許 慶

（肇慶中學，廣東 肇慶 526060）

對于數學教學，尤其是高三數學教學，教學內容的安排和設置是師生交流的橋梁，要有利于教師檢測學生知識掌握程度，發(fā)展學生思維能力，激發(fā)學生學習興趣；要有利于學生高考優(yōu)異成績的取得。根據高三數學教學的特點和規(guī)律，“解決問題”或者說“數學題講解”是課堂的主要內容，高三數學教學一定要重視選擇問題的標準以及講題教學的要點。根據多年教學經驗，以函數內容為例總結了選擇題目的要點以及如何充分利用問題、講解問題，期望為高三數學教學在選好題、講好題，培養(yǎng)學生解決問題能力和數學探索能力方面提供借鑒。

一、選題要點

選題要選擇那些能夠通過問題的解決過程回顧知識點、理解概念、發(fā)展思維能力、檢驗復習效果的題目。

（一）通過解題過程，回顧知識點，再次理解概念

（2）設f(x)是連續(xù)的偶函數，且當x＞0時f(x)是單調函數，則滿足的所有x之和為( )。

A.-3 B.3 C.-8 D.8

這道題的重點是對奇函數和偶函數概念的理解。提示學生審題后首先回顧奇函數和偶函數的定義和性質，比如定義域關于原點對稱，再有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x),圖像的對稱性等。如果學生能夠認識到（1）中利用定義域的對稱性馬上可以得到答案后，學生就會重視對于知識點的記憶與理解。

而對于（2）這樣的抽象函數，學生概念不清楚，做題容易出錯，所以應引導學生一句句回顧定義，尤其是其中一句，“當x＞0時f(x)是單調函數”?；貧w定義，單調函數，分為單調遞增(對任意的0＜x1＜x2,有f(x1)＜f(x2))和單調遞減(對任意的0＜x1＜x2,有f(x1)＞f(x2))。繼續(xù)回顧下去，引導學生揭示當x＞0時對f(x)而言，x與y是一一對應的以后，問題就會明朗起來，說明當x＞0時，有。考慮到第一句話中的偶函數，引導學生再回顧偶函數定義f(-x)=f(x),那么就會有,所以就有了x2+3x-3=0和x2+5x+3=0,可以看到兩個方程均有實數根，且x1+x2=-3;x3+x4=-5。

在解這個問題過程中，要給學生充分的時間嘗試、探究，從而自己發(fā)現規(guī)律和結論。教師不斷的提醒每一個定義，適當的重復、提醒。從這個問題中學生可以將單調性、奇偶性等知識激活，并檢索、提取，并不再停留在簡單的重復背誦上，而是理解意義上的記憶。這樣的題目不但回顧了知識，當解題成功完成后，學生對相關知識的理解也更深刻。

例2 （1）函數f(x)定義域為[0,1]，求函數f(x+2)的定義域。（2）函數f(x+2)定義域為[0,1]，求函數f(x)的定義域。

對于例2中的問題，由于學生不理解函數概念以及函數符號導致解題容易出錯。對此類問題，引導學生回顧函數定義，在理解的基礎上解決問題后，對糾正學生的認識會有很大的幫助。首先回顧函數是從數集A到數集B的一個特殊映射，A叫做定義域。對于f(x)與f(x+2)是不同函數，那么對于f(x),（1）就可以認為A=[0,1],所以f(x+2)當中的(x+2)∈[0,1]。而對于（2）要再次提醒學生，定義域是一個集合，是x取值的集合，所以（2）中“f(x+2)定義域為[0,1]”的理解應該是x∈[0,1],從而(x+2)∈[2,3]。

教師所選擇的問題，應該追求在自然、主動的狀態(tài)下使學生完成“概念再認識”過程，從而實現對概念的再理解，并使學生養(yǎng)成靈活的運用概念思考問題的習慣，從而極大的提高學生的解題水平和數學能力。李邦河院士說過“數學根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！”所以我們在選題時要重視那些對于概念記憶和理解有幫助的問題。而教師在設置問題時，如果能使學生解題時在一種自然、主動的狀態(tài)下完成“概念再發(fā)現”過程，展示教師運用概念去思考問題的想法，使學生感覺到解題過程是自然的，這樣學生就會慢慢學會用概念去思考問題、指導思維的方式。

（二）通過題目發(fā)展思維能力，檢驗復習效果

A.2個 B.3個 C.5個 D.無數個

題目中的f(x)形式較為復雜，學生能否想到將f(x)換為,然后再進一步考慮到是解題的關鍵所在。另外在這個題目當中也考查到了基本函數圖像變換能力和數形結合的思想。

例4 設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)=x2,若對任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實數t的取值范圍是( )。

首先題目當中給出了當x≥0時，f(x)=x2和不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，引導學生再次回顧問題，考慮到題目特點就設想：不等式的右邊的“2f(x)”能否可以變成f(?),這是解題思維重點。注意到題目的特點，很快就會發(fā)現無論x為正還是負，都會有2f(x)=f(2x),再結合單調性馬上可以把問題簡化為“x∈[t,t+2],不等式x+t≥ 2x”,這時問題就簡單很多了，只需要再考慮關于x的一次不等式(1- 2)x+t≥0在區(qū)間[t,t+2]恒成立就可以解決問題了。

