肖志賢，林福民

(廣東工業(yè)大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院， 廣東 廣州 510006)

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基于兩垂直方向虛擬平移的波達(dá)方向判定算法

肖志賢，林福民

(廣東工業(yè)大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院， 廣東 廣州 510006)

摘要:提出了一種針對(duì)均勻圓陣接收信號(hào)波達(dá)方向(direction of arrival，DOA)判定的算法，該算法相對(duì)于其他算法，更能充分利用信號(hào)中的有用信息，達(dá)到提高算法判定精度的目的.算法將接收信號(hào)數(shù)學(xué)模型在Z軸和X軸方向分別進(jìn)行虛擬平移，通過模式激勵(lì)，構(gòu)造出兩個(gè)包含接收信號(hào)DOA信息的滿秩Toeplitz矩陣，達(dá)到相干信號(hào)解相干的目的.先后根據(jù)Z軸、X軸方向旋轉(zhuǎn)因子特性的不同，先得出信號(hào)俯仰角的估計(jì)值，再得出方位角的估計(jì)值，完成二維波達(dá)方向的判定.仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法對(duì)于相干信號(hào)DOA判定的正確性，而且對(duì)于強(qiáng)相干和低信噪比的入射信號(hào)DOA也能有效區(qū)分和判定.

關(guān)鍵詞:均勻圓陣； 波達(dá)方向估計(jì)； Toeplitz矩陣

智能天線技術(shù)[1-4]的關(guān)鍵技術(shù)之一就是對(duì)各種入射信號(hào)波達(dá)方向DOA (direction of arrival)進(jìn)行判定，為了更好地實(shí)現(xiàn)此功能，必須采用陣列天線，相比于均勻線陣，均勻圓陣具有可實(shí)現(xiàn)360°全方位和二維角無模糊覆蓋的優(yōu)點(diǎn)，所以近年來得到了廣泛的關(guān)注[5-7]，然而，均勻圓陣接收信號(hào)的陣列流型不具備范德蒙德形式，以致傳統(tǒng)算法如多重信號(hào)分類[8](multiple signal classification, MUSIC)算法、旋轉(zhuǎn)不變信號(hào)參數(shù)估計(jì)[9](estimation of signal parameter via rotational invariance techniques，ESPRIT)算法等子空間類算法無法直接運(yùn)用于均勻圓陣的DOA估計(jì).文獻(xiàn)[10]提出了MODE-TOEP算法，該算法采用模式激勵(lì)技術(shù)，將均勻圓陣轉(zhuǎn)化為虛擬的均勻線陣，構(gòu)建包含DOA信息的滿秩Toeplitz矩陣，達(dá)到解相干目的，通過譜峰搜索，完成DOA估計(jì)，該算法可以有效分辨相干信號(hào)的DOA，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)MUSIC算法只適用于非相干信號(hào)的缺陷，但該算法不能充分地對(duì)強(qiáng)相關(guān)和低信噪比信號(hào)進(jìn)行有效的分辨，為此，文獻(xiàn)[11]在均勻圓陣接收信號(hào)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，將陣列信號(hào)往Z軸方向虛擬平移，構(gòu)建了波達(dá)方向矩陣，實(shí)現(xiàn)了對(duì)相干入射信號(hào)DOA二維角的判定，提高了算法的分辨率，但同時(shí)由于應(yīng)用波達(dá)方向矩陣是以損失子陣列孔徑為代價(jià)的，一定程度上造成了陣列資源的浪費(fèi).文獻(xiàn)[12]提出了一種圓陣垂直平滑解相干算法，但對(duì)于陣列信號(hào)數(shù)學(xué)模型而言，由于均勻圓陣的高度對(duì)稱性，X軸方向的虛擬平移與Y軸方向的虛擬平移等價(jià)，因此該算法在X軸、Y軸兩方向上重復(fù)平移只是對(duì)陣列接收信號(hào)DOA信息的重復(fù)利用，并不能達(dá)到提高算法估算精度的目的，而且算法中只針對(duì)了入射信號(hào)一維角的判定，不能發(fā)揮均勻圓陣能對(duì)入射信號(hào)DOA二維角判定的優(yōu)勢(shì).

