江蘇省海門市開發(fā)區(qū)中學 施海鷹

找準題眼解決問題提升能力
——從一道中考試題的評講說起

江蘇省海門市開發(fā)區(qū)中學 施海鷹

講評課作為一種課型是數學教學的重要方式，它能幫助學生重新認識知識、明確解題思路，從而達到查漏補缺、不斷完善學生認知結構、建立解題模型的作用，還能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，提高分析問題、解決問題的能力。下面是我對一道題的講評及個人的幾點想法，期待共勉。

一、無心插柳柳成蔭——發(fā)現學生存在問題

在一輪復習的范式中有一道試題：（2010蕪湖中考題）如圖所示，在圓⊙O內有折線OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，則BC的長為（）

A.19B.16C.18D.20

我在批改的時候發(fā)現60%以上的學生選“D”，但是其中又有大部分學生圖上沒有連起關鍵的輔助線，甚至沒有解題痕跡。于是我找了幾個同學了解了一下情況，他們說：不會做，猜的。面對這樣的情形我感到了情況的嚴重性。經過一番思考、同事間的討論，決定以這題為題眼，從而解決一類這樣的問題，以加強學生對圓的知識點的認識，提高解題能力。

二、重整旗鼓再分析——啟發(fā)學生解決問題

1.上課前，我要求學生對這道題目重新分析，找出題目的實質以及運用到的知識點，并嘗試總結歸納一類問題的解題方法。

2.上課時，我先問學生自己反思的情況，結果不太滿意。于是我讓學生就這道題再小組討論，討論后再讓學生分析錯誤原因，并回答這道題目考查的知識點。這時學生都能踴躍發(fā)言了：等邊三角形、直角三角形、垂徑定理。我故意問：圖上沒有直角三角形??？學生搶著說：根據∠A＝∠B＝60°，延長AO交BC于點D，就構建了等邊三角形ABD。我：那垂徑定理怎么用？學生：過點O作OE⊥BC于點E，解直角三角形就可以求出DE。我：現在動手做出來。學生們很快地完成了任務。估計了一下百分之九十的學生做對。我肯定了學生的學習過程和結果后投影了學生的解題過程，請學生評析鑒賞。我及時又推出了一道題目：在三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB，BC分別交于點D，E，求AD的長。我問：AD是這個圓的什么線？學生：弦。我：獨立解決這個問題。學生很快想到用垂徑定理：過點C作CF⊥AB于F。還有個別學生不理解的也通過小組交流弄清楚了，學生們一會就完成了解題過程。我追問：這兩條題目有什么共同點？學生恍然大悟：因為求弦，所以都用到了垂徑定理。

通過對這些題目的分析，讓學生自己有所悟，有所得。真正做到了讓思維產生碰撞，他們對該題的印象肯定很深刻。題目雖小，但從一類問題的思考過程培養(yǎng)了學生如何找題眼，如何運用所學的知識解決問題的能力，效果反饋很好。

三、學以致用真價值——引領學生拓展延伸

最近兩年的南通中考試卷中圓的知識是一個熱門考點，經常會出現計算線段的長或者角度的大小等等，基本都涉及到了垂徑定理的運用。為了讓學生更好地理解垂徑定理并加以運用，我用下面這個例題來拓展延伸，以培養(yǎng)學生的探索精神和提高分析問題、解決問題的能力。

某地有一座圓弧形拱橋圓心為O，橋下水面寬度為7.2m，過O作OC⊥AB于D，交圓弧于C，CD=2.4m，現有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（AB）2m的貨船要經過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？

我先讓學生獨立思考了兩分鐘，然后請一個學生回答這道題的考點及解題思路。學生：考點是垂徑定理的運用。解題思路是連接ON，OB，通過求距離水面2米高處即ED長為2時，如果MN大于3則能通過，否則MN小于等于3則不能通過。構造直角三角形求出半徑的長，再根據Rt△OEN中勾股定理求出EN的長，從而求得MN的長。我肯定了這個學生的回答并點評：解決此類橋拱問題，通常是利用半弦，半徑和弦心距構造直角三角形，根據直角三角形中的勾股定理作為相等關系解方程求線段的長度。要注意本題是通過求距離水面2米高處即ED長為2時，橋有多寬即MN的長與貨船頂部的3米做比較來判定貨船能否通過（MN大于3則能通過，MN小于等于3則不能通過）。

我剛點評完，就又有學生站起來說還有另外一種方法：直接假設MN=3，求出ME的長，比較ME和2的大小就能知道船能否順利通過這座拱橋。我讓學生通過計算來驗證這個方法正確與否。通過計算這個方法是可行的。

“授之以魚不如授之以漁”，像這樣學生自己思考發(fā)現題目的題眼，教師及時引導，一套行之有效的解題方法在學生的腦海中自然而然的形成。

四、深入反思真提升——促進教師提升素養(yǎng)

對于學生而言，經過這一系列題目的訓練，學生要能對這堂課進行總結和反思，還要養(yǎng)成定期整理錯題、總結解題方法和技巧以及解題感悟的習慣，通過不斷總結和反思提高自己的解題能力。下面是一?？荚嚭箨愑顐ァ⑹┘鸦弁瑢W的反思記錄：

反思一：仔細審題是解決問題的關鍵，而審題的關鍵是找題眼，找考查的知識點，然后運用這些知識點順勢解決問題。

反思二：一類問題有一類問題的解法，我要學會如何找到一類問題的解題方法并能靈活運用。

對于教師而言，反思也是非常重要的，它可以不斷地豐富和完善自我，也可以在反思中積累經驗和教訓，讓教訓變成經驗，讓經驗升華成財富。所以課后我把成功解決的問題和方法記錄下來，把一些沒有解決的疑難點和教訓也記錄下來，以不斷提高自己的教學水平。

這堂講評課通過對一些題目進行找題眼，舉一反三、一題多解，拓寬了學生的思路，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力，效果很好，思維訓練反饋的結果也很好。