩薩算法.”《華嚴經(jīng)》中以一阿僧祗(大約為101032)為單位，漸次轉(zhuǎn)倍，至“不可說不可說”，即：

阿僧祗、無量、無邊、無等、不可數(shù)、不可稱、不可思、不可量、不可說、不可說不可說.

這就是佛經(jīng)中經(jīng)常提到的“十大數(shù)”，其計數(shù)法為：阿僧祗乘以阿僧祗，得阿僧祗轉(zhuǎn)；阿僧祗轉(zhuǎn)乘以阿僧祗轉(zhuǎn)，得無量，以此類推.

數(shù)學(xué)史學(xué)者李儼說：“十進、萬進為我國舊法，至南北朝之十進、萬萬進、倍進三法及唐代之十進、百進、倍進，則多少受佛典之影響.”[4]這說明在記數(shù)法方面，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展同樣受到文化交流的影響，具有一定的開放性.“恒河沙數(shù)”這一成語就是中印文化交流的結(jié)果.后秦時期翻譯的《十佳斷結(jié)經(jīng)》中更有以億為基數(shù)的進位制：

欲知數(shù)者，從一數(shù)至億，以億為一，復(fù)從一至億，還數(shù)億為一.……

據(jù)說古代希臘人對于無窮的感覺是因為觀察天空中的恒星，以及海灘上的沙粒而獲得的.無獨有偶，中國也有“天上星星數(shù)不清”的說法.阿基米得在《沙粒的計算》中竟然定出一種計算地球上所有海灘上的沙粒數(shù)目的記數(shù)系統(tǒng).阿基米得在他的《沙粒的計算》中寫到：

有人認為沙子的數(shù)目是無窮的，而且我所說的沙子不僅存在于敘拉古和西西里島的其他地方，還存在于無論是否有人居住的每一地區(qū)，也有人不同意沙子的數(shù)目無窮多，但卻認為無法給大于沙子數(shù)量的數(shù)命名.[5]

面對古希臘繁冗的數(shù)字表示方式，阿基米得首創(chuàng)了記大數(shù)的方法，突破了當時用希臘字母計數(shù)不能超過一萬的局限.用阿基米得發(fā)明的記數(shù)法，可以表示大到1后面跟著8億億個零的“大數(shù)”，他的方法是把單位“萬”作為第一級，“萬萬”(億)為第二級，億億為第三級，……如此等等.而且他大膽提出如果把“整個宇宙”(古希臘天文學(xué)家認為宇宙是有限的)全部用砂粒填滿，也能算出砂粒的總數(shù)；今天我們?nèi)祟惪捎^察的宇宙半徑約為130億光年，假設(shè)全部填滿質(zhì)子，其數(shù)目也不超過10125，與阿基米得的大數(shù)108×1016相比仍然是小巫見大巫.利用阿基米得的記數(shù)法，還可以繼續(xù)生成更高級的“大數(shù)”，“循環(huán)之理，豈有窮乎！”正是這一充滿智慧的靈光，引領(lǐng)人類穿透了籠罩在計數(shù)過程中“無窮”的迷霧，開辟了從有限走向無限的光輝歷程.

3 無窮之境——自然數(shù)引出的無限性難題

人類在早期計數(shù)過程中，面對自然數(shù)序列1，2，3，…就遇到了有限和無窮的關(guān)系問題.因為該序列永無止盡，故而成為數(shù)學(xué)史上討論無限性問題的一個最簡單最自然的例子.自然數(shù)序列沒有末尾，不會“終結(jié)”，這一事實并不神秘.正如芝諾所言：“說過一遍的話，可以永遠重復(fù).”不論整數(shù)n有多大，總有下一個整數(shù)n+1，所以不存在最大的自然數(shù)，即自然數(shù)是無界的.丹齊克指出：“自然數(shù)是建筑在加一的運算可以重復(fù)無限次的假定之上的，但它明白規(guī)定，此種過程的最后一步自身是不能當作一個數(shù)的.”柯朗指出：從表示“沒有終結(jié)”這意思的形容詞“無限的”過渡到名詞“無限”時，我們不能把通常用特殊符號∞表示的“無限”看成像普通的數(shù)那樣.我們不可能把符號∞包括在實數(shù)系統(tǒng)中而仍然保持算術(shù)的基本規(guī)律.無窮大本身不是一個數(shù)，它只是所有自然數(shù)構(gòu)成的集合的一種性質(zhì).

