丁稱興??

利用基本不等式求最值是高中數(shù)學(xué)求最值的基本方法之一.在運(yùn)用基本不等式求最值時應(yīng)注意以下三個方面：（1）表達(dá)式中含變量的各項均為正；（2）表達(dá)式中含變量的各項之和（或積）應(yīng)為定值；（3）表達(dá)式中含變量的各項可以相等.許多同學(xué)由于對基本不等式的使用條件理解不透徹，導(dǎo)致解題過程中出現(xiàn)錯誤.下面我們首先簡要回顧基本不等式的內(nèi)容：

1.基本不等式：a+b2≥ab

（1）基本不等式成立的條件：a>0，b>0；

（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

2.利用基本不等式求最值問題：已知x>0，y>0，則

（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值是2p.（簡記積定和最?。?/p>

（2）如果和x+y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy有最大值是q24.（簡記和定積最大）

這三個條件簡稱為“一正，二定，三相等”.其次我們就以例題的形式指出同學(xué)們在使用基本不等式時常常出現(xiàn)的錯誤.

一、忽視取“正”條件

基本不等式的兩個變量都必須是正實數(shù).如果兩個變量異號或同為負(fù)實數(shù)，不等式要么不成立，要么不等號的方向會改變.

例1已知實數(shù)x≠0，求y=x+4x的取值范圍.

錯解：由基本不等式得，y=x+4x≥2x·4x=4，故y=x+4x的最小值是4，即取值范圍是[4，+∞）.

錯因分析：因為x，4x未必是正數(shù)，故不能直接用基本不等式來解題.

正解：當(dāng)x>0時，y=x+4x≥2x·4x=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=2時取等號；

當(dāng)x<0時，-x>0，-4x>0，則-x+（-4x）≥2（-x）·（-4x）=4，當(dāng)且僅當(dāng)-x=-4x，即x=-2時取等號，即y=x+4x=-[（-x）+（-4x）]≤-4.

故y=x+4x的取值范圍為（-∞，-4]∪[4，+∞）.

二、忽視“定值”情況

用基本不等式求最值時必須滿足和為定值或積為定值.如果不具備“定值”條件時，需進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹芭錅悺睂⑵錁?gòu)造成定值.

例2求y=4x+2x-1（x>1）的最小值.

錯解：∵x>1，∴4x>0，2x-1>0，∴y=4x+2x-1≥24x·2x-1=42xx-1，

當(dāng)且僅當(dāng)4x=2x-1，即x=1+32（x=1-32舍去）時，等號成立.

故y=4x+2x-1的最小值是43+4.

錯因分析：本題所要求的是關(guān)于x的函數(shù)y=4x+2x-1（x>1）的最小值，由于4x與2x-1的乘積不是定值，也就是所謂的最小值是一個變化的量，最小值不確定，所以無法直接用基本不等式求解.本題所求的最小值必須是一個確定的值，也就是必須滿足右邊“積為定值”的條件，若將4x拆成4（x-1）+4即可.

正解：∵x>1，故x-1>0，∴y=4x+2x-1=4（x-1）+2x-1+4≥24（x-1）·2x-1+4=42+4，當(dāng)且僅當(dāng)4（x-1）=2x-1，即x=1+22（x=1-22）時取等號.

∴當(dāng)x=1+22時ymin=42+4.

三、忽視“取等”條件情況

用基本不等式求最值時，必須保證等號能夠取到.同學(xué)們經(jīng)常會忽略取等號的條件，特別是兩次取等的時候經(jīng)常會出現(xiàn)前后矛盾情況.

例3若正實數(shù)a，b滿足a+2b=1，求1a+1b的最小值.

錯解：∵a+2b≥22ab，即22ab≤1，∴ab≤18，故1a+1b=a+bab≥2abab=2ab≥218=42，所以，1a+1b的最小值是42.

錯因分析：此題兩處用到基本不等式，忽視了取等的條件，兩次取等情況a，b的取值不能完全滿足，所以這個最小值是不對的.

正解：解法一（整體代入法）∵a，b都是正實數(shù)且a+2b=1，∴1a+1b=a+2ba+a+2bb=3+2ba+ab≥3+22，當(dāng)且僅當(dāng)2ba=ab，即a=2-1，b=2-22時，等號成立.故1a+1b的最小值是3+22.

解法二（妙用“1”的代換）∵a，b都是正實數(shù)且a+2b=1，∴1a+1b=（1a+1b）（a+2b）=3+ab+2ba≥3+22，當(dāng)且僅當(dāng)2ba=ab，即a=2-1，b=2-22時，等號成立.故1a+1b的最小值是3+22.

例4已知函數(shù)f（x）=x2-2x+ax，x∈（0，2]，其中常數(shù)a>0，求函數(shù)f（x）的最小值.

錯解：f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=ax，即x=a時取等號.故函數(shù)f（x）的最小值為2a-2.

分析：雖然考慮了取等的條件，但是忽視了等號是否能取到的條件.

正解：f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=ax，即x=a時取等號.

當(dāng)0

當(dāng)a≥2，即a≥4時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=2時，f（x）的最小值為a2.

綜上，當(dāng)0

以上是使用基本不等式解題時常犯的幾種錯誤，通過這樣的總結(jié)和分析，希望對同學(xué)們解決有關(guān)基本不等式的問題有所幫助，在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)深刻理解“一正二定三相等”的本質(zhì)含義.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級中學(xué)）