□侯國(guó)興

活用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行整式加減

□侯國(guó)興

學(xué)習(xí)整式的加減，不但要熟練掌握運(yùn)算法則，更要了解其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.下面對(duì)本章涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納、總結(jié).

一、整體思想

所謂整體思想，就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不是“一葉障目”，而是從大處著眼，由整體入手，通過(guò)觀(guān)察和分析找出整體與局部的聯(lián)系，從而在宏觀(guān)上尋求解決問(wèn)題途徑的一種思維方法.

例1代數(shù)式3x2－4x－5的值為7，則的值為_(kāi)_____.

分析：由條件可整體求得x2－x的值，問(wèn)題則容易獲解.

解：因?yàn)?x2－4x－5＝7，所以3x2－4x＝12，即x＝4，因此x－5＝4－5＝－1.

點(diǎn)評(píng)：此例若考慮由條件求出x的值，再代入x2x－5中計(jì)算是不明智的選擇，且以七年級(jí)所學(xué)知識(shí)無(wú)法由3x2－4x－5＝7求出x的值.

二、方程思想

所謂方程思想就是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問(wèn)題得到解決的思維方法.

例2如果3x2n-1ym與－5xmy3是同類(lèi)項(xiàng)，則m和n的取值是（）.

A.3和－2B.－3和2

C.3和2D.－3和－2

分析：需根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義構(gòu)造關(guān)于m、n的方程，解方程求出m n的值.

解：由同類(lèi)項(xiàng)的定義，得m＝且2n－1＝m，解得n＝2.因此m＝3，n＝2，選C.

點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確理解同類(lèi)項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵.在本章中，涉及求某多項(xiàng)式中待定系數(shù)的值或根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義求某單項(xiàng)式中指數(shù)的取值，都需用到方程思想.

三、分類(lèi)討論思想

當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種情形，不能一概而論時(shí)，必須按可能出現(xiàn)的所有情形來(lái)分別討論，得出各種情形下相應(yīng)的結(jié)論，這種處理問(wèn)題的思維方法稱(chēng)之為分類(lèi)思想.

例3 若多項(xiàng)式3xn+1－xn＋2xm-1是六次二項(xiàng)式，試求出2n2－3m＋1的值.

分析：欲求代數(shù)式2n2－3m＋1的值，要先根據(jù)條件求出m、n的值.而從表面上看所給的多項(xiàng)式3xn+1－xn＋2xm-1有三項(xiàng)，而已知它是六次二項(xiàng)式，這表明某兩項(xiàng)是同類(lèi)項(xiàng)，顯然3xn+1與－xn不可能是同類(lèi)項(xiàng).至此，解題思路已明了.

解：由多項(xiàng)式3xn+1－xn＋2xm-1是六次二項(xiàng)式，有兩種情況：

（1）若3xn+1與2xm-1都是六次，則n＋1＝6，m－1＝6，解得n＝5，m＝7.此時(shí)2n2－3m＋1＝2×52－3× 7＋1＝30；

（2）若3xn+1的次數(shù)是6，－xn與2xm-1的次數(shù)相同，則n＋1＝6，且n＝m－1，解得n＝5，m＝6.此時(shí)2n2－3m＋1＝2×52－3×6＋1＝33.

點(diǎn)評(píng)：抓住多項(xiàng)式有關(guān)概念的實(shí)質(zhì)是解題的關(guān)鍵.不難看出，此題在用分類(lèi)思想解答的同時(shí)，還用到了方程思想.

四、轉(zhuǎn)化思想

在解題過(guò)程中，把生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，這種處理問(wèn)題的思維方法稱(chēng)之為轉(zhuǎn)化思想.

例4當(dāng)a的取值使得代數(shù)式3－（a＋2）2的值最大時(shí)，代數(shù)式a3－2a2＋3的值為_(kāi)______.

分析：本題解題的關(guān)鍵是理解“a的取值使得代數(shù)式3－（a＋2）2的值最大”的含義，即求使（a＋2）2最小的a的值.

解：要使代數(shù)式3－（a＋2）2的值最大，必須使（a＋2）2的值最小.因?yàn)椋╝＋2）2≥0，僅當(dāng)a＝－2時(shí)，（a＋2）2的最小值為0.所以，當(dāng)a＝－2時(shí)，3－（a＋2）2取得最大值3.從而a3－2a2＋3＝（－2）3－2×（－2）2＋3＝－13.

點(diǎn)評(píng)：此題的解答，很好地體現(xiàn)了由已知向未知的轉(zhuǎn)化.求一個(gè)代數(shù)式的最大（小）值本已超出同學(xué)們所學(xué)知識(shí)范疇，但這里利用減數(shù)、被減數(shù)的關(guān)系以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)討論求解，相信同學(xué)們一定能夠理解掌握.

在今后的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要注意數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，只有真正領(lǐng)會(huì)并掌握數(shù)學(xué)解題的思想方法，才能成為解題的能手.