伊萊·馬奧爾說“自然數(shù)唯一的一個最重要的特性肯定是：自然數(shù)有無窮多個”[6]如果沒有最大的自然數(shù)，那么“一切自然數(shù)”的性質(zhì)又是什么？又如何去證明這種性質(zhì)呢？因為我們預(yù)先已經(jīng)知道自然數(shù)是無窮無盡的，當然就不能挨個檢驗，把所有的情形都窮舉完畢.丹齊克說：“就在數(shù)學(xué)的門檻上，我們遇到了關(guān)于無限的二難論證.”[1]51萊布尼茲的結(jié)論是：“所有整數(shù)的個數(shù)”這一提法自相矛盾，應(yīng)該拋棄.圍繞著無限，數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了從芝諾悖論直到康德和康托爾的二律背反等各種矛盾.

如果只討論自然數(shù)是否有窮，問題就簡單得多，假設(shè)N是一個最大的正整數(shù)，那么，顯然N+1>N，這一簡單的論證蘊含著極為重要的思想.正是用這種很普通的邏輯方法，即所謂的反證法，歐幾里得在《幾何原本》中證明了：“存在多于任何給定數(shù)的素數(shù).”這一命題被稱為古希臘算術(shù)中最優(yōu)美的定理.

命題20：預(yù)先任意給定幾個質(zhì)數(shù)，則有比它們更多的質(zhì)數(shù).

設(shè)A,B,C是預(yù)先給定的質(zhì)數(shù)，則可證有比A,B,C更多的質(zhì)數(shù).為此DE是由質(zhì)數(shù)A,B,C量盡的最小數(shù).設(shè)給DE加上單位DF，那么EF或者是質(zhì)數(shù)或者不是質(zhì)數(shù).

首先，設(shè)它是質(zhì)數(shù).那么已經(jīng)找到多于A,B,C的質(zhì)數(shù)A,B,C,EF.

其次，設(shè)EF不是質(zhì)數(shù)，那么EF能被某個質(zhì)數(shù)量盡.(Ⅶ卷·命題31：任意合數(shù)可被某質(zhì)數(shù)量盡)

設(shè)它被質(zhì)數(shù)G量盡.則可證G與A,B,C任何一個都不同.因為，如果可能，設(shè)它是如此.

現(xiàn)在A,B,C量盡DE.但它也量盡EF.所以G量盡其剩余的數(shù)，即量盡單位DF：這是不合理的.所以G.與數(shù)A,B,C任何一個都不同.

又假設(shè)它是質(zhì)數(shù).因此，已經(jīng)找到了質(zhì)數(shù)A,B,C,G.它們的個數(shù)多于預(yù)先給定的A,B,C的個數(shù).這正是本命題的結(jié)論.[7]

該證明中歐幾里得使用的構(gòu)造思想和歸謬法，至今仍然是數(shù)學(xué)推理的一個典范.在《幾何原本》中他還給出了與該命題的證明密切相關(guān)的質(zhì)數(shù)的三條基本性質(zhì)：

(1)Ⅶ卷·命題30：如果兩數(shù)相乘得某數(shù)，且一質(zhì)數(shù)量盡該乘積，則它也必量盡原來兩數(shù)之一.(p是質(zhì)數(shù)，若p|ab，則p|a或p|b)

(2)Ⅶ卷·命題31：任意合數(shù)可被某質(zhì)數(shù)量盡.

(3)Ⅸ卷·命題14：如果一個數(shù)是被一些質(zhì)數(shù)能量盡的最小者，那么，除原來量盡它的質(zhì)數(shù)外任何另外的質(zhì)數(shù)量不盡該數(shù).(若a是質(zhì)數(shù)p,q,…的乘積，則a分解為質(zhì)數(shù)之積的形式是唯一的)

上述命題(3)就是所謂的質(zhì)因數(shù)分解的唯一性定理，因為其重要性，又被后人稱之為算術(shù)基本定理：每一個大于1的整數(shù)，或者是素數(shù)，或者可表示為若干素數(shù)的乘積，這種表示若不計素數(shù)排列的次序則是唯一的：