本文基于均勻圓陣信號(hào)數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于兩垂直方向虛擬平移的DOA算法，該算法的獨(dú)特性主要體現(xiàn)為利用陣列信號(hào)在Z軸、X軸方向相位旋轉(zhuǎn)因子特性的不同，將陣列信號(hào)在Z軸、X軸方向進(jìn)行虛擬平移，構(gòu)造兩個(gè)Toeplitz矩陣，利用信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交特性，先對(duì)俯仰角進(jìn)行估計(jì)，然后對(duì)方位角進(jìn)行估計(jì)，完成均勻圓陣相干信號(hào)的DOA估計(jì).該算法與其他虛擬平移算法相比而言，不是對(duì)DOA信息進(jìn)行簡(jiǎn)單的重復(fù)利用后取均值，而是根據(jù)兩垂直方向旋轉(zhuǎn)因子不同，從不同層面對(duì)DOA信息進(jìn)行進(jìn)一步虛擬擴(kuò)展處理，充分利用了陣列接收信號(hào)中的DOA信息，提高了算法的分辨率，與此同時(shí)，由于是虛擬平移后的陣列信號(hào)處理，避免了陣列資源的浪費(fèi).仿真對(duì)比結(jié)果表明，對(duì)于低信噪比情況下的相干信號(hào)，該算法能有效減小其DOA估算誤差、提高DOA估算精度.

1數(shù)學(xué)模型

假設(shè)在系統(tǒng)中有K個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到如圖1所示的均勻圓陣中，該圓陣以圓心為參考點(diǎn)，由M個(gè)同性陣元組成，模型中采用前L個(gè)信號(hào)為相干信號(hào)，其余(K-L)個(gè)信號(hào)為非相干信號(hào)，不考慮陣元與陣元之間的互耦效應(yīng)，則第k個(gè)陣元的接收信號(hào)可以表示為

(1)

其中，si(t)為第i個(gè)信號(hào)信號(hào)幅度，r為均勻圓陣半徑，λ為入射波波長(zhǎng)，nk(t)為功率σ2空域白噪聲且與各信號(hào)互不相干，βi=ρiejΔφi，i= 1,2,…,L為信號(hào)的衰減系數(shù)假設(shè)(β1= 1, Δφ1= 0)[13].

圖1　均勻圓陣

陣列接收信號(hào)矢量可以表示為

X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=AS(t)+N(t)，

(2)

式中S(t)=[s0(t),s1(t),…,sK-1(t)]T為陣列入射信號(hào)矢量，N(t)=[n0(t),n1(t),…,nK-1(t)]T為噪聲矢量，A=[a(θ0,φ0),a(θ1,φ1),…,a(θK-1,φK-1)]為陣列流型矢量.另外，

(3)

為均勻圓陣的方向矢量，其中，rk= 2πk/M，k= 0,1,…,M-1，可以看出，均勻圓陣的方向矢量不具備有范德蒙德形式，為了使均勻線陣的解相干算法可以直接應(yīng)用到均勻圓陣，需采用模式激勵(lì)將均勻圓陣轉(zhuǎn)化為虛擬均勻線陣[14]

(4)

轉(zhuǎn)化矩陣T為T = J-1F/M，式中

F=[w-k,w-k+1,…,wk]H，

(5)

wk=[1,ej2πk/M,…,ej2πk(M-1)/M]H，

(6)

J=diag{1/jkJk(β)}.

(7)

令h≈2πR/λ為模式激勵(lì)的最大模式數(shù)，則k=-h,…,0,…,h，Jk(β)為k階第一類貝塞爾函數(shù).假如滿足M>2h+1，虛擬線陣的陣列流型為

(8)

可以看出，轉(zhuǎn)化后的虛擬線陣陣列流型具有范德蒙德形式，可將均勻線陣的解相干算法用于均勻圓陣DOA估計(jì).

2垂直方向虛擬平移DOA判定算法

均勻圓陣陣列接收信號(hào)矢量為

X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=AS(t)+N(t)，

(9)

將其往X軸方向平移n次，第m次平移的相位旋轉(zhuǎn)因子為

(10)

m= 1,2,3,…,n，其中l(wèi)為陣列信號(hào)每次平移的距離，平移后的第m個(gè)陣列接收信號(hào)矢量為

Xxm(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=

AφXmS(t)+N(t).

(11)

陣列接收信號(hào)矢量往Z軸方向平移p次，第q次平移的相位旋轉(zhuǎn)因子為

(12)

q= 1,2,3,…,p，其中，l為陣列信號(hào)每次平移的距離，平移后的第q個(gè)陣列接收信號(hào)矢量為

Xzq(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=

AφZ(yǔ)qS(t)+N(t).

