劉云忠

摘 要：運(yùn)用數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，推得GDP增長(zhǎng)和穩(wěn)定問題的簡(jiǎn)易數(shù)學(xué)模型。此數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單實(shí)用，可以很好地解釋GDP的增長(zhǎng)和穩(wěn)定問題。

關(guān)鍵詞：GDP增長(zhǎng);穩(wěn)定;數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：F224 ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2015）22-0005-03

一、GDP的增長(zhǎng)問題

國(guó)民收入的主要來源是生產(chǎn)，生產(chǎn)的發(fā)展促進(jìn)了國(guó)民經(jīng)濟(jì)的繁榮。國(guó)民收入的開支用于消費(fèi)資金，投入自生產(chǎn)的積累資金和政府用于公共設(shè)施的開支。

假設(shè)1：y （t）是t時(shí)刻國(guó)民收入水平;G （t）是t時(shí)刻國(guó)民消費(fèi)水平。G是政府用于公共設(shè)施的開支水平，一般認(rèn)為是常量（在某一時(shí)間內(nèi)）;I （t）是t時(shí)刻國(guó)家用于投入再生產(chǎn)的投資水平，且有：

Y=C+I+G ? ? （1）

假設(shè)2：k是消費(fèi)系數(shù)，可以認(rèn)為國(guó)民消費(fèi)水平取決于國(guó)民收入水平，C=k×Y，k∈（0，1）;s是積累系數(shù)，s=1-k。

假設(shè)3：是t時(shí)刻的需求水平：

其中：h，W為常量。在這種情況下，國(guó)家生產(chǎn)水平將出現(xiàn)振蕩，當(dāng)α>0時(shí)，生產(chǎn)水平下降，當(dāng)α<0時(shí)，生產(chǎn)水平上升。

綜上，（9）式給出了一個(gè)國(guó)家GDP的增長(zhǎng)趨勢(shì)。

二、GDP的穩(wěn)定問題

假設(shè)1：國(guó)民收入主要用于消費(fèi)，再生產(chǎn)投資和政府用于公共投資的開支。

假設(shè)2：設(shè)Yk是第k個(gè)周期內(nèi)的國(guó)民收入水平，Ck是第k個(gè)周期內(nèi)的消費(fèi)水平，Ck的值是由前一個(gè)周期的國(guó)民收入水平確定的。即：

Ck=AYk-1 ? ?（10）

其中，A是常數(shù)，0<A<1。

假設(shè)3：設(shè)Ik是第k個(gè)周期內(nèi)用于再生產(chǎn)的投資水平，它取決于消費(fèi)水平的變化，即：

Ik=B（Ck-Ck-1） ? ?（11）

其中，B是常數(shù)，B>0。

假設(shè)4：G是政府用于公共設(shè)施的開支，設(shè)為常量。

根據(jù)假設(shè)，有Yk=Ck+IK+G ? ? ? ? （12）

將（10）式、（11）式代入（12）式，有：

Yk=AYk-1+B（Ck-Ck-1）+G

=AYk-1+BAYk-1-BAYk-2+G

所以，YK-A（1+B）Yk-1+BAYk-2=G ? （13）

（13）式是一個(gè)遞推的差分方程，就可以預(yù)推國(guó)民收入水平的發(fā)展趨勢(shì)，如果給定Y0，Y1，A，B，G的值，由（13）式可以預(yù)推的Y2值。若令K=3，4，5，……，且連續(xù)使用（13）式，是可以預(yù)推Y3，Y4，Y5……的值。

下面求解（13）式。

取其特解：

很顯然，由于0<A<1，B>0，當(dāng)K→∞時(shí)，YK→+∞，國(guó)家經(jīng)濟(jì)同樣出現(xiàn)不穩(wěn)定局面。