布爾巴基學(xué)派的主將迪厄多內(nèi)贊嘆道：“據(jù)我所知，在公元前5世紀以前，除了希臘文明之外，沒有任何別的文明有人想到過把一個自然數(shù)分解為它的素因數(shù)之積.”[8]我們知道,畢達哥拉斯學(xué)派主張通過數(shù)來研究宇宙的秩序與和諧，這就必然會引出具有某種結(jié)構(gòu)關(guān)系的數(shù)的理論來.與其他古代文明的數(shù)學(xué)相比，希臘數(shù)學(xué)是一種概念及其關(guān)系的學(xué)科,在這種看似理性而冷靜的體系背后蘊藏著一種探索宇宙本性的激情與沖動.而在中國古代的算學(xué)中，數(shù)的理論主要是在應(yīng)用中加以發(fā)展，雖然有利于計算技術(shù)的改進,但人們并不關(guān)心自然數(shù)集合的性質(zhì)及其理論.

算術(shù)基本定理告訴我們，素數(shù)作為構(gòu)作自然數(shù)的基本因數(shù)，所有的自然數(shù)都是由它們建造的；素數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位類似于化學(xué)里的元素或物理學(xué)中的基本粒子，掌握了任何一個數(shù)的素因子，數(shù)學(xué)家就獲得了該數(shù)的幾乎全部信息.素數(shù)雖然是無窮的，但其在自然數(shù)列中的分布卻是越來越稀疏的，甚至到了：任給一個無論多大的整數(shù)N，必可以找出N個連續(xù)自然數(shù)，在它們之間沒有一個素數(shù).要想證明這個驚人的定理，只要對歐幾里得關(guān)于質(zhì)數(shù)有無限多個的證明稍加推廣即可：

設(shè)P是大于N的第一個質(zhì)數(shù)(若N自己就是質(zhì)數(shù)，取P=N)，則N個相連的整數(shù)P!+2，P!+3，P!+4，…，P!+N+1全是合數(shù).

因為P!可以用質(zhì)數(shù)P和小于P的一切質(zhì)數(shù)整除；故P!可以用小于或等于N+1的任何整數(shù)E整除，于是得P!+E在1

歐幾里得關(guān)于存在無窮多個素數(shù)的證明的意義并不止于此，從數(shù)學(xué)思想的觀點來看，他的證明屬于有限性的構(gòu)造證明.亞里士多德認為定義只是說明被定義事物的性質(zhì)，而不涉及其存在性，為了說明該事物的存在，就需要給出構(gòu)造它的方法.例如正十面體是可以定義的但并不存在.再如三等分一個角既是存在的也是可以定義的，因為一直無法找到三等分任意角的方法，所以《幾何原本》中沒有關(guān)于三等分角的定理.在歐幾里得時代，“存在”就是“可構(gòu)造”是數(shù)學(xué)家們的一個基本信念.希臘人不僅把數(shù)學(xué)主要限制于幾何，在幾何研究中也只限于那些能用直線和圓作出的圖形，他們認為直線和圓是基本圖形，凡是不能用尺規(guī)作出的圖形，諸如割圓線、蚌線、螺線等，都被稱之為機械曲線(線性軌跡)，僅僅處于幾何的邊緣位置.《幾何原本》中的前三個公設(shè)就明確限制只許用尺規(guī)作圖：

1.從任意一點到任意一點可作直線.

2.一條有限直線可以繼續(xù)延長.

3.以任意一點為心及任意距離可以畫圓.[7]2

為什么希臘人要在幾何中嚴格限制只能用尺規(guī)作圖呢？主要原因是為了解決幾何圖形的存在性問題.克萊茵在《古今數(shù)學(xué)思想》一書中指出：

我們知道，希臘人特別是亞里士多德曾經(jīng)指出必須保證所引用的概念不自相矛盾；就是說必須證明它們存在.為解決這個問題，希臘人至少從原則上只承認那些可以作圖的概念是存在的.直線和圓是在公設(shè)里承認它們是可作的，但其它圖形則必須從直線和圓來作出.[9]

還有一種理由，據(jù)說是柏拉圖反對用其他機械工具，因為這樣過于依賴直觀的感覺會降低思想的境界.柏拉圖貶斥利用感性的知識取代純粹的推理，他認為理性的思考永遠是第一位的.在《國家篇》中柏拉圖提到幾何學(xué)家時說：