(13)

用模式激勵(lì)方法，將平移后X軸、Z軸方向上信號(hào)矢量分別轉(zhuǎn)化為具有K= 2h+1個(gè)模式元素的對(duì)稱虛擬均勻線陣，如圖2所示.

圖2　虛擬均勻線陣

接收信號(hào)矢量可表示為

(14)

Z軸上有p個(gè)均勻線陣，第q個(gè)陣列接收信號(hào)協(xié)方差矩陣可表示為

(15)

Rss=E[s(t)s(t)H]為有用信號(hào)的協(xié)方差矩陣；I2h+1為(2h+1)×(2h+1)單位矩陣.式(15)協(xié)方差矩陣的第m行、第n列的元素可表示為[13]

(16)

m,n=-h,…,0,…,h.

(17)

(18)

(19)

RZToep=

(20)

(21)

(22)

同樣，X軸上有n個(gè)均勻線陣，第m個(gè)陣列接收信號(hào)協(xié)方差矩陣可表示為

(23)

Rss=E[s(t)s(t)H]為有用信號(hào)的協(xié)方差矩陣；I2h+1為(2h+1)×(2h+1)單位矩陣.式(23)協(xié)方差矩陣的第m行、第n列的元素可表示為

(24)

其中dm,n、σ2、δm,n定義與之前所述一樣，以矩陣RXm第m行元素構(gòu)成包含DOA估計(jì)信息的Toeplitz矩陣：

RXToep=

(25)

同理分析，矩陣為滿秩，照樣可以達(dá)到解相干的目的,對(duì)RXToep進(jìn)行特征值分解，同樣可得到K個(gè)大特征值和M-K+1個(gè)小特征值，相應(yīng)特征向量空間為

J(φXm(k,:))=

(26)

(27).

完成信號(hào)二維角的波達(dá)方向估計(jì).

3算法步驟

(1) 利用模式激勵(lì)將均勻圓陣轉(zhuǎn)換為均勻線陣；

(2) 利用相位旋轉(zhuǎn)因子式(10)和式(12)將均勻線陣分別在X軸、Z軸方向進(jìn)行虛擬平移；

(3) 分別得出虛擬平移后的信號(hào)協(xié)方差矩陣，利用式(20)和式(25)構(gòu)造相應(yīng)的Toeplitz矩陣；

(4) 首先對(duì)Z軸方向上構(gòu)造的Toeplitz矩陣特征分解，利用式(21)最小值，求出俯仰角的估計(jì)值；

(5) 對(duì)X軸方向上構(gòu)造的Toeplitz矩陣特征分解，利用式(26)最小值，求出來波方位角的估計(jì)值，完成信號(hào)二維角的波達(dá)方向估計(jì).

4仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證算法的可行性和有效性，本文進(jìn)行了Matlab仿真實(shí)驗(yàn).仿真DOA算法估計(jì)性能、均方根誤差實(shí)驗(yàn)中采用(仿真圖中二維空間譜估計(jì)及DOA估計(jì)角度單位均為度)：

(1) 8陣元均勻圓陣，陣間間距為d=λ/2；

(2) 激勵(lì)模式的最大模式數(shù)h=3，可激發(fā)2h+1個(gè)相位模式，形成陣元數(shù)為7的虛擬均勻線陣；

(3) 在X軸、Z軸方向上，每次平移的距離為0.1r(r為均勻圓陣半徑)；

(4) 3個(gè)入射角信息，其中信號(hào)1為獨(dú)立信號(hào)，信號(hào)2、信號(hào)3為強(qiáng)相干信號(hào)，入射角度分別為：(θ1,φ1) =(80°,70°)、(θ2,φ2) =(90°,75°)、(θ3,φ3) =(150°,50°).

圖3、圖4中所示為信噪比SNR=20 dB、快拍數(shù)為1 024、基于兩垂直方向虛擬平移的波達(dá)方向判定算法的空間譜估計(jì)以及入射信號(hào)俯仰角、方位角的來波方向估計(jì)，從兩圖中可以看出，當(dāng)入射信號(hào)為強(qiáng)相干信號(hào)，入射角度比較鄰近時(shí)，該算法能夠很好地抑制相干信號(hào)之間的干擾，也能夠精確地估算出入射信號(hào)的來波方向，精確度較高.