例3和例4對學生的轉化化歸能力提出了要求，通過這樣的題目訓練，學生對于函數問題的轉化化歸方向必然會有相應的收獲。

另外在課堂上，教師通過精心選擇的適當問題，檢驗和評價學生所掌握的概念和知識，并且如果能盡可能多讓學生發(fā)表自己的看法，就可以通過這些活動暴露學生的思維過程，找到他們腦海中的解決問題的典型方法和存在的概念以及一些典型的錯誤，還可以促進學生自發(fā)的進行歸納。學生也可以通過題目的反饋以及分析個人的解題活動，感受到面臨問題的困境、經過努力完成問題的喜悅感和滿足感。問題的解決過程能激發(fā)學生繼續(xù)解決數學問題、研究數學問題的熱情。

二、講題的重點

教師在講解題目時要注意的幾個問題是：首先一定要教會學生讀題。讀題時避免滑過題目，要在關鍵詞句上重點斟酌，解題思路可以優(yōu)先考慮聯想，轉化。還要注意在解完一個問題后，要在問題的疑難點上下功夫，也要注重探究和變式。

（一）重視讀題，教師要避免包辦代替

有一種說法，“讀題三遍，其義自現”。第一遍，縱觀全題，關注題目中出現的概念和定義，回憶概念和定義，讀通題目；第二遍，這些概念和定義有沒有相關的結論或者圖形，讀出題目背后的含義，從操作層面確定一些方向；第三遍，題目中式子、問題是否存在某些關鍵點、特殊處，對于這些有什么聯想。題目的關鍵、特殊處就是一些概念或者問題的節(jié)點，或者解決問題的核心。找到這些，對于解題的知識準備和方法指導就有了方向。另外，還要注意一些關鍵知識點，比如函數中定義域、單調性、圖形等，這些是熱點知識，應該不斷的反復回顧反思，達到見到就能很快得到轉化。

例5 函數f(x)是(-∞,+∞)上的減函數，又a∈R,則( )。

A.f(a)＞f(2a) B.f(a2)＜f(a)

C.f(a2+a)＜f(a) D.f(a2+1)＜f(a)

這個問題，在讀第一遍時引導學生注意到減函數的定義，“定義域內任意的x1＜x2,都有f(x1)＞f(x2)”,反過來也成立。從而題目的選項就變成了比較自變量的大小。

例6 冪函數y=xm2-2m-3(m∈N?)的圖像與坐標軸無公共點，且關于y軸對稱，則m的值等于（ ）。

A.-1、0、1、2、3 B.0、1、2、3 C.1、3 D.1、2、3

讀題時引導學生注意幾個關鍵詞句：冪函數、m∈N?、與坐標軸無公共點、關于y軸對稱。最后一個關鍵詞“關于y軸對稱”是關鍵，意味著函數為偶函數，而結合冪函數和m∈N?,就會得到m2-2m-3必須為偶數，這時注意到m2-2m-3=(m-3)(m+1),從而m一定為奇數，從而得到答案。

通過這樣的解讀題目的示范和引導，自然會引導學生找到數學解題方法，也認識到數學解題能力提升的必要性。

（二）解完題之后要在疑難點下功夫

對于一些綜合問題，教師在講題時要注意兩個問題：第一，講解前一定要讓學生經歷一個“痛苦”的思考過程，要使學生經歷上述的獨立讀題、思考過程，再來引導、教學?？追蜃诱f過“不憤不啟，不悱不發(fā)”。如果學生沒有獨立思考教師就開始講解，對于學生解題能力的提高沒有幫助，剝奪了學生體驗失敗和成功的機會，必然導致數學學習效率的低下，也很容易出現“老師平時講了，作業(yè)會做，考試還是不會。”或者“能聽懂，不會解題?！钡惹闆r。直接影響就是學生對于數學知識理解的深度和對于數學問題的敏感程度。第二，不能講解完解答過程得到結果，就終止一個題目的教學。要利用好每一個題目，做好變式訓練。

例7（2015廣州一模）已知數列{an}的各項均為正數，其前n項和為Sn,且滿足

（1）求a2的值；（2）求數列{an} 的通項；（3）是否存在正整數k使ak,S2k-1,a4k成等比數列？若存在求k的值；若不存在，請說明理由。

在這個題目中對于（2）可以先求出an或者Sn的遞推公式，然后使用數學歸納法或者使用構造法解決。不過教師在講解完題目后，除了關注本題的解題方法之外，還可以引導學生做出以下思考：改變a1的值后數列{an}是否還是等差數列？將后如何？或者更進一步將后又如何？隨著教師這樣的變式教學，學生勢必對于方法的適用范圍進一步理解，對各種方法的熟練程度大幅提升。

另外對于此題，教師在講解完后，還可以提示，{an}是一個等差數列關于n的一次函數，Sn是一個關于n的二次函數，關注式子兩邊會看到，左右兩邊k的次數是一致的，自然可以形成一個恒等式。那么對于這類題目的構造可以進一步，只要左右兩邊an和Sn能夠構成恰當的形式，保證兩邊k的次數一致，是否可以自己編出新的題目？實際上多個高考題都是基于此類形式而出。當學生了解到這些，對數學問題解題思路會豁然開朗，產生對數學學習的信心，而這對于數學學習是有很大幫助的。

三、結論

教學經驗表明，無論“選題”還是“講題”，都要有針對性，要引導學生對數學概念的理解、回顧和深化，啟發(fā)學生思維，培養(yǎng)學生學習數學的興趣，建立學生學習數學的信心。

參考文獻：

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書：數學（必修1）A版[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2] 王志成.尊重學生認知規(guī)律，崇尚數學解題思維的自然性[J].中學數學，2011（11）：40-42.