他們進一步使用和談?wù)撘恍┛梢姷膱D形，但是他們真正思考的實際上不是這些圖形，而是這些圖形所模仿的那些東西，不是他們所畫的某個特殊的正方形或某條特殊的對角線，而是正方形本身，對角線本身，等等……但他們真正尋求的是只有用心靈才能“看到”的那些實在.[10]

據(jù)普魯塔克的記述，當聽說歐多克斯和阿爾西塔斯應(yīng)用機械工具解決倍立方體的幾何作圖問題時，柏拉圖毫不留情地予以抨擊，他認為這樣做，“只能導(dǎo)致幾何學(xué)的墮落，剝奪它的優(yōu)點，因而使它可恥地背棄純理智的抽象對象，倒退到感性，并求助于物質(zhì).”

希臘幾何學(xué)家發(fā)明了間接證明方法，并發(fā)現(xiàn)了這種方法的作用，他們對此深深地引以自豪.這種方法是，在可能的情形中，搜索出所有可能的假設(shè)，除正確的那個假設(shè)外，所有其他的假設(shè)都將導(dǎo)出矛盾的結(jié)論，因此就可以剔出這些錯誤的假設(shè).這種方法的邏輯基礎(chǔ)即邏輯學(xué)家熟知的矛盾律和排中律，就是由亞里士多德形成為公式的.反證法也被古希臘數(shù)學(xué)家稱之為歸謬法.哈代對這種證明方法做過一個很好的比喻，他說：

歐幾里得特別喜歡歸謬法，這是數(shù)學(xué)家最好的武器之一.這一著比象棋中開局舍子的任何一種著數(shù)高明得多：棋手可以舍掉一個卒子甚至別的大子，而數(shù)學(xué)家舍掉是整個一局.[11]

無窮歷來是爭論的焦點，按照古希臘數(shù)學(xué)家的觀點，無窮是不可構(gòu)造的.歐幾里得刻意回避了這一矛盾.例如對于“質(zhì)數(shù)有無窮多個”的命題，在《幾何原本》中被表述為：“質(zhì)數(shù)的個數(shù)比任意給定的質(zhì)數(shù)都多”；而對第五公設(shè)(平行公理)的敘述則是：

同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于二直角，則兩直線延長后必相交于該側(cè)的一點.

歐幾里得不愿涉及無窮大，他只說一線段可按需要加以延長，所有的直線實際上均被視為有限線段，目的就是為了避開直線是否可以無窮延伸的問題.第五公設(shè)的敘述與前四個公設(shè)相比，不僅文字冗長，而且意思也不夠明白易懂.原因是他不想引入無窮直線，僅僅提出兩直線相交于某有限點處的條件.斯賓格勒認為歐幾里得是一位與古典精神相吻合的思想家，他不會去考慮觀察者與兩個無窮遠處的恒星所構(gòu)成的三角形，以證明其幾何公理是否合于現(xiàn)象真理；因為，這些是既不能畫出來，又不能“直覺地領(lǐng)悟出來”的事象.他寫到：

他的感受正是典型的古典文化的感受，不敢面對無理數(shù)，也不敢給予空無一物的“零”這個數(shù)字以任何意義，而甚至在凝思宇宙關(guān)系時，也無視于“無窮”這個概念，而只能踁踁自囿于古典數(shù)學(xué)的基本表征——“比例”觀念之中.[12]

確實，經(jīng)驗并沒有提供無限直線的性質(zhì)，而希臘人認為公理是關(guān)于物理世界的自明真理.空間在無限遠處的情況，超出了任何人的想象能力和理解能力！正如M·克萊因所言：

希臘人未能領(lǐng)悟無窮大、無窮小和無窮步驟.他們“對無窮的空間望而生畏”.畢達哥拉斯學(xué)派把善與惡同有限與無限聯(lián)系起來.亞里士多德說無窮是不完美的、未完成的、因而是不可思議的；它是不成形的、混亂的.只有那些限定而分明的東西才有其本性可言.

雖然“無限”對于希臘數(shù)學(xué)家是一個可怕的、很難理解的東西，但是歐幾里得也確實暗示了無限直線是存在的，否則在任何情況下也不能按需要任意延長.