圖5所示為本文算法與文獻(xiàn)[8]MODE-TOEP算法與文獻(xiàn)[10]垂直平滑算法在不同信噪比條件下DOA估計(jì)的均方根誤差關(guān)系曲線圖.由圖5可見，在信噪比SNR<15 dB情況下，本文算法相對(duì)于MODE-TOEP算法和垂直平滑算法而言，DOA估計(jì)的誤差及波動(dòng)更小，估計(jì)精度更高.當(dāng)SNR>15 dB，3種算法性能均趨于穩(wěn)定.仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于兩垂直方向虛擬平移的波達(dá)方向估算算法在低信噪比環(huán)境中，比MODE-TOEP算法[8]和垂直平滑算法[10]DOA估計(jì)誤差更小，估計(jì)精度更高.

圖3　二維空間譜估計(jì)

圖4　DOA估計(jì)

圖5　均方根誤差與信噪比關(guān)系曲線圖

Fig.5Graph of root mean square error and signal-to-noise ratio

圖6所示為本文算法在不同信噪比下均勻圓陣陣元數(shù)M分別為6、8、10的均方根誤差曲線圖，由圖6可見，隨著陣元數(shù)的增加，二維估計(jì)角度均方根誤差不斷減小，估計(jì)精度相應(yīng)提高.這是由于均勻圓陣陣元數(shù)增加，轉(zhuǎn)化為虛擬均勻線陣的相位模式相應(yīng)增加，使得接收數(shù)據(jù)中含DOA估計(jì)信息更加豐富具體.但與此同時(shí)，陣元數(shù)增加會(huì)導(dǎo)致硬件成本的增加，所以，在實(shí)際應(yīng)用中，估算精度和陣元數(shù)目還應(yīng)折衷處理.

圖6　不同陣元數(shù)下均方根誤差曲線圖

5結(jié)論

本文提出了一種基于兩垂直方向虛擬平移的Toeplitz矩陣算法.該算法利用陣列信號(hào)在Z軸、X軸方向上旋轉(zhuǎn)因子的不同，將信號(hào)在Z軸、X軸兩垂直方向上進(jìn)行虛擬平移，經(jīng)過模式激勵(lì)，將均勻圓陣轉(zhuǎn)化為陣列流型具有范德蒙德形式的虛擬均勻線陣，構(gòu)造兩個(gè)包含DOA估計(jì)信息的Toeplitz矩陣，利用信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交特性，完成均勻圓陣相干信號(hào)的DOA估計(jì).仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法對(duì)于提高均勻圓陣相干信號(hào)尤其是在低信噪比情況下DOA估算精度的可行性和有效性.同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，針對(duì)算法在Z軸、X軸方向上每次平移的距離對(duì)算法性能的約束問題，還有待進(jìn)一步研究討論.

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Algorithm of Direction of Arrival Estimation Based on Virtual Translation in Two Vertical Directions

Xiao Zhi-xian, Lin Fu-min

(School of Physics and Optoelectronic Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China)

Abstract:A new algorithm aiming at improving the estimation accuracy of direction of arrival (DOA) based on uniform circular array (UCA) has been proposed in this paper. Compared with other algorithms, the new proposed one can make the most of the useful information hiding in the received signal by shifting virtually in two vertical direction. Firstly, it shifts the mathematical mode of array received signals at the z axis and x axis respectively with the method of mode excitation. And then, two new full rank Toeplitz matrices relating to the information of DOA estimation have been reconstructed so the purpose of decorrelation has been achieved. Through the different properties of rotation factor at z axis and x axis successively, the researchers obtain the estimation of pitch angle and then the estimation of azimuth angle. Result analysis of simulation shows the validity of the DOA estimation of coherent signal as well as the strong coherence and low SNR incoming signals.

Key words:uniform circular array (UCA); direction of arrival (DOA) estimation; Toeplitz matrix

中圖分類號(hào):TN 911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1007-7162(2016)01- 0045- 06

doi:10.3969/j.issn.1007- 7162.2016.01.009

作者簡(jiǎn)介:肖志賢(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄芴炀€陣列信號(hào)處理.

基金項(xiàng)目:廣州市科技計(jì)劃項(xiàng)目(201510010093)

收稿日期:2014- 11- 19