修風(fēng)光

（沈陽理工大學(xué)理學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

1 借助三角函數(shù)之間的基本關(guān)系進(jìn)行積分

2 借助三角恒等式積分

六類三角函數(shù)之間除了基本的轉(zhuǎn)換關(guān)系之外，還滿足若干三角函數(shù)恒等式，例如

此外，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)相關(guān)的和差化積、積化和差等等這些關(guān)系式在涉及三角函數(shù)的積分時(shí)，若能靈活運(yùn)用，會大大簡化積分的運(yùn)算，從而達(dá)到積分的目的。

3 形如∫sin mxcosn xdx(m,n均 為非負(fù)整數(shù))的不定積分

此時(shí)，可令xcos=μ，就可把上式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分。

若n為奇數(shù)，則

同上，令xsin=μ，同樣可轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分，然后借助基本積分公式正常積分即可。

若m,n均為偶數(shù)。則可借助相關(guān)的三角函數(shù)恒等式進(jìn)行降次。當(dāng)m,n數(shù)值比較大時(shí)，會需要多次降次，然后利用（1）和（2）的方法，借助第一類換元法進(jìn)行積分。

4 形如∫secmxtann xdx(m,n均 為非負(fù)整數(shù))的不定積分

1）若m為正偶數(shù)，則利用三角恒等式sec2x=tan2x+1有

此時(shí)，可令xtan=μ，就可把上式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分。

若m=0，則得積分此時(shí)

進(jìn)而通過遞推可得積分結(jié)果。

3）若m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，則利用三角恒等式進(jìn)行變形，進(jìn)而可化為求形如的積分，然后借助分部積分法進(jìn)行求解即可。

4）若m為奇數(shù)，n為奇數(shù)，則

此時(shí)，可令xsec=μ，同樣可轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分。

含有三角函數(shù)的不定積分處理方法往往不是唯一的，本文中所給出的方法經(jīng)驗(yàn)證基本是最簡便的。另外需要指出的是本文中提到的這些處理三角函數(shù)積分的方法是基于不定積分求解的一般方法。所以對于這些方法的掌握必須以熟練掌握基本積分方法為前提。同時(shí)一般高數(shù)教材中所總結(jié)的基本積分公式也應(yīng)當(dāng)熟記。這樣多管齊下，才能快速準(zhǔn)確地達(dá)到求解任何一個(gè)不定積分的目的。