4 結(jié)語

對自然數(shù)序列“不可窮盡”的不同理解，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家之間長期的分歧.堅信自然數(shù)列的延伸永遠不可能完成是“潛無限”論者的觀點.另一方面，凡認為自然數(shù)是“完成了的整體”，即為“實無限”的觀點.自然數(shù)序列引出的無限性難題，及其在數(shù)學(xué)中的重要地位究竟如何？還是讓我們再聽聽丹齊克的說法吧：

無限這個概念的根源、對于計數(shù)過程是無止境的這個信念的根源，究竟是什么呢？是經(jīng)驗嗎？當然不是！經(jīng)驗教給我們的是一切事物、一切人類過程的有限性.我們知道，如果我們想通過計數(shù)把一切數(shù)字窮舉完畢，其結(jié)果只是耗光了我們自己的力量.

無限的存在也不是由數(shù)學(xué)所能確定的，因為無限亦即計數(shù)過程的無止境，只是一種數(shù)學(xué)的假設(shè)，是算術(shù)的基本假設(shè)，全部數(shù)學(xué)就建筑在這上面.[1]51

歷史的發(fā)展確如戴維斯所言：“正當人們?yōu)榻o大數(shù)起名字而掙扎時，希臘數(shù)學(xué)家們卻從有限一下就跳到無限.”[13]他進一步闡釋道：對于古代人，這個概念是想象力的一個最高級的舉動，因為它與所有的物理實驗和宇宙必須是有限的這一哲學(xué)信仰都是背道而馳的.他認為：這個大膽的無限概念開啟了數(shù)學(xué)的廣闊的可能性，同時它也創(chuàng)造出悖論.它的涵義至今尚不能完全看透.

[1]丹齊克. 數(shù) 科學(xué)的語言[M]. 蘇仲湘，譯. 北京：商務(wù)印書館，1985:206.

[2]卡爾文.C.克勞森. 數(shù)學(xué)旅行家：漫游數(shù)學(xué)王國[M]. 袁向東， 袁均, 譯. 上海：上海教育出版社，2001:129.

[3]張湛. 列子注[M]//諸子集成(3). 上海：上海書店出版社，1986:55—56.

[4]郭金彬， 孔國平. 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005:5.

[5]阿基米得. 阿基米得全集[M]. 朱恩寬， 李文銘， 譯. 西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1998:223.

[6]伊萊.馬奧爾. 無窮之旅——關(guān)于無窮大的文化史[M]. 王前， 譯. 上海：上海教育出版社，2000:55—56.

[7]歐幾里德. 幾何原本[M]. 藍紀正， 朱恩寬， 譯. 臺北：九章出版社，2002:274.

[8]讓.迪厄多內(nèi). 當代數(shù)學(xué) 為了人類心智的榮耀[M]. 沈永歡， 譯. 上海：上海教育出版社，1999:103.

[9]M.克萊因. 古今數(shù)學(xué)思想(第1冊)[M]. 張理京， 張錦炎， 譯. 上海：上?？萍汲霭嫔纾?979:198.

[10]柏拉圖. 柏拉圖全集(第二卷)[M]. 王曉朝， 譯. 北京：人民出版社，2003:508—509.

[11]G.H.哈代. 一個數(shù)學(xué)家的辯白[M]. 李文林， 譯. 南京：江蘇教育出版社，1996:32.

[12]奧.斯賓格勒. 西方的沒落[M]. 陳曉林， 譯. 哈爾濱：黑龍江教育出版社，1988:64.

[13]戴維斯. 數(shù)[M]//M.克萊因. 現(xiàn)代世界中的數(shù)學(xué). 齊民友， 譯. 上海：上海教育出版社，2004：144.

Historical Perspective on the natural number and Unlimited Thought

GUO Long-xian, HU Xiao-fei

(School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000, China)

The infinity, which is always the focus of poets, artists, philosophers, theologians and scientists, has a rich content and different expression forms in different mind area. Natural numbers raise some concepts, such as infinity and so on, and opened the gate of infinity of man cognition. There is the argument of mathematical philosophy between actual infinity and potential infinity, since we have different understanding on limitlessness of natural number sequence.

Natural numbers; Finite; Infinity; Actual infinity; Potential infinity

2016-08-05

郭龍先(1965— )，女，云南昭通人，教授，學(xué)士，主要從事代數(shù)學(xué)思想史研究.

O11

A

2095-7408(2016)05-